重难点培优01 三次函数的图象和性质（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点培优01 三次函数的图象和性质内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 三次函数根与系数的关系 题型2 三次函数的单调性 题型3 三次函数的极值 题型4 三次函数的最值 题型5 三次函数的零点问题 题型6 三次函数的对称问题 题型7 三次函数的切线问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 基本性质 设三次函数为，其性质有： ① 定义域为. ② 值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. ③ 单调性和图象： 图像特征 图像 知识点2 三次方程的实根个数 设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得： ① 若，则恰有一个实根. ② 若，且，则恰有一个实根. ③ 若，且，则有两个不相等的实根. ④ 若，且，则有三个不相等的实根. 【说明】 · 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）. · 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且. · 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 知识点3对称性 ① 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是. ② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 【知识拓展】1.三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ；②； ；④ . 2.若图象关于点对称，则图象关于直线 对称 中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 3. 三次函数f(x)的四段论法则 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)且导函数Δ>0 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)且导函数Δ>0 (1)对称中心：； (2)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx； 题型深研·通法变式提能力 题型1三次函数根与系数的关系 【例1】（2026·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A．B．  C．  D．   【答案】B 【解析】对比各个选项可知， 由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点， 令， 可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A，C； 若，则函数的图象形状为增减增， 在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B符合； 若，则函数的图象形状为减增减， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D不符合． 故选B. 【变式1】（2026·江西南昌一模）已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．当时函数取得极小值 B．有两个极大值点 C． D． 【答案】D 【解析】由导函数的图象可得：时，是增函数；时，是减函数；时，是增函数；所以A，B均不正确； 由于，所以C不正确； 因为，结合图象可知，所以； 故选：D. 【变式2】（2026·湖北黄冈·三模）已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∴,   因为从左到右先增后减再增， 所以二次函数的图象开口向上， ， 因为的极值点都为正， 所以有两个不同的正根， 所以则，且则.故选：B 【变式3】（2026·重庆渝北·期中）已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【解析】由题意可知函数在上单调递增，在上单调递减， 极大值点为，极小值点为， 所以的两根为，，且， 所以，所以， 由题意可得函数与轴的交点位于轴的正半轴，所以. 综上，，，，. 题型2 三次函数的单调性 【例2】（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为，故选C． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 【变式2】（2026·宁夏·模拟预测）函数在R上是单调递增的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 因为在R上单调递增，所以不等式在R上恒成立， 即在R上恒成立， 所以，解得. 所以在R上单调递增的充分条件为的子集，故选B 【变式3】已知函数．讨论的单调性； 【解析】,令,解得或, ①当,即时,由得或；由得, 所以在和上单调递增；在上单调递减； ②当,即时,恒成立,所以在上单调递增； ③当,即时,由得或；由得, 所以在和上单调递增；在上单调递减； 综上, 当时,在和上单调递增；在上单调递减； 当时,在上单调递增； 当时,在和上单调递增；在上单调递减. 题型3 三次函数的极值 【例3】（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【解析】由，得， 因为函数在处有极大值，所以， 所以，解得或， 若，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，不符合题意， 若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 综上所述：c值为6. 【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【解析】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增， 在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 【变式2】（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 因为为极值点，所以， 即，解得， 所以，此时是函数的极小值点，符合题意， 因此. 【变式3】（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】函数求导得， 由题意知， 则，解得或， 当时，， 由或；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值. 当时，， 由或；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. 满足条件的是． 题型4 三次函数的最值 【例4】函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 因，则当在内存在最小值时，有得， 则实数的取值范围是.故选：C. 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，令，解得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减，所以的极小值为， 因为区间内存在最小值，所以极小值点0在区间内， 则，解得， 令，解得，或， 所以，解得， 综上，函数在区间内存在最小值时， 要满足“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件， 即所求为的真子集，分析选项可得，只有符合题意. 【变式2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数在区间上的最大值是________. 【答案】2 【解析】函数，定义域为R， ，在区间上， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又，，所以函数在区间上的最大值是2. 【变式3】（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】∵，∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 题型5 三次函数的零点问题 【例5】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】D 【解析】函数，， 当单调递增，当单调递减，当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 【变式1】（24-25高二下·北京大兴·期中）若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义域为R， ， 令得或，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极大值，在处取得极小值， 且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 要想函数有且仅有一个零点，需满足或， 即或，解得或. 故选：D 【变式2】（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法1：因为， 令，解得或； 令，解得， 所以在上单调递增， 要满足函数在区间内仅有一个零点， 则，，解得，故选：C. 法2：由题意，关于的方程在内仅有一个解， 而，， 令，解得或；即在上单调递增， 原问题等价于.故选：C 【变式3】（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【解析】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 题型6 三次函数的对称问题 【例6】设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 . 【答案】 【解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，. 【变式1】函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】设的对称中心为，则对任意恒成立， 代入解析式，有，即对任意恒成立， 所以，解得，故对称中心为. 【变式2】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解】图象关于点对称，， 又， ， ，解得：，. 【变式3】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】B 【解】二级结论：三次函数对称中心的横坐标是其二阶导数的零点。由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1， 设对称中心为，则，可解得， 由，故 题型7 三次函数的切线问题 【例7】已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，又由是偶函数，， 令，则，根据是偶函数，，得到时，， 所以，时，，， 故曲线在处的切线方程为，即. 【变式1】已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点不在函数的图象上，则，即， 设过点的直线与的图象相切于， 则切线的斜率，整理可得， 则问题可转化为只有一个零点，且， 令，可得或， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值，要使仅有一个零点， 或 【变式2】若过点可作曲线三条切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】设切点为，则， ，故，且切线方程为， 因为在切线上，故，整理得， 因为过点可作曲线三条切线，故有三个实数根， 设，则， 由得，或， 因为，由得或，此时单调递增， 由得，此时单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为， 故要有三个实数根的充要条件为，即， 解得. 【变式3】已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 根据题意得，解得， ∴函数的解析式为， 设切点为，则，，故切线的斜率为， 由题意得，即， ∵过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实数解， ∴函数有三个不同的零点．由于， ∴当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增． ∴当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为． ∵函数有3个零点，∴，解得． ∴实数的取值范围是． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，    所以的解集为. 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 【答案】C 【解析】已知函数，则， 对于A，由得，当时，有或；当时，有， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，极大值为，极小值为，故A错误； 对于B，由于，所以当且仅当或，故B错误； 对于C，因为，所以，由在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，假设的图象关于对称，则有， 而，所以的图象关于对称，而不是对称，故D错误. 3．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的极大值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，该函数的定义域为，， 因为，即， 即，即， 所以， 又因为，所以（*）， ①当时，， 当时，；当时，. 所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意； ②若，由可得，由可得或， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则函数的极大值点为，即得， 则由（*）得， ， 因为，所以； ③当时，由可得，由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为， 所以函数的极大值点为，同②可得. 综上所述，. 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数在处有极小值，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 【答案】A 【解析】对函数求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，，，， 所以函数大致图象如下： 由图象可知，函数有3个零点，2个极值点 ， 图象关于成中心对称，没有对称轴，故A正确，BCD错误. 6．（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 7．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设，若为函数的极大值点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，， 则， 当，即时， 此时，则恒成立或恒成立， 则函数在上单调递增或单调递减，无极值，不满足题意； 当，即时，结合二次函数的性质可知， 要使为函数的极大值点， 则或，解得或. 故选：C. 8．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 【答案】BC 【解析】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 9．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【解析】，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 10．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．曲线在处的切线方程为 B．的极大值点为1 C．的对称中心为 D．方程有三个不同实根时， 【答案】AC 【解析】 选项A， 时，，切点为，切线斜率 ，因此切线方程为 ，A正确； 选项B， 或 时 ，递增；，递减，因此极大值点为，B错误； 选项C， ，故 是奇函数，奇函数的对称中心为 ，C正确； 选项D，的极大值为 ，极小值为 ， 简图如图所示 当 与 有三个不同交点时，，D错误. 11．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 【答案】ACD 【解析】对于A：， ，曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：因为当时，，B错误； 对于C：因为 令，得或；令，得， 在和上单调递减，在上单调递增， 当时，，结合在上单调递增， 可得，故C正确； 对于D：函数的定义域为， 令，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，即函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 故函数的图象关于中心对称， 故点是函数图象的对称中心，D正确. 12．（2026·广西南宁·模拟预测）关于函数，下列说法正确的是（ ） A．的单调递减区间为 B．当时，的最小值为 C．的极大值为 D．在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】函数， ． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，故 A正确； 当时，单调递增，的最小值为，故 B错误； 当时，函数取得极大值，故C正确； ，，它在点处的切线方程为，故 D正确． 13．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【解析】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 14．（2026·陕西西安·三模）若函数有三个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数有三个零点，得，解得， 所以实数的取值范围为. 15．（2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】已知，进而. 令，设其两个根为，由题意. 二次方程有两个不等正根，则， 解得或，则实数的取值范围. 16．（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 【答案】 【解析】设，，， 因为曲线在点处的切线为， 所以，解得， 又因为点在第三象限内， 所以，， 因为在切线上， 所以，解得． 创新提升 17．（2026·贵州黔西南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【解】（1）， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. （2）由条件可知，得， 当时，，得或 当或时，，当时，， 当的单调性如下表: 3 单调递减 单调递增 若方程在区间上有两个不同的实数根， 则与在区间有2个交点，所以. 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 【解】（1）因为， 所以， 令， 因为，两个根为， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极值，所以有两个极值点； 由， 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 所以的解集为：. （2）由， 设， 则， ， 所以， 所以当时，. 19.（2026·江苏苏州·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的最小值； (3)若过点的直线与曲线相切，求的方程． 【解】（1）由题意得：，令，解得或， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， 的极小值为 （2）由已知有：对任意，都有恒成立， 由（1）有在单调递增，在单调递减， 又， 所以， 所以， 所以实数的最小值为； （3）设切点为， 所以，， 所以切线方程为：， 所以， 又切线过点， 所以， 化简整理有：，即，解得， 所以直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 三次函数的图象和性质内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型1 三次函数根与系数的关系 题型2 三次函数的单调性 题型3 三次函数的极值 题型4 三次函数的最值 题型5 三次函数的零点问题 题型6 三次函数的对称问题 题型7 三次函数的切线问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 基本性质 设三次函数为，其性质有： ① 定义域为. ② 值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值. ③ 单调性和图象： 图像特征 图像 知识点2 三次方程的实根个数 设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得： ① 若，则恰有一个实根. ② 若，且，则恰有一个实根. ③ 若，且，则有两个不相等的实根. ④ 若，且，则有三个不相等的实根. 【说明】 · 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）. · 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且. · 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 知识点3对称性 ① 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是. ② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 【知识拓展】1.三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，， ，则: ；②； ；④ . 2.若图象关于点对称，则图象关于直线 对称 中心对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是中心对称函数.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. 3. 三次函数f(x)的四段论法则 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)且导函数Δ>0 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<0)且导函数Δ>0 (1)对称中心：； (2)极大值到对称中心距离为Δx，极小值到对称中心距离为Δx，极小值等值点到极大值距离为Δx，极大值等值点到极小值距离为Δx； 题型深研·通法变式提能力 题型1三次函数根与系数的关系 【例1】（2026·云南楚雄·一模）若，则函数的图象可能是（    ） A．B．  C．  D．   【变式1】（2026·江西南昌一模）已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是（    ） A．当时函数取得极小值 B．有两个极大值点 C． D． 【变式2】（2026·湖北黄冈·三模）已知函数，若函数的图象如图所示，则一定有（  ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·重庆渝北·期中）已知函数的大致图象如图所示，则（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型2 三次函数的单调性 【例2】（2026·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·宁夏·模拟预测）函数在R上是单调递增的充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数．讨论的单调性； 题型3 三次函数的极值 【例3】（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【变式2】（2026·河南南阳·二模）若是函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山东青岛·一模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B． C．1 D．3 题型4 三次函数的最值 【例4】函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）“函数在区间内存在最小值”的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）函数在区间上的最大值是________. 【变式3】（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 题型5 三次函数的零点问题 【例5】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【变式1】（24-25高二下·北京大兴·期中）若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南·二模）若函数在区间内仅有一个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南周口·三模）若函数有且仅有2个零点，则______. 题型6 三次函数的对称问题 【例6】设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则 . 【变式1】函数图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3】已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ） A．0 B．4 C． D． 题型7 三次函数的切线问题 【例7】已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若过点可作曲线三条切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式3】已知函数在点处的切线方程为．若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数的取值范围为 ． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 3．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的极大值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数在处有极小值，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，则（    ） A．函数有3个零点 B．曲线存在一条对称轴 C．函数有3个极值点 D．曲线的对称中心在x轴上 6．（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高三上·辽宁·开学考试）设，若为函数的极大值点，则（　　） A． B． C． D． 8．（2026·山东聊城·三模）若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（    ） A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增 C．， D．， 9．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 10．（25-26高二下·云南昆明·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．曲线在处的切线方程为 B．的极大值点为1 C．的对称中心为 D．方程有三个不同实根时， 11．（2026·甘肃白银·三模）已知函数，则（    ） A．曲线在处的切线方程为 B． C．当时， D．点是函数图象的对称中心 12．（2026·广西南宁·模拟预测）关于函数，下列说法正确的是（ ） A．的单调递减区间为 B．当时，的最小值为 C．的极大值为 D．在点处的切线方程为 13．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 14．（2026·陕西西安·三模）若函数有三个零点，则实数的取值范围为______． 15．（2026·甘肃·模拟预测）若函数的两个极值点都为正数，则实数的取值范围是__________． 16．（2026·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在曲线：上且在第三象限内．若曲线在点处的切线为，则实数________． 创新提升 17．（2026·贵州黔西南·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 18．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数． (1)求极值点的个数，并解不等式； (2)求证：若，则 19.（2026·江苏苏州·期中）已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意，都有恒成立，求实数的最小值； (3)若过点的直线与曲线相切，求的方程． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $