重难点培优01 集合、逻辑用语难点突破：含参求解与新定义题型（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦集合含参求解、新定义题型及逻辑用语三大核心考点，按知识精讲-题型深研-分层训练系统架构，梳理集合元素特征、子集个数等核心结论，通过8类题型变式训练，结合分类讨论、数轴数形结合等方法，帮助学生构建解题框架。 资料以高考高频难点为突破点，如集合互异性检验、空集分类讨论、新定义四步解题法，培养学生数学思维的严谨性与逻辑推理能力。设置巩固过关与创新提升分层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

重难点培优01 集合、逻辑用语难点突破：含参求解与新定义题型内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 集合常用核心结论 1 知识点02 集合中的新定义问题 3 知识点03 从集合角度判断充分、必要条件 3 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 根据元素与集合的关系求参数 4 题型2 根据集合的包含关系求参数 5 题型3 根据交并补运算求参数 7 题型4 根据量词命题的真假求参数 8 题型5 根据充分、必要条件求参数 9 题型6 集合新定义问题——定义新运算 11 题型7 集合新定义问题——定义新概念 14 题型8 集合新定义问题——定义新性质 16 分层进阶·双阶训练验成效 21 巩固过关 21 创新提升 26 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 集合常用核心结论 一、集合的三大特征及考点应用 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大核心特征，是集合判断题、含参求值题的基础考点，具体内容与解题注意事项如下： 1．确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象要么属于这个集合，要么不属于这个集合，结果唯一确定。模糊、不确定的描述不能构成集合，例如“个子高的同学”“接近0的数”均无法组成集合。 2．互异性：集合中的任意两个元素互不相同，集合内元素具有唯一性。这是考试高频易错点，在已知集合含参数、根据元素关系求参数时，求出参数后必须代入检验，保证集合内元素不重复。 3．无序性：集合中的元素排列没有顺序要求，元素相同、顺序不同的两个集合为同一个集合，如集合{1,2,3}与{3,2,1}完全相等。 二、有限集合子集个数规律 若一个集合内包含个元素，可直接得出以下四类集合数量： 1．集合全部子集总个数：个 2．集合非空子集个数：个 3．集合真子集个数：个 4．集合非空真子集个数：个 三、集合间的包含关系相关结论 1．基本传递性：若，，则。 2．包含关系等价转化：． 3．元素范围判断要点 当两个集合存在包含关系且带有未知参数时，采用分类讨论、数轴数形结合两种方法解题。 分类讨论：若，未说明非空时，必须分和两种情况讨论，防止漏解。 数形结合：将数集范围画在数轴上，区分端点实心、空心，根据包含关系列不等式（组）求解参数。 四、集合交、并、补运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）,． 五、容斥原理（集合元素计数） 求解有限集合内元素总个数时，借助Venn图区分交集、并集区域，用代表集合的元素数量，核心公式： 1．两个集合计数: 2．三个集合计数： 解题时通过Venn图标注各区域元素数量，区分仅属于单个集合、两集合相交、三集合相交部分，快速列式计算。 知识点02 集合中的新定义问题 集合新定义题型属于创新类考题，题目会给出全新规则，分为新概念、新运算、新性质三类，解题依托基础集合知识推理计算。 1．集合新概念问题 题目重新定义集合或者集合内相关元素，依托我们所学的集合基础关系、运算完成解题，核心是读懂题干给出的全新概念描述。 2．集合新运算问题 题干自定义一套专属集合运算规则，做题时严格遵循题目给出的运算逻辑，结合集合交、并、补原有知识完成计算与逻辑推导。 3．集合新性质问题 基于原有集合概念拓展出新的专属性质，解题时结合集合元素特征、包含关系、运算公式，搭配分类讨论、数形结合等数学思想求解。 4．集合新定义通用解题步骤 第一步找：提炼新定义核心要素，完整找出定义包含的全部条件，不可遗漏； 第二步看：明确题目最终要求求解的内容； 第三步代：把题干给出的已知数值、集合范围代入新定义规则； 第四步解：结合常规集合知识点列式、推理，得出最终答案。 知识点03 从集合角度判断充分、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 核心判断规律：范围更小的集合可以推出范围更大的集合。小集合对应条件是充分不必要条件，大集合对应条件是必要不充分条件；两个集合范围完全相等时，二者互为充要条件。 题型深研·通法变式提能力 题型1 根据元素与集合的关系求参数 方法技巧 解题要依托集合元素确定性、互异性、无序性三大特征，将已知元素代入集合对应的方程求解参数，算出所有候选值后必须回代检验互异性，只要出现集合元素重复，该参数就要直接舍去，这是此类题目最容易丢分的关键点。 做题时分清元素属于、不属于集合两种情况，点集题型需要横纵坐标同时满足条件，不能只计算单一变量，多组解全部逐一验证，剔除造成集合矛盾的取值。 例1．已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 变式1-1．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 变式1-2．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 变式1-3．已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 题型2 根据集合的包含关系求参数 方法技巧 处理子集问题第一步一定要分类讨论空集，若，先分析时参数满足的条件，再讨论为非空集合的情形，借助数轴标注区间边界，严格区分实心、空心端点，列出对应不等式组。 数轴作图时保证子集区间完全包含在母集内部，规范判断端点能否取等，最后合并空集与非空集合两种情况的参数范围，遗漏空集讨论会直接丢失部分正确答案。 例2．设集合， ，若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得：，所以，所以， 由，所以. 变式2-1．已知集合，且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 当时，. 当时，，则，得或. 故的取值集合为. 变式2-2．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是的正因数； 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以； 因为，集合中的最大元素为，所以必须大于等于6，即，所以实数的取值范围是. 变式2-3．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 题型3 根据交并补运算求参数 方法技巧 先把交集、并集、补集的文字条件转化为集合范围关系，像可等价转化为，代表两集合无公共取值，补集条件要结合全集反向推导原集合区间。 利用数轴划分取值范围，根据运算约束列出不等式，算出参数后代入原式验算，涉及补集运算时先锁定全集范围，防止混淆原集合与补集的区间边界。 例3．已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 变式3-1．已知集合，且，则_______． 【答案】1 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 变式3-2．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 变式3-3．已知集合，，若，则______；若中有且只有2个整数，则a的取值范围为______． 【答案】 －2 【详解】由题可得，． 因为，所以，解得； 因为， 由有且只有2个整数，可知这两个整数为 所以，解得，所以实数a的取值范围为． 故答案为：；. 题型4 根据量词命题的真假求参数 方法技巧 全称命题为真等价于不等式在给定区间恒成立，存在命题为真等价于不等式在区间内能成立，两类题型核心都可以分离参数，转化为函数最值问题，恒成立取边界最值，能成立取反向最值。 若直接判定原命题为假难度较大，可先写出命题的否定，将假命题转化为对应真量词命题求解范围，再取对应区间，计算过程更简洁，也能减少逻辑判断失误。 例4．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 变式4-1．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 变式4-2．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】命题为真：，，则，即. 命题为真：方程有实根， 化简得得，解得或. 均为真，取交集得或. 变式4-3．若“，”是假命题，则实数的最小值为______． 【答案】 【详解】若“，”是假命题，则“，”是真命题， 所以，，又因为时，，所以， 则实数的最小值为. 题型5 根据充分、必要条件求参数 方法技巧 先分别求出条件、对应的取值集合、，利用集合包含关系转化逻辑关系，小范围集合对应充分条件，大范围集合对应必要条件，两集合范围完全相等时互为充要条件。 在数轴上对比两个区间的大小，根据题干逻辑要求列出区间包含不等式组，谨慎判断端点等号是否同时成立，算出参数范围后反向验证，避免把两个集合的包含关系写反。 例5．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 【答案】 【详解】由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 变式5-1．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 变式5-2．设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】对于：等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以； 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得． 变式5-3．已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，有，整理得，解得或， 所以或，所以，又， 所以； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 不等式可化为， 若，则不等式即，解得，所以， 满足； 当时，不等式即，解得， 若，则，解得； 当时，不等式即，解得或， 满足； 综上，实数的取值范围为. 题型6 集合新定义问题——定义新运算 例6．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. 变式6-1．定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 变式6-2．（多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 变式6-3．（多选）用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．存在，使得 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B错误； 对于C，当时，，此时，故C正确； 对于D，因为，要使得，所以或3，若， 满足，解得； 若，因为方程的两个根，都不是方程的根， 所以需满足，解得. 综上：或， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD 题型7 集合新定义问题——定义新概念 例7．（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，A错误； ，，B正确； ，C正确； ，D错误. 故选：BC. 变式7-1．对于一个由整数组成的集合中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“大和数”为______． 【答案】 【详解】一共有6个元素，全体元素之和为：. 对于集合的任意一个子集，总能找到一个子集，使得， 又当时，，结合集合有个子集，则形如与这样的非空集合对有对，而相互对应的两个集合的元素和为，则的“大和数”为： . 故答案为： 变式7-2．（多选）如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．存在集合A，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】 【详解】若， 所以 故，选项A正确； 若一个集合有个元素，则其子集个数为个，即，显然当时，无解，故选项B错误； 若已知，则集合与集合无相同元素，故集合与集合只有唯一相同子集，所以，故选项C正确； 若，假设集合有个元素，则集合有个元素，所以集合与集合的子集个数分别为个， 即 故，所以选项D正确. 故选：ACD 变式7-3．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 【答案】 【详解】由题意可知，元素在集合的所有非空子集中分别出现次数是一样的， 它们每一个出现的次数都相当于另外5个元素组成的集合的子集个数，故其出现次数均为次， 则这些交叉数的总和是： . 故答案为：96. 题型8 集合新定义问题——定义新性质 例8．给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 【答案】(1)集合具有性质，理由见详解 (2)集合，理由见详解； (3)集合不具有性质，理由见详解. 【分析】 【详解】（1）集合具有性质，理由如下： 因为，则任取两个元素有： ①，此时，且只有一个2， ②，此时，且只有一个2， ③，此时，且只有一个2， 综上所述集合具有性质. （2）集合，理由如下： 任取两个元素有： ①，此时， 且只有一个2， ②，此时， 且只有一个2， ③，此时， 且只有一个2， 综上所述集合具有性质，故集合可以是. （3）集合不具有性质，理由如下： 设， ， 因为任取集合中的两个元素， 有， 设和为，则， ①当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和大于，不合题意； ②当时，集合， 此时中其余4个元素的数字之和小于5，不合题意； ③当时， 集合， 任取其中两个元素，这5个和均不大于1，故不满足题意， ④当时，集合， 任取其中两个元素,这5个和中至少有3个2， 故不满足题意， ⑤当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现1次， 故余下3个元素中必定存在两个元素，使得均为1，, 不满足题意，故时不存在具有性质. ⑥当时，集合， ， 若集合中元素个数为5，不妨设， 若具有性质，则余下3个元素中，各元素中1的分布如下： 1在第1列、第2列、第3列中共出现1次，1在第4列，第5列共出现2次， 故余下3个元素中,均会出现两个2， 不满足题意，故时不存在具有性质. 综上，集合不具有性质. 变式8-1．若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【详解】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 变式8-2．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 变式8-3．设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【答案】(1)B不具有，C具有，理由见解析； (2)证明见解析； (3)110个 【分析】 【详解】（1）当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； （2）将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由可得函数图象关于直线对称． 因为集合中恰有两个元素， 故或或， 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 若，则，故， 此时，满足题设要求； 所以所有满足条件的实数的和为． 2．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 3．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 5．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 6．（）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，A错误； 若，则无意义，与是一个非空数集矛盾，故，B正确； 若，则，即，C正确； 根据题目可知若，则，， 代入条件①，则有，， 代入条件②，则有，， 可知. 故若，则，由条件无法确定，D错误. 7．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 8．已知集合． (1)求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)；或. (2) 【分析】 【详解】（1）解：由集合， 又由不等式，可得， 解得，所以， 所以，或， 所以或. （2）解： 因为是的充分不必要条件，可得是的真子集, 由不等式，可得， 因为，不等式即为即，即 当时，即时，解得，可得， 则满足，解得，即； 当时，即时，即，可得，满足是的真子集； 当时，即时，解得，可得， 因为，可得，显然是的真子集， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 9．已知p：关于x的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题， 所以关于x的方程无实数根， 所以，即，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知当p：关于x的方程有实数根时，； 由命题可得， 因为p是q的必要不充分条件， 所以q对应的集合是p对应集合的真子集，即是的真子集， 所以，解得， 所以实数m的取值范围是． 10．已知全集，集合，集合 (1)求和 (2)已知集合，若，求实数的取值范围 【答案】(1)或， (2) 【分析】 【详解】（1）因为, 所以，则，所以， 因为，解得， 所以， 则或，； （2）因为，可得， 则，得， 所以实数的取值范围为. 11．已知，且中至少有一个不是空集，求的取值范围． 【答案】 【详解】若集合不是空集，则，解得； 若集合不是空集，则，解得； 若集合不是空集，则，解得， 因为、、中至少有一个不是空集， 所以取并集，即或，的取值范围是， 故答案为：. 12．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 创新提升 1．已知函数的定义域为集合，集合. (1)求； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）由得， 所以函数定义域为，即集合， 因为等价于，即， 则，解得，所以集合， 所以，因为，所以； （2）若，得，解得， 此时满足，符合题意； 若，要使， 则，解得； 综上，实数的取值范围是. 2．已知，集合或，集合，全集， (1)当时，求； (2)若恰有2个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由于，所以， ，，而 当时，； （2）由恰有2个元素，又因为，中的两个偶数是和， 3．（河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________． 【答案】 【详解】集合共有9个元素， 则集合有个非空子集. 根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有. 若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合； 若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义； 同理，含有或的集合也不是完美集合， 因此，完美集合只能是集合的非空子集， 其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个， 所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个， 所以非空子集中不是完美集合的概率是. 4．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 5．给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】(1) ， (2)（i） ；（ii） 【分析】 【详解】（1）（1） ， ． （2）（2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 集合、逻辑用语难点突破：含参求解与新定义题型内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 知识点01 集合常用核心结论 1 知识点02 集合中的新定义问题 3 知识点03 从集合角度判断充分、必要条件 3 题型深研·通法变式提能力 4 题型1 根据元素与集合的关系求参数 4 题型2 根据集合的包含关系求参数 4 题型3 根据交并补运算求参数 5 题型4 根据量词命题的真假求参数 5 题型5 根据充分、必要条件求参数 6 题型6 集合新定义问题——定义新运算 6 题型7 集合新定义问题——定义新概念 7 题型8 集合新定义问题——定义新性质 8 分层进阶·双阶训练验成效 9 巩固过关 9 创新提升 10 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点01 集合常用核心结论 一、集合的三大特征及考点应用 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大核心特征，是集合判断题、含参求值题的基础考点，具体内容与解题注意事项如下： 1．确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象要么属于这个集合，要么不属于这个集合，结果唯一确定。模糊、不确定的描述不能构成集合，例如“个子高的同学”“接近0的数”均无法组成集合。 2．互异性：集合中的任意两个元素互不相同，集合内元素具有唯一性。这是考试高频易错点，在已知集合含参数、根据元素关系求参数时，求出参数后必须代入检验，保证集合内元素不重复。 3．无序性：集合中的元素排列没有顺序要求，元素相同、顺序不同的两个集合为同一个集合，如集合{1,2,3}与{3,2,1}完全相等。 二、有限集合子集个数规律 若一个集合内包含个元素，可直接得出以下四类集合数量： 1．集合全部子集总个数：个 2．集合非空子集个数：个 3．集合真子集个数：个 4．集合非空真子集个数：个 三、集合间的包含关系相关结论 1．基本传递性：若，，则。 2．包含关系等价转化：． 3．元素范围判断要点 当两个集合存在包含关系且带有未知参数时，采用分类讨论、数轴数形结合两种方法解题。 分类讨论：若，未说明非空时，必须分和两种情况讨论，防止漏解。 数形结合：将数集范围画在数轴上，区分端点实心、空心，根据包含关系列不等式（组）求解参数。 四、集合交、并、补运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）,． 五、容斥原理（集合元素计数） 求解有限集合内元素总个数时，借助Venn图区分交集、并集区域，用代表集合的元素数量，核心公式： 1．两个集合计数: 2．三个集合计数： 解题时通过Venn图标注各区域元素数量，区分仅属于单个集合、两集合相交、三集合相交部分，快速列式计算。 知识点02 集合中的新定义问题 集合新定义题型属于创新类考题，题目会给出全新规则，分为新概念、新运算、新性质三类，解题依托基础集合知识推理计算。 1．集合新概念问题 题目重新定义集合或者集合内相关元素，依托我们所学的集合基础关系、运算完成解题，核心是读懂题干给出的全新概念描述。 2．集合新运算问题 题干自定义一套专属集合运算规则，做题时严格遵循题目给出的运算逻辑，结合集合交、并、补原有知识完成计算与逻辑推导。 3．集合新性质问题 基于原有集合概念拓展出新的专属性质，解题时结合集合元素特征、包含关系、运算公式，搭配分类讨论、数形结合等数学思想求解。 4．集合新定义通用解题步骤 第一步找：提炼新定义核心要素，完整找出定义包含的全部条件，不可遗漏； 第二步看：明确题目最终要求求解的内容； 第三步代：把题干给出的已知数值、集合范围代入新定义规则； 第四步解：结合常规集合知识点列式、推理，得出最终答案。 知识点03 从集合角度判断充分、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即， p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 核心判断规律：范围更小的集合可以推出范围更大的集合。小集合对应条件是充分不必要条件，大集合对应条件是必要不充分条件；两个集合范围完全相等时，二者互为充要条件。 题型深研·通法变式提能力 题型1 根据元素与集合的关系求参数 方法技巧 解题要依托集合元素确定性、互异性、无序性三大特征，将已知元素代入集合对应的方程求解参数，算出所有候选值后必须回代检验互异性，只要出现集合元素重复，该参数就要直接舍去，这是此类题目最容易丢分的关键点。 做题时分清元素属于、不属于集合两种情况，点集题型需要横纵坐标同时满足条件，不能只计算单一变量，多组解全部逐一验证，剔除造成集合矛盾的取值。 例1．已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 变式1-1．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 变式1-2．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 变式1-3．已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型2 根据集合的包含关系求参数 方法技巧 处理子集问题第一步一定要分类讨论空集，若，先分析时参数满足的条件，再讨论为非空集合的情形，借助数轴标注区间边界，严格区分实心、空心端点，列出对应不等式组。 数轴作图时保证子集区间完全包含在母集内部，规范判断端点能否取等，最后合并空集与非空集合两种情况的参数范围，遗漏空集讨论会直接丢失部分正确答案。 例2．设集合， ，若，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知集合，且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 题型3 根据交并补运算求参数 方法技巧 先把交集、并集、补集的文字条件转化为集合范围关系，像可等价转化为，代表两集合无公共取值，补集条件要结合全集反向推导原集合区间。 利用数轴划分取值范围，根据运算约束列出不等式，算出参数后代入原式验算，涉及补集运算时先锁定全集范围，防止混淆原集合与补集的区间边界。 例3．已知集合，，若，则实数的所有取值之和为（    ） A．2 B． C．4 D． 变式3-1．已知集合，且，则_______． 变式3-2．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知集合，，若，则______；若中有且只有2个整数，则a的取值范围为______． 题型4 根据量词命题的真假求参数 方法技巧 全称命题为真等价于不等式在给定区间恒成立，存在命题为真等价于不等式在区间内能成立，两类题型核心都可以分离参数，转化为函数最值问题，恒成立取边界最值，能成立取反向最值。 若直接判定原命题为假难度较大，可先写出命题的否定，将假命题转化为对应真量词命题求解范围，再取对应区间，计算过程更简洁，也能减少逻辑判断失误。 例4．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 变式4-1．若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 变式4-2．已知命题 命题 若和都是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 变式4-3．若“，”是假命题，则实数的最小值为______． 题型5 根据充分、必要条件求参数 方法技巧 先分别求出条件、对应的取值集合、，利用集合包含关系转化逻辑关系，小范围集合对应充分条件，大范围集合对应必要条件，两集合范围完全相等时互为充要条件。 在数轴上对比两个区间的大小，根据题干逻辑要求列出区间包含不等式组，谨慎判断端点等号是否同时成立，算出参数范围后反向验证，避免把两个集合的包含关系写反。 例5．设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是______. 变式5-1．已知，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 变式5-2．设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 变式5-3．已知集合，关于的不等式的解集记为. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型6 集合新定义问题——定义新运算 例6．设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 变式6-1．定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．（多选）用表示非空集合中元素的个数，定义已知集合，则下面结论正确的是（    ） A．若，则 B． C．存在，使得 D．若，则 题型7 集合新定义问题——定义新概念 例7．（多选）集合，是实数集的子集，定义，叫做集合的对称差．若集合，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．对于一个由整数组成的集合中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“大和数”为______． 变式7-2．（多选）如果我们把集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为.用表示有限集A的元素个数.则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．存在集合A，使得 C．若，则 D．若，则 变式7-3．对非空集合中的每个元素，都乘以再求和，称为集合的交叉数，例如，则集合的交叉数为．若集合，则的所有非空子集的交叉数的总和为______． 题型8 集合新定义问题——定义新性质 例8．给定正整数，设集合．对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为2，则称具有性质． (1)当时，判断是否具有性质；（结论不要求证明） (2)当时，直接写出一个具有性质，且元素的个数为3的集合；（结论不要求证明） (3)当时，若中的元素个数为5，判断是否具有性质，若具有，写出一个集合，若不具有，说明理由． 变式8-1．若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 变式8-2．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 变式8-3．设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．已知函数．若集合中恰有两个元素，则所有满足条件的实数的和为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 6．（）已知非空数集满足：①若，则；②若，则.下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 8．已知集合． (1)求； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 9．已知p：关于x的方程有实数根，． (1)若命题是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 10．已知全集，集合，集合 (1)求和 (2)已知集合，若，求实数的取值范围 11．已知，且中至少有一个不是空集，求的取值范围． 12．已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 创新提升 1．已知函数的定义域为集合，集合. (1)求； (2)若集合，求实数的取值范围. 2．已知，集合或，集合，全集， (1)当时，求； (2)若恰有2个元素，求实数的取值范围． 4．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 5．给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $