重难点培优02 点击三角恒等变换的7大热点题型（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦三角恒等变换高考核心考点，涵盖和差角、二倍角、和差化积等公式及7大热点题型，按知识精讲（公式梳理与技巧）、题型深研（典例变式与通法）、分层进阶（双阶训练）逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统突破难点。 资料以高考题型为导向，如“知值求值”中通过角的拆分培养推理能力，“三角综合”题强化数学语言表达，设置巩固与创新分层练习，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

重难点培优02 点击三角恒等变换的7大热点题型 内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 知角求值 3 题型2 知值求值 5 题型3 知值求角 6 题型4 和差化积、积化和差的应用 8 题型5 化简三角关系式 11 题型6 证明三角恒等式 12 题型7 三角恒等变换与三角函数的综合 16 分层进阶·双阶训练验成效 19 巩固过关 19 创新提升 29 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 和、差角公式 1．两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2．两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3．两角和差的正切公式的逆用: 4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识点2 二倍角公式 1.二倍角公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2.半角公式(不要求记忆) sin＝± ；cos＝± ；tan＝± .符号由所在象限决定. 知识点3 和差化积与积化和差公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 2.和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 知识点4 其他重要公式（二级结论） 1．两角和与差的公式的常用变形 ⑴sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. ⑵cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ⑶tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； ⑷tan αtan β＝1－＝－1. 2．辅助角公式的常见形式 ⑴sin x±cos x＝sin； ⑵sin x±cos x＝2sin； ⑶sin x±cos x＝2sin. 3．降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 4．升幂公式: 5．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 6．配方变换公式： 7因式分解变换公式： 8．万能公式：. 题型深研·通法变式提能力 题型1 知角求值 【典例1-1】（25-26高三下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式 . 【典例1-2】2．（25-26高三·全国·一轮复习）（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 . 故选：A. 方法技巧 知角求值问题求解策略 对于给角求值问题,一般有三类: (1)直接正用、逆用三角变换公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以转化为特殊角的求值问题. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用和差角或倍角公式.在求解过程中,需利用正、余弦函数关系配凑出应用三角公式的条件,使得问题出现逆用三角公式的形式. (3)对于一些弦、切混合型的给角求值问题,一般将其统一成弦或切的形式,再利用三角变换公式求解. 【变式1-1】（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【解析】由 故选：B 【变式1-2】 (多选)（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD 题型2 知值求值 【典例2-1】（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得. 所以， . 所以. 【典例2-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 所以， 所以. 方法技巧 知值求值问题求解策略 三角函数的知值求值，关键是把待求角用已知角表示.利用和、差角公式求值时，要善于观察各角之间的关系，然后合理拆角，即进行角的变换，一般是用已知的角表示出所求的角，然后利用公式计算求值. 【变式2-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 【答案】/ 【解析】，. . 题型3 知值求角 【典例3-1】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 【典例3-2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 方法技巧 知值求角问题求解策略 1．解决知值求角问题的一般步骤是: （1）求角的某一个三角函数值; （2）确定角的范围; （3）根据角的范围写出要求的角. 2．在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数. 【变式3-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解. 【解析】在中，由，得， 整理得， 而，则，又是锐角，所以. 【变式3-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】，， ，， ，， ， 又，． 题型4 和差化积、积化和差的应用 【典例4-1】（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 【典例4-2】（2026高三·全国·专题练习）（1）求值：______； （2）若，则的最大值是______． 【答案】 / 【解析】（1）原式 ． （2）（方法一）因为， 所以， 当且仅当时取等号，则的最大值为． （方法二）由于， 则 ， 当且仅当， 即时，取最大值， 且的最大值为． 方法技巧 结合函数最值求的取值范围 若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【变式4-1】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【答案】 【解析】方法一：由， 因为，所以， 解得． 方法二：由题意得． 方法三：由两角和差的正弦公式得 ，故． 题型5 化简三角关系式 【典例5-1】2＋等于(　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2 【答案】B 【解析】原式＝2＋＝2｜sin 2＋cos 2｜＋2｜cos 2｜.由于＜2＜π，所以cos 2＜0，sin 2＋cos 2＞0.故原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.故选B. 【典例5-2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）化简或计算： (1) (2) (3). 【解析】（1）原式. （2）. （3）原式. 【典例5-2】 方法技巧 化简三角关系式的策略 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看角，三看式子的结构特征. (1)观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角. (2)观察函数特点，向同角转化；弦切互化，通常是切化弦; (3)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，从而做到正用、逆用、转化使用，总之尽量达到化简的目的. 【变式5-1】化简：已知0＜θ＜π，则 ＝　　　　. 【答案】－cos θ 【解析】原式＝ ＝cos·＝.因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0.所以原式＝－cos θ. 【变式5-2】化简： sin(x+)+2sin(x-)- 【解析】解法1:原式= sin(x+)++2sin(x-) =2[sin(x+) =2sin(x+ =2sin( 解法2:原式＝sinxcos+cosxsin+2sinxcos - = 题型6 证明三角恒等式 【典例6-1】（2026·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为. (1)证明：； (2)若成等比数列. （i）设，求q的取值范围； （ii）求的取值范围. 【解析】(1)易知，所以， 则对于，即左侧等式成立， 又，两侧同时除以， 所以，即右侧等式成立，证毕； (2)（i）由题意，设公比为，知， 根据三角形三边关系知：， 解得. （ii）由（1）及正弦定理、余弦定理知： ， 由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即的取值范围为. 【典例6-2】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）在中，． (1)求证：； (2)当时，，求的值． 【解析】(1)整理得： ①， 在中，因为， 所以， 所以， 所以②. 将①乘以得： ， 再把②代入： ，得证. (2)由正弦定理：， 由余弦定理：，联立得： ， 正弦化边：，化简 ； 由，去分母：， 所以：，，故， 由，结合，当为钝角时，不成立， 所以为锐角，. 方法技巧 证明三角恒等式的具体策略 证明三角恒等式的几种常见思维方法 1.从左向右证. 2.从右向左证. 3.左右同时化到同一个式子. 4证左边与右边之差等于0,或证左边与右边之商等于1. 【变式6-1】已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【解析】（1）证明：，所以． 因为，所以，所以． 由，可得． （2）解：因为， 所以，可得． 由（1）得 ． 因为为锐角三角形，由可知， 设，则， 当且仅当时取等号，再由（1）可得， 此时，解得或时， 即当或时，等号成立， 故的最小值为. 【变式6-2】已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 【解析】（1）， ， ， ， ； ① ； ②； （2），则，，且， 所以，， ， ， 解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号 的最小值为． 题型7 三角恒等变换与三角函数的综合 【典例6-1】（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数的最小正周期为， (1)求的值，及单调递增区间： (2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由函数的最小正周期为，得，因此， ，由，得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）知，，， 依题意，，则， 由，得，于是， 即，整理得， 即，则，即， 由为锐角，得，解得，即，， 所以存在锐角满足题意，. 【典例6-2】（2026·辽宁大连·一模）已知函数 ，的部分图象如图所示. (1)求的值; (2)记求的解集. 【解析】（1） ， 由函数图象知：， 又由得：. （2）由小问1知：. ， 由得：， 得， ， ， 或， 解得：或，， 得：或，， 所以的解集为： 或. 方法技巧 证明三角恒等式的具体策略 证明三角恒等式的几种常见思维方法 1.从左向右证. 2.从右向左证. 3.左右同时化到同一个式子. 4证左边与右边之差等于0,或证左边与右边之商等于1. 【变式6-1】（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【解析】（1）， 故函数的最小正周期为，最大值为. （2）由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【解析】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：. 故选：D. 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以. 5． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【解析】 . ，. 4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为，所以， 已知为锐角，即，因此，， 所以，解得，即． 5．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， 代入，． 故选：A． 6．（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【解析】由题意可得：， 因为函数图象的一条对称轴是， 则，，解得，， 又因为，，则， 若函数在上有唯一零点，则，解得， 即，可得， 所以的最小值为. 7．（2026·四川·模拟预测）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 由，得. 因为在上无零点，所以， 所以， 所以，解得. 因为，所以或. 当时，； 当时，； 当时，， 综上的取值范围是. 8．(多选)（25-26高三上·四川遂宁·期中）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误； 故选：AB. 9．（多选）（24-25高三上·四川眉山·阶段检测）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于选项A： ，故A正确； 对于选项B： ，故B错误； 对于选项C： ，故C正确； 对于选项D： ，故D错误. 故选：AC. 10．（多选）（2026·湖南怀化·二模）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】BCD 【解析】因为， 则或， 即或． 若，则； 若，则， 可得，， 则， 若，解得； 若，解得． 11．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 【答案】/ 【解析】因为，， 所以，， 所以. 12．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 【答案】/0.25 【解析】，即，即， 因， 联立①与②，解得， ． 13．（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________. 【答案】 【解析】，其中，所以的最大值为. 14．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 【答案】/0.75 【解析】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 【解析】（1）由，，得. （2）由，得. （3）由，，得，由（1）知， 则，，， 所以. 16．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【解析】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 17．（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. (1)求； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若，，且，，求的值. 【解析】（1） ， 将代入得，故， 解得， 又，故当时，满足要求； （2）由（1）知，， 时，， 故当或，即或时，单调递增， 故单调递增区间为. （3），故， 又，所以， 因为，所以， 故， 又，故， 又，所以， 所以， 其中 其中，故. 18．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）因为 ， 当时，， 所以． 令，， 解得，． 所以的单调递增区间为，． （2）因为，在区间上单调递增，且， 所以，解得． 若选①：因为，又在区间上单调递增， 所以曲线关于对称． 所以，所以，． 解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选②：是的一个极值点，又在区间上单调递增， 所以在处取得最大值． 所以． 所以，．解得，． 又，所以． 所以的最小正周期为． 若选③：因为，，则， 由于在区间上单调递增，所以， 解得. 因为是的一个零点，所以， 解得， 又，所以或， 所以函数不唯一确定，故条件③不符合题目要求 创新提升 1．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 2．（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数进行化简，再根据单调性和方程有解的条件确定的取值范围. 【解析】因为，所以根据二倍角公式可得： ， ， ， 再根据辅助角公式进一步化简可得：， 因为，所以令，则， 因为的单调递增区间为，而， 所以整个区间需落在内，即， 求解可得：，因为方程即， 在内，仅有解， 又因为，解不等式：可得：. 3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知两函数和的图象在区间上有三个交点，且三个交点构成一个正三角形，若交点横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，即， 即，所以， 因为函数和的图象在区间上有三个交点， 所以方程在区间上有三个不同的解， 因为，所以， 所以，所以， 由，得， 所以， 所以， 则函数和的图象相邻两个交点的水平距离为， 构成正三角形的高为， 由正三角形的性质可得高与水平距离之比为， 即，所以， 所以， 则 ， 由和差化积公式可得 ， 所以. 4．(多选)（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【解析】对于选项A：当时，则，所以，故A错误； 对于选项B：当时，则，故B正确； 对于选项C：当时，则， 可得，即，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，， 可得，，所以，故D正确. 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 【答案】BC 【解析】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 6．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数.若，且，，则___________. 【答案】/ 【解析】由题意可知： ， 时，， 而，，， 可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴， 若，且，，则， 所以. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 【答案】 【解析】由题意：，， 得：， 所以或，， 又，所以，，， . 8．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【解析】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 9．（2026·陕西西安·模拟预测）某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案： (1)分别用表示两个方案中矩形的面积； (2)分别求出的最大值，并比较二者最大值的大小． 【解析】（1）如图1，在Rt中，， 所以.在Rt中，. ．则，. 如图2，过点作于点，过点作CD的垂线，交弧于点， 在Rt中，，所以. 由扇形和矩形的对称性可得，， 则在Rt中，，则，. 则. （2）由，得. 方案一：， 当时，即时，取最大值，最大值为. 方案二：， 所以当时，即时，取最大值，最大值为， 因为，所以. 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 点击三角恒等变换的7大热点题型 内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1_ 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 知角求值 3 题型2 知值求值 4 题型3 知值求角 4 题型4 和差化积、积化和差的应用 5 题型5 化简三角关系式 5 题型6 证明三角恒等式 7 题型7 三角恒等变换与三角函数的综合 9 分层进阶·双阶训练验成效 11 巩固过关 11 创新提升 14 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 和、差角公式 1．两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2．两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3．两角和差的正切公式的逆用: 4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识点2 二倍角公式 1.二倍角公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2.半角公式(不要求记忆) sin＝± ；cos＝± ；tan＝± .符号由所在象限决定. 知识点3 和差化积与积化和差公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 2.和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 知识点4 其他重要公式（二级结论） 1．两角和与差的公式的常用变形 ⑴sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. ⑵cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ⑶tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； ⑷tan αtan β＝1－＝－1. 2．辅助角公式的常见形式 ⑴sin x±cos x＝sin； ⑵sin x±cos x＝2sin； ⑶sin x±cos x＝2sin. 3．降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 4．升幂公式: 5．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 6．配方变换公式： 7因式分解变换公式： 8．万能公式：. 题型深研·通法变式提能力 题型1 知角求值 【典例1-1】（25-26高三下·江苏淮安·期中）（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】2．（25-26高三·全国·一轮复习）（   ） A． B． C． D．2 方法技巧 知角求值问题求解策略 对于给角求值问题,一般有三类: (1)直接正用、逆用三角变换公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化,一般可以转化为特殊角的求值问题. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用和差角或倍角公式.在求解过程中,需利用正、余弦函数关系配凑出应用三角公式的条件,使得问题出现逆用三角公式的形式. (3)对于一些弦、切混合型的给角求值问题,一般将其统一成弦或切的形式,再利用三角变换公式求解. 【变式1-1】（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【变式1-2】 (多选)（25-26高三上·山东淄博·期中）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 知值求值 【典例2-1】（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 知值求值问题求解策略 三角函数的知值求值，关键是把待求角用已知角表示.利用和、差角公式求值时，要善于观察各角之间的关系，然后合理拆角，即进行角的变换，一般是用已知的角表示出所求的角，然后利用公式计算求值. 【变式2-1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 题型3 知值求角 【典例3-1】（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 知值求角问题求解策略 1．解决知值求角问题的一般步骤是: （1）求角的某一个三角函数值; （2）确定角的范围; （3）根据角的范围写出要求的角. 2．在求角的某个三角函数值时,应注意根据条件选择恰当的函数,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数. 【变式3-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 【变式3-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 题型4 和差化积、积化和差的应用 【典例4-1】（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026高三·全国·专题练习）（1）求值：______； （2）若，则的最大值是______． 方法技巧 结合函数最值求的取值范围 若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解. 【变式4-1】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 题型5 化简三角关系式 【典例5-1】2＋等于(　　) A.2cos 2 B.2sin 2 C.4sin 2＋2cos 2 D.2sin 2＋4cos 2 【典例5-2】（25-26高三上·福建龙岩·期中）化简或计算： (1) (2) (3). 方法技巧 化简三角关系式的策略 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看角，三看式子的结构特征. (1)观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角. (2)观察函数特点，向同角转化；弦切互化，通常是切化弦; (3)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，从而做到正用、逆用、转化使用，总之尽量达到化简的目的. 【变式5-1】化简：已知0＜θ＜π，则＝　　　　. 【变式5-2】化简： sin(x+)+2sin(x-)- 题型6 证明三角恒等式 【典例6-1】（2026·湖北黄冈·一模）在中，角所对的边分别为. (1)证明：； (2)若成等比数列. （i）设，求q的取值范围； （ii）求的取值范围. 【典例6-2】（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）在中，． (1)求证：； (2)当时，，求的值． 方法技巧 证明三角恒等式的具体策略 证明三角恒等式的几种常见思维方法 1.从左向右证. 2.从右向左证. 3.左右同时化到同一个式子. 4证左边与右边之差等于0,或证左边与右边之商等于1. 【变式6-1】已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 【变式6-2】已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 题型7 三角恒等变换与三角函数的综合 【典例7-1】（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数的最小正周期为， (1)求的值，及单调递增区间： (2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 【典例7-2】（2026·辽宁大连·一模）已知函数 ，的部分图象如图所示. (1)求的值; (2)记求的解集. 方法技巧 证明三角恒等式的具体策略 证明三角恒等式的几种常见思维方法 1.从左向右证. 2.从右向左证. 3.左右同时化到同一个式子. 4证左边与右边之差等于0,或证左边与右边之商等于1. 【变式7-1】（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【变式7-2】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 4．（2026·重庆万州·模拟预测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（2026·广东茂名·二模）若函数图象的一条对称轴是，且在上有唯一零点，则的最小值为（     ） A． B．4 C．5 D． 7．（2026·四川·模拟预测）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．(多选)（25-26高三上·四川遂宁·期中）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高三上·四川眉山·阶段检测）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·湖南怀化·二模）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 11．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 12．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 13．（2026·河南·模拟预测）函数的最大值为________. 14．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 15．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求． 16．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 17．（25-26高三上·重庆南岸·阶段检测）设函数，其中，已知函数的图象关于点成中心对称. (1)求； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若，，且，，求的值. 18．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期． 条件①：；条件②：是的一个极值点；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 创新提升 1．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁沈阳·三模）已知两函数和的图象在区间上有三个交点，且三个交点构成一个正三角形，若交点横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 4．(多选)（2026·福建福州·三模）已知，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（     ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 6．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数.若，且，，则___________. 7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 8．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案： (1)分别用表示两个方案中矩形的面积； (2)分别求出的最大值，并比较二者最大值的大小． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $