4.4　两个三角形相似的判定 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦“三角形相似的判定”，分3课时系统覆盖角、边角、边三种判定方法，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，梯度提升推理能力与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一判定应用|选择/填空题直接考查判定条件，如含特殊角等腰三角形相似判断| |中档|综合判定与性质|解答题结合平行线、直角三角形等背景证明相似，如正方形中线段计算| |提升|跨情境探究|网格作图、动点最值等问题，如直角梯形中PC+PD最小值，发展空间观念|

4.4　两个三角形相似的判定 第1课时　通过角判定三角形相似 分值：65分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC。若=2，则=( ) A. 2.下列各组图形中，可能不相似的是( ) A.两个含45°内角的等腰三角形 B.两个含60°内角的等腰三角形 C.两个含90°内角的等腰三角形 D.两个含105°内角的等腰三角形 3.如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB。若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC相交于点H。若AB=6，CE=2，则DH的长为( ) A.2 B.3 C. 5.(3分)如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，。若DE=2，则BC的长为 。  6.(3分)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，图中与△ADC相似的三角形为 。  7.(3分)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A=∠D，AC∥DF。若AB=8，EG=3，DG=2，BC=16，则CF的长为 。  8.(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AD是顶角∠BAC的平分线，BE是腰AC上的高线，AD，BE相交于点F。 (1)(4分)求证：△ADC∽△BDF。 (2)(4分)除了△ACD，图中还有与△BDF相似的三角形吗？请把它们写出来。 9.(8分)在一次数学活动课上，为了测量池塘岸边A，B两点之间的距离(如图)，同学们选取了C，D两点，使CD∥AB。设AD与BC的交点为O，量得CD=180 m，OA=60 m，OD=120 m。求A，B两点之间的距离。 10.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F。若AB=6，BC=4，则DF的长为( ) A. C. 11.(3分)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连结AE，交BC于点F。若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF= 。  12.(3分)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，连结格点(小正方形的顶点)AB，CD。 (1)(1.5分)AB与CD是否垂直？ (填“是”或“否”)。  (2)(1.5分)AE= 。  第12题图 13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，B，C，E在同一条直线上，且∠D=∠CAE。 (1)(4分)求证：△ABD∽△ECA。 (2)(4分)若AC=6，CE=4，求BD的长。 14.(8分)如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F。已知AE=BC，CE=3。设CF=x，AE=y。 (1)(4分)求y关于x的函数表达式。 (2)(4分)若CF=2，AB=8，求CD的长。 15.(3分)[推理能力]如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，P是AB上一个动点。当PC＋PD的和最小时，PB的长为 。  第2课时　通过两边和夹角判定三角形相似 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是( ) A. B.，且∠A=∠C' C.，且∠B=∠A' D.，且∠B=∠B' 2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形。若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中，一定成立的是( ) A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 第2题图　　　 第3题图 3.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能判定△ABC∽△AED的是( ) A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C C. 4.如图，AB是半圆O的直径，点D，E在半圆上，AE与BD相交于点C，连结AD，DE，要使△DAC与△DBA相似，可以添加一个条件。下列添加的条件中，错误的是( ) A.∠ACD=∠BAD B.AD=DE C.AD·AB=CD·BD D.AD2=BD·CD 5.(3分)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC与△BDA (填“相似”或“不相似”)，若相似，则它们的相似比是 ；若不相似，请在网格中画出一个与△ABC相似的三角形。  6.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点。若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为 。  7.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2=AB·AD，求证：△ABC∽△ACD。 8.(8分)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2。求证：△ABE∽△ECF。 9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为对角线BD，AC上的点， ，连结AE并延长，交CD于点G，连结EF，FG。若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为( ) A. C. 10.(3分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，P是AD边上一点，连结PB，PC，有AB2=AP·PD，则图中有 对相似三角形。  11.(8分)如图，AC是☉O的直径，弦BD交AC于点E。若AD2=AE·AC，求证：CD=CB。 12.(10分)如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，F是BD上一点，连结AF，△ABF∽△ACD。 (1)(5分)求证：△ABC∽△AFD。 (2)(5分)若BC=4，AD=9，DF=6，求AC的长。 13.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连结BD。 (1)(5分)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系。 (2)(5分)求∠ABD的度数。 14.[推理能力]如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，E是边AB上的动点，F是射线BC上的动点，且BF=2AE，连结AF，CE。若AF＋CE=m，则m的最小值为( ) A.3 B.3 C.6 D.6 第3课时　通过边判定三角形相似 分值：78分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形( ) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.无法判断是否相似 2.下列各组条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是( ) A.∠A=∠D，∠B=∠E B.，∠B=∠E C. D.，∠B=∠E 3.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比( ) A.增大了10% B.减小了10% C.增大了(1＋10%) D.没有改变 4.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，AB=AE，BC=ED，AC=AD。有下列结论：①∠1=∠2；②AE=AD；③∠ABC＋∠ADC=180°；④。其中正确的是( ) A.①② B.①④ C.③④ D.①③④ 5.(3分)如图，△ABC与△DEF (填“相似”或“不相似”)。  6.(8分)如图，△ABC三边长分别为AB=3cm，BC=3.5cm，CA=2.5cm，△DEF三边长分别为DE=3.6cm，EF=4.2cm，FD=3cm，则△ABC与△DEF是否相似？为什么？ 7.(8分)如图，设网格中每个小正方形的边长均为1。点A1，B1，C1和点A2，B2，C2都在小正方形的顶点上。求证：△A1B1C1∽△A2B2C2。 8.(8分)求证：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，，求证：△ABC∽△A'B'C'。 9.如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫作“格点三角形”，在图中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC，这样的格点三角形一共有( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 第9题图 10.(8分)如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，且。 (1)(4分)若∠DAE=22°，求∠BAD的度数。 (2)(4分)判断△ADE与△ACB是否相似，并说明理由。 11.(10分)如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别为E，F。 (1)(4分)写出线段EF，AE，BE之间的数量关系。 (2)(6分)连结BF，若，求证：EF=EP。 12.(10分)已知：如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点， OA'∶AA'=OB'∶BB'=1∶2，C'是OC的三等分点。 (1)(5分)当OC'∶CC'=1∶2时，求证：△A'B'C'∽△ABC。 (2)(5分)当OC'∶CC'=2∶1时，若，则以O，B'，C'为顶点的三角形是否与△OBC相似？请说明理由。 13.(8分)[推理能力]如图，∠O=90°，OA=OB=BC=CD。请找出图中的相似三角形，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4　两个三角形相似的判定 第1课时　通过角判定三角形相似 分值：65分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC。若=2，则=(　D　) A. 2.下列各组图形中，可能不相似的是(　A　) A.两个含45°内角的等腰三角形 B.两个含60°内角的等腰三角形 C.两个含90°内角的等腰三角形 D.两个含105°内角的等腰三角形 3.如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB。若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长为(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC相交于点H。若AB=6，CE=2，则DH的长为(　B　) A.2 B.3 C. 【解析】 ∵四边形ABCD和CEFG是正方形， ∴AB=AD=CD=6，CE=GF=CG=2，∠D=∠DGF=90°， ∴DG=CD－CG=4，AD∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴，即， ∴DH=3。 5.(3分)如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，。若DE=2，则BC的长为　6　。  6.(3分)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线，图中与△ADC相似的三角形为　△ACB，△CDB　。  7.(3分)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A=∠D，AC∥DF。若AB=8，EG=3，DG=2，BC=16，则CF的长为　4　。  【解析】 ∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE。 又∵∠A=∠D， ∴△ABC∽△DEF， ∴，∴， ∴EF=10。 ∵AC∥DF，∴， ∴CF=EF=4。 8.(8分)如图，在等腰三角形ABC中，AD是顶角∠BAC的平分线，BE是腰AC上的高线，AD，BE相交于点F。 (1)(4分)求证：△ADC∽△BDF。 (2)(4分)除了△ACD，图中还有与△BDF相似的三角形吗？请把它们写出来。 解：(1)∵AD是等腰三角形ABC的顶角∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，∴∠FDB=∠ADC=90°。 ∵BE是腰AC上的高线， ∴∠BEC=90°，∴∠EBC＋∠C=90°。 又∵∠DAC＋∠C=90°， ∴∠DAC=∠EBC。 又∵∠ADC=∠FDB， ∴△ADC∽△BDF。 (2)与△BDF相似的还有△AEF，△BEC，△ADB。 9.(8分)在一次数学活动课上，为了测量池塘岸边A，B两点之间的距离(如图)，同学们选取了C，D两点，使CD∥AB。设AD与BC的交点为O，量得CD=180 m，OA=60 m，OD=120 m。求A，B两点之间的距离。 解：∵CD∥AB， ∴△ABO∽△DCO， ∴CD∶AB=DO∶OA。 又∵CD=180 m，OA=60 m， OD=120 m， ∴180∶AB=120∶60， ∴AB=90 m。 答：A，B两点之间的距离为90 m。 10.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F。若AB=6，BC=4，则DF的长为(　D　) A. C. 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AEB=∠DAF。 ∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°， ∴∠B=∠DFA， ∴△ABE∽△DFA。 ∵BC=4，E是BC的中点， ∴BE=BC=2， ∴在Rt△ABE中， AE==2。 ∵△ABE∽△DFA，∴。 又易知DA=BC=4，∴， ∴DF=。 11.(3分)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=CA，过点D作DE∥CB，且DE=DC，连结AE，交BC于点F。若∠CAB=∠CFA，CF=1，则BF=　3　。  【解析】 ∵CD=CA，DE∥CB， ∴AF=EF，∴CF是△ADE的中位线， ∴DE=2CF=2， ∴DE=DC=AC=2。 ∵∠CAB=∠CFA，∠ACF=∠BCA， ∴△CAF∽△CBA， ∴AC∶BC=CF∶AC， ∴2∶BC=1∶2， ∴BC=4，∴BF=BC－CF=3。 12.(3分)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，连结格点(小正方形的顶点)AB，CD。 (1)(1.5分)AB与CD是否垂直？　是　(填“是”或“否”)。  (2)(1.5分)AE=  　。  第12题图 第12题答图 【解析】 (1)如答图所示标注字母。 在△ACM和△CFD中， ∵ ∴△ACM≌△CFD(SAS)， ∴∠CAM=∠FCD。 又∵∠CAM＋∠CMA=90°， ∴∠FCD＋∠CME=90°， ∴∠CEM=90°，即AB⊥CD。 (2)如答图。 在Rt△ABH中， AB==2。 ∵AC∥BD， ∴△ACE∽△BDE， ∴， ∴AE=AB=。 13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，B，C，E在同一条直线上，且∠D=∠CAE。 (1)(4分)求证：△ABD∽△ECA。 (2)(4分)若AC=6，CE=4，求BD的长。 解：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE。 又∵∠D=∠CAE， ∴△ABD∽△ECA。 (2)∵AB=AC，AC=6， ∴AB=6。 ∵△ABD∽△ECA，∴， ∴，∴BD=9。 14.(8分)如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F。已知AE=BC，CE=3。设CF=x，AE=y。 (1)(4分)求y关于x的函数表达式。 (2)(4分)若CF=2，AB=8，求CD的长。 解：(1)∵EF∥AB，AE=BC=y，CE=3，CF=x， ∴， ∴， ∴y=。 (2)当x=CF=2时，y=AE==6。 ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE， ∴。 又∵AB=8，∴，∴CD=4。 15.(3分)[推理能力]如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，P是AB上一个动点。当PC＋PD的和最小时，PB的长为 　3　。  【解析】 如答图，延长CB到点E，使EB=CB，连结DE，交AB于点P，易知PE=PC，则DE的长就是PC＋PD的和的最小值。 第15题答图 ∵AD∥BE， ∴△ADP∽△BEP， ∴AP∶BP=AD∶BE=4∶6=2∶3， ∴PA=PB。 又∵PA＋PB=AB=5， ∴PB=3。 第2课时　通过两边和夹角判定三角形相似 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列各组条件中，能判定△ABC与△A'B'C'相似的是(　C　) A. B.，且∠A=∠C' C.，且∠B=∠A' D.，且∠B=∠B' 2.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形。若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中，一定成立的是(　B　) A.①和②相似 B.①和③相似 C.①和④相似 D.②和④相似 第2题图　　　 第3题图 3.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能判定△ABC∽△AED的是(　D　) A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C C. 4.如图，AB是半圆O的直径，点D，E在半圆上，AE与BD相交于点C，连结AD，DE，要使△DAC与△DBA相似，可以添加一个条件。下列添加的条件中，错误的是(　C　) A.∠ACD=∠BAD B.AD=DE C.AD·AB=CD·BD D.AD2=BD·CD 5.(3分)如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC与△BDA　相似　(填“相似”或“不相似”)，若相似，则它们的相似比是  　；若不相似，请在网格中画出一个与△ABC相似的三角形。  6.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D为AB的中点。若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为　2或　。  【解析】 ∵∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5。 ∵D为AB的中点， ∴AD=AB=。 当时，△ADE∽△ABC，即， ∴AE=2。 当时，△ADE∽△ACB，即， ∴AE=。 综上所述，AE的长为2或。 7.(8分)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC2=AB·AD，求证：△ABC∽△ACD。 证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠CAD。 ∵AC2=AB·AD， ∴， ∴△ABC∽△ACD。 8.(8分)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2。求证：△ABE∽△ECF。 证明：∵BE=3，EC=6，CF=2， ∴BC=3＋6=9。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=9，∠B=∠C=90°。 ∵， ∴， ∴△ABE∽△ECF。 9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为对角线BD，AC上的点， ，连结AE并延长，交CD于点G，连结EF，FG。若∠AGF=α，则∠FAG用含α的代数式表示为(　B　) A. C. 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD=OC=OB，∠ODC=∠OCD=45°，AB∥DC。 又∵∠EOF=∠DOC，且由，易知， ∴△EOF∽△DOC， ∴∠OFE=∠OCD=45°。 ∵，OD=OC=OB， ∴，ED=FC。 ∵AB∥DC， ∴△ABE∽△GDE， ∴， ∴DG=AB=CD=CG， ∴△DEG≌△CFG(SAS)， ∴GE=GF， ∴∠GEF=(180°－∠AGF)=90°α， ∴∠FAG=∠GEF－∠AFE=90°α－45°=45°α=。 10.(3分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，P是AD边上一点，连结PB，PC，有AB2=AP·PD，则图中有　3　对相似三角形。  【解析】 如答图，分别过点A，D作BC的垂线，垂足各为E，F。 第10题答图 ∵AD∥BC，∠ABE=∠DCF， ∴AE=DF，∠BAD=∠CDA。 又∵∠AEB=∠DFC=90°， ∴△ABE≌△DCF(AAS)， ∴AB=DC。 ∵AB2=AP·PD， ∴AB·CD=AP·PD，即， ∴△ABP∽△DPC， ∴∠ABP=∠DPC。 ∵AD∥BC， ∴∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC， ∴∠PCB=∠ABP， ∴△ABP∽△PCB， ∴△DPC∽△PCB。 综上所述，图中有3对相似三角形。 11.(8分)如图，AC是☉O的直径，弦BD交AC于点E。若AD2=AE·AC，求证：CD=CB。 证明：∵AD2=AE·AC， ∴。 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACD， ∴∠AED=∠ADC。 ∵AC是☉O的直径， ∴∠ADC=90°，∴∠AED=90°， ∴由垂径定理，得CD=CB。 12.(10分)如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，F是BD上一点，连结AF，△ABF∽△ACD。 (1)(5分)求证：△ABC∽△AFD。 (2)(5分)若BC=4，AD=9，DF=6，求AC的长。 解：(1)∵△ABF∽△ACD， ∴，∠BAF=∠CAD， ∴∠BAC=∠FAD， ∴△ABC∽△AFD。 (2)∵△ABC∽△AFD，∴。 ∵BC=4，AD=9，DF=6， ∴，∴AC=6。 13.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连结BD。 (1)(5分)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系。 (2)(5分)求∠ABD的度数。 解：(1)∵AD=BC，BC=， ∴AD=，DC=1， ∴AD2=，AC·CD=1×， ∴AD2=AC·CD。 (2)∵AD=BC，AD2=AC·CD， ∴BC2=AC·CD，即。 又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB， ∴，∠DBC=∠A。 又∵AB=AC， ∴BD=BC=AD， ∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC。 设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=∠BDC=2x。 ∵∠A＋∠ABC＋∠C=180°， ∴x＋2x＋2x=180°，解得x=36°， ∴∠ABD=36°。 14.[推理能力]如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=3，E是边AB上的动点，F是射线BC上的动点，且BF=2AE，连结AF，CE。若AF＋CE=m，则m的最小值为(　C　) A.3 B.3 C.6 D.6 【解析】 如答图，延长DA至点D'，使AD'=AD，连结DE，D'E，则易知DE=D'E，连结CD'。 第14题答图 ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=AD'，∠DAE=D'AE=90°。 ∵=2，∠ABF=∠D'AE=90°， ∴△ABF∽△D'AE， ∴，D'E=AF， ∴AF＋CE=D'E＋CE=m。 当E为CD'与AB的交点时，m取最小值，此时m=CD'==6。 第3课时　通过边判定三角形相似 分值：78分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.已知甲三角形的三边长分别为9，6，12，乙三角形的三边长分别为4，6，8，则这两个三角形(　C　) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.无法判断是否相似 2.下列各组条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是(　D　) A.∠A=∠D，∠B=∠E B.，∠B=∠E C. D.，∠B=∠E 3.若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比(　D　) A.增大了10% B.减小了10% C.增大了(1＋10%) D.没有改变 4.如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，AB=AE，BC=ED，AC=AD。有下列结论：①∠1=∠2；②AE=AD；③∠ABC＋∠ADC=180°；④。其中正确的是(　D　) A.①② B.①④ C.③④ D.①③④ 【解析】 ∵AB=AE，BC=ED，AC=AD， ∴， ∴△ABC∽△AED， ∴∠BAC=∠EAD，∠ABC=∠AED， ∴∠1=∠2，①正确， ∴△ABE∽△ACD， ∴，∠AEB=∠ADC，④正确， ∴∠ABC＋∠ADC=∠AED＋∠AEB=180°，③正确。 ∵AB=AE，若要AE=AD，则要AB=AD，已知条件无法证明，②不正确。 综上所述，正确的是①③④。 5.(3分)如图，△ABC与△DEF　相似　(填“相似”或“不相似”)。  6.(8分)如图，△ABC三边长分别为AB=3cm，BC=3.5cm，CA=2.5cm，△DEF三边长分别为DE=3.6cm，EF=4.2cm，FD=3cm，则△ABC与△DEF是否相似？为什么？ 解：△ABC∽△DEF。理由如下： ∵， ∴， ∴△ABC∽△DEF。 7.(8分)如图，设网格中每个小正方形的边长均为1。点A1，B1，C1和点A2，B2，C2都在小正方形的顶点上。求证：△A1B1C1∽△A2B2C2。 证明：由图可知，A1B1=，A1C1=，B1C1=5， A2B2=，A2C2=2，B2C2=， ∴， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2。 8.(8分)求证：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似。 已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，，求证：△ABC∽△A'B'C'。 证明：设=k，则AB=kA'B'，AC=kA'C'。 由勾股定理，得BC= = =k =kB'C'， ∴=k，∴， ∴△ABC∽△A'B'C'。 9.如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫作“格点三角形”，在图中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC，这样的格点三角形一共有(　C　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 第9题图 第9题答图 【解析】 如答图。 由图可知，使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个。 10.(8分)如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，且。 (1)(4分)若∠DAE=22°，求∠BAD的度数。 (2)(4分)判断△ADE与△ACB是否相似，并说明理由。 解：(1)∵， ∴△ABE∽△ACD， ∴∠BAE=∠DAE=22°， ∴∠BAD=44°。 (2)△ADE∽△ACB。理由如下： ∵，∴。 又∵∠DAC=∠BAE， ∴△ADE∽△ACB。 11.(10分)如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别为E，F。 (1)(4分)写出线段EF，AE，BE之间的数量关系。 (2)(6分)连结BF，若，求证：EF=EP。 解：(1)如答图所示标注∠1，∠2，∠3。 ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°。 ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA=∠AFD=90°。 ∵∠1＋∠2=90°，∠2＋∠3=90°， ∴∠1=∠3。 在△ABE和△DAF中， ∵ ∴△ABE≌△DAF(AAS)， ∴BE=AF， ∴EF=AE－AF=AE－BE。 第11题答图 (2)如答图所示标注∠4，∠5。 ∵，AF=BE， ∴，∴， ∴Rt△BEF∽Rt△DFA， ∴∠4=∠3=∠1。 ∵∠5=90°－∠ABE=∠1， ∴∠4=∠5。 又∵∠BEF=∠BEP=90°，BE=BE， ∴△BEF≌△BEP(ASA)，∴EF=EP。 12.(10分)已知：如图，O为△ABC内一点，A'，B'，C'分别是OA，OB，OC上的点， OA'∶AA'=OB'∶BB'=1∶2，C'是OC的三等分点。 (1)(5分)当OC'∶CC'=1∶2时，求证：△A'B'C'∽△ABC。 (2)(5分)当OC'∶CC'=2∶1时，若，则以O，B'，C'为顶点的三角形是否与△OBC相似？请说明理由。 解：(1)∵OA'∶AA'=OB'∶BB'=1∶2， ∴OA'∶OA=OB'∶OB=1∶3。 又∵∠A'OB'=∠AOB， ∴△OA'B'∽△OAB， ∴A'B'∶AB=1∶3。 同理可得A'C'∶AC=1∶3，B'C'∶BC=1∶3， ∴， ∴△A'B'C'∽△ABC。 (2)相似。理由如下： ∵OB'∶BB'=1∶2，OC'∶CC'=2∶1， ∴设CC'=x， OB'=y，则OC'=2x， OC=3x，BB'=2y，OB=3y。 ∵，∴y=x， ∴，∴。 又∵∠B'OC'=∠COB， ∴△OC'B'∽△OBC。 13.(8分)[推理能力]如图，∠O=90°，OA=OB=BC=CD。请找出图中的相似三角形，并说明理由。 解：△ABC∽△DBA。理由如下： 设OA=OB=BC=CD=x。 由勾股定理，得 AB=x， AC=x， AD=x。 ∵， ， ∴， ∴△ABC∽△DBA。 学科网（北京）股份有限公司 $