暑假专题：综合训练（整式的乘法）-2025-2026学年八年级数学上册人教版

**基本信息** 以整式乘法运算为核心，整合幂运算、乘法公式及几何直观，通过错误分析、规律探究等方法体系，构建“概念-运算-应用”逻辑链条，培养运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选2/填空9-11|幂的运算法则（同底数幂乘除、幂的乘方）|从数到式的抽象，建立幂运算与整式乘法的关联| |公式应用|单选1/3/7/填空13|平方差/完全平方公式正向应用与变形|公式推导（代数展开与几何验证）→ 结构特征识别→ 复杂式化简| |几何与实际应用|单选4/6/解答17-18|图形面积转化法、实际问题建模|几何直观（面积表示）→ 代数式表达→ 运算求解| |规律探究|解答19-20|特例归纳法、因式整除判定|从具体算式到一般规律，通过逻辑推理构建数学模型|

暑假专题：综合训练（整式的乘法）-2025-2026学年八年级数学上册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b满足，，则等于（    ） A．1 B．0 C． D． 4．如图为小李家住房的结构图，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少应买木地板（    ） A． B． C． D． 5．若，则下列结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 8．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 二、填空题 9．，则______． 10．小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：☐，你认为“☐”内应填写___________． 11．计算___________． 12．已知，则______________． 13．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．若，，则_______． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)． 15．欢欢和乐乐分别计算同一道整式乘法题：．欢欢由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乐乐由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为．请你求出这个问题的正确结果． 16．计算：． 17．信息存储设备常用等作为存储量的单位，其中（字节），．例如，我们常说某计算机的硬盘容量是，某移动硬盘的容量是，某文件的大小是等．对于一个存储量为的闪存盘，其容量有多少字节？ 18．如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 19．观察下面算式的规律，解决问题； ①；②；③；④． (1)根据以上规律写出第⑤个等式： ； (2)通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍数．请你证明这个结论． 20．（阅读题）阅读下列材料： 因为，所以，这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为0． (1)根据上面的材料猜想：多项式的值为0、多项式有因式、多项式能被整除之间存在着一种什么样的关系呢？ (2)探求规律：如果一个关于字母x的多项式M，当时，M的值为0，那么M与式子之间有何种关系？ (3)应用：利用上面的结果求解．已知能被整除，求k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题：综合训练（整式的乘法）-2025-2026学年八年级数学上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B A C C C A 1．A 【分析】本题考查了多项式乘法以及等式的性质，解题的关键是通过多项式乘法法则将等式左边展开，然后对比等式两边同类项的系数． 先利用多项式乘法法则将展开，再根据等式两边同类项系数相等求出的值． 【详解】解：． 等式两边与的系数都分别相等，那么常数项也应相等， 所以． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方、单项式的除法、平方差公式、合并同类项．由积的乘方和幂的乘方、单项式的除法、平方差公式、合并同类项，分别进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．B 【分析】利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：，同时平方， ， ， ， ， 故选：B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，正确展开并进行运算是解题的关键. 4．A 【分析】本题考查了单项式的乘法，合并同类项，熟练掌握单项式乘法法则和合并同类项法则是解题的关键．根据图形得出卧室的宽为，再根据长方形面积公式，即可解答． 【详解】解：由图可知，卧室的宽为， ∴他至少应买木地板， 故小李至少应买木地板． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴①，正确，符合题意； ∴②， ∴，正确，符合题意； ③，错误，不符合题意； ④，正确，符合题意； 综上，正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为， 花坛放置长椅后的面积为， 而花坛原来的面积为 所以长椅的面积为， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键． 根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可． 【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式； 图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式； 图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有 ，所以图③可以验证平方差公式； 图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故选∶C． 8．A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 9．6 【分析】本题考查同底数幂的乘法、乘方性质，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：6． 10． 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：☐， ∴“☐”内应填写， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 12． 【分析】本题考查了解同底数幂的乘法，幂的乘方，熟记“同底数幂相乘底数不变指数相加”即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，由新规定的运算可得，，，再将，转化为后，再代入求值即可． 【详解】解：由于，，根据新规定的运算可得， ，，， ∴ ， 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式和多项式乘以多项式运算法则计算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ． 15． 【分析】根据由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为，可得，即，于是①；再根据乐乐由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为，可得，于是②，解关于①②的方程组即可求a、b的值，把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】根据题意可知： 由于欢欢抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为， 那么， 即， 于是①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， 可得， 即， 于是②， 解关于①②的方程组，可得， 所以原式为， 计算得． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 16． 【分析】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 17．. 【分析】根据已知的各存储单位间的换算关系，从逐步换算到字节，通过连续的乘法运算得出结果．本题主要考查了同底数幂的乘法运算以及存储单位间的换算关系，熟练掌握各存储单位的换算公式与同底数幂乘法法则（，，、为整数）是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴ , ∴一个存储量为的闪存盘，其容量有字节. 18．(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 19．(1) (2) 证明：设两个连续的奇数为，则： ， 为整数， 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【分析】本题主要考查了数字规律探索，整式乘法混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据题目中给出的式子，总结规律，得出第⑤个等式即可； （2）设两个连续的奇数为，根据平方差公式进行运算，得出，再进行判断即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④， ∴第⑤个等式为：； （2）略 20．(1)若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0 (2)M能被整除 (3) 【分析】（1）根据题意和多项式有因式，说明多项式能被整除，当时，多项式的值为0； （2）根据（1）得出的关系，能直接写出当时，M的值为0，M与代数式之间的关系； （3）根据上面得出的结论，当时，，再求出k的值即可． 【详解】（1）若多项式有因式，则此多项式能被整除．另外，当时，此多项式的值为0． （2）根据（1）可得，M能被整除． （3）因为能整除， 所以当时，， 即，解得． 【点睛】本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $