暑假作业：一次函数综合训练-2025-2026学年人教版八年级下学期数学

**基本信息** 以一次函数为核心，通过基础巩固、性质应用及综合拓展，系统整合概念、图像与实际问题，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、填空11|待定系数法、一次函数定义辨析|从解析式到点坐标关系，构建概念生成链| |图像性质|单选4-6、填空12-14|平移规律、增减性分析、图像交点法|结合几何直观，建立“解析式-图像-性质”推导关系| |综合应用|解答19-24、填空16|实际问题建模、几何综合（翻折/面积）|以模型意识串联函数与生活、几何，形成应用拓展逻辑|

暑假作业：一次函数 综合训练 一、单选题 1．一次函数的图象经过点，那么（     ） A．6 B．－6 C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上，则点所在的象限是（     ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，将正比例函数向上平移3个单位得到直线l，则直线l的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 6．若一次函数和图象的交点位于第一象限，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是40千米/时，则汽车距天津的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数（，为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 9．据市统计局发布的数据，2025年该市有效发明专利数比2024年增长14%．假定2026年的年增长率保持不变，2024年和2026年该市有效发明专利分别为x万件和y万件，则（    ） A． B． C． D． 10．如图①，在四边形 中，，，点P从点A出发，沿运动到点D．图②是点P运动时，的面积S与点P运动的路程x之间的关系图象，则a的值为（     ） A．7 B． C．8 D． 二、填空题 11．函数是一次函数，则m的值为______． 12．一次函数图象位于轴下方的所有点的横坐标取值范围是______． 13．已知一次函数，当时，的最大值为5，则的值为_______． 14．直线的截距为，且平行于：，那么直线的表达式为___________． 15．已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 16．如图，正方形的顶点，分别在轴、轴上，，点在轴上且，垂直于轴，交轴于点，连接．判断：①；②；③是等边三角形；④若轴上有一动点，连接，当的值最小时，点坐标为．其中正确的有______． 三、解答题 17．若一次函数的图象经过点，且与直线 平行． (1)求k的值； (2)建立平面直角坐标系并画出此函数的图象． 18．已知一次函数． (1)当为何值时，随的增大而增大？ (2)当为何值时，图象与轴的交点在轴的下方？ (3)当为何值时，图象经过第二、三、四象限？ 19．研究表明，地表以下岩层的温度与所处深度成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度与所处深度的部分数据如下表： 岩层的深度 … 1 2 3 4 … 岩层的温度 … 55 90 125 160 … (1)求与之间的函数关系式． (2)当该地点地表以下某处岩层的温度为时，求此处岩层的深度． 20．如图，一次函数 （k、b为常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，点C在该一次函数图象上，位于第一象限，且点C到x轴的距离为6，连接 ． (1)求一次函数的解析式及点C的坐标； (2)点D是点B上方y轴上一点，连接、，当时，求所在直线的函数解析式． 21．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个长方形绿化带，绿化带一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围住（如图所示）．设绿化带的边长为，边长为． (1)写出与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围； (2)当时，求绿化带的面积． 22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)求的面积． (3)若点C在直线上，且，求点C的坐标． 23．临近中考，学校对面文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元． 为中考加油！ 2B涂卡铅笔 4元/支 0.5mm黑色水笔 2.5元/支 (1)求这两种笔每支的进价分别是多少元？ (2)该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？ 24．如图1，在平面直角坐标系中．一次函数（）与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，点，若，且． (1)求直线的函数解析式； (2)点是的中点，连接交于点，在有一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图2，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，直线与直线交于点，直线与直线交于点，当时，请直接写出符合条件的点的坐标． 第2页，共6页 第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D B A C A A B A 1．A 【分析】点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，代入后变形即可得到结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 将等式两边同时乘，得， 整理得． 2．D 【详解】解：点在一次函数的图像上， 将，代入函数解析式，得， 解得， 将 代入点，可得点的横坐标为， 点的纵坐标为， 第四象限内点的横、纵坐标符号为， 点在第四象限． 3．D 【分析】按照“上加下减”的规律，解答即可． 【详解】解：将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的图象的解析式为． 4．B 【详解】解：把点，代入，得， ∴， 由图象可知，不等式的解集为. 5．A 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 6．C 【分析】先联立两个一次函数的解析式求出交点坐标，再根据第一象限内点的横纵坐标都大于0，列出不等式组即可求解 的取值范围； 【详解】解：根据题意，得， 故， 解得， 将代入，得， 因此交点坐标为， ∵交点位于第一象限， ∴， 解第一个不等式得 ，解第二个不等式得， ∴ 的取值范围是 ； 7．A 【分析】根据总路程与已行驶路程的关系得到函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围即可得到结果． 【详解】∵汽车平均速度为40千米/时，行驶时间为t时， ∴汽车已行驶的路程为， ∵北京到天津总路程为120千米，汽车距天津的路程为s， ∴， 又∵汽车从北京到天津的总时间为， 结合实际意义可知t非负，且行驶最多3小时就到达天津， ∴自变量t的取值范围是， 即函数关系为． 8．A 【分析】根据交点作答即可． 【详解】解：一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（为常数且）的图象交于点， 关于的方程的解是． 9．B 【分析】根据增长率求出2025年、2026年的有效发明专利数，整理得到与的关系式即可． 【详解】解：∵2024年该市有效发明专利为万件，2025年比2024年增长 ∴2025年该市有效发明专利数为万件， ∵2026年的年增长率保持不变， ∴2026年该市有效发明专利数为万件， 又∵2026年该市有效发明专利为万件， ∴． 10．A 【分析】过点作于点，根据矩形的判定和性质得出相等的边，利用面积求出，假设未知数，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由图形可知， ∴， 设，则，， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴， ∴． 11． 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 12． 【分析】本题考查一次函数的性质和一元一次不等式的求解，解题关键是明确轴下方的点纵坐标小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解： 一次函数图象位于轴下方， ∴，   ， 移项得 ， 解得 ． 13．或 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论，确定最大值对应的自变量取值，列方程求解即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随的增大而增大， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得； ②当时，一次函数随的增大而减小， ∴当时，的最大值在处取得， 代入得 ， 解得， 则的值为或． 14． 【分析】根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出，根据截距的定义求出的值，即可得到直线表达式. 【详解】解：直线平行于直线， ， 直线的截距为， ， 这条直线的表达式是． 15． 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数的表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中随增大而增大， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中随增大而减小， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； 综上所述，该一次函数的表达式是或． 16． ①②④ 【分析】根据正方形的性质，可得，从而得到②正确，作于点，则轴，由平行线的性质可得，，再结合对顶角相等证得①正确，设，则，利用勾股定理结合等面积法即可求得，即可判断③均错误；分别求出点F、C的坐标，作点F关于x轴的对称点N，则，连接，得，当C、P、N三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，求出与x轴交点即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 作于点，则轴， ∴，， 又∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴设，则，由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理可得：，即， 解得：，则， ∴，即不是等边三角形，故③错误； 由③得， ∴，即， 过点C作轴于H， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点F关于x轴的对称点N，则， 连接， ∴， 当C、P、N三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴点坐标为，故④正确； 综上，正确的有①②④． 17．(1) (2)函数的图象，如图所示： 【分析】（1）利用“两个一次函数图象平行时，一次项系数相等”的性质求出 值； （2）代入已知点得到完整函数解析式，最后用描点法绘制函数图象即可． 【详解】（1）设所求一次函数解析式为 （）． 所求一次函数的图象与直线 平行， ． （2）由（1）可得，所求一次函数解析式为 ， 函数图象经过点， ，解得． 所求一次函数解析式为． 当 时，，得到点 ． 已知函数经过点 ，建立平面直角坐标系，描出 和 两个点，过两点画直线，即得到所求函数的图象． 18．(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，，，求解即可； （3）根据一次函数的性质列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴． 19．(1) (2)此处岩层的深度为 【分析】（1）设一次函数解析式为，代入表格中的两组数据求出解析式； （2）将给定的温度的值代入解析式，即可求出对应的岩层深度． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表格得，将代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时， 解得， 答：此处岩层的深度为． 20．(1)，； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；根据题意得出，然后代入求解即可确定点C的坐标； （2）根据题意得出，设，利用面积建立方程求解确定，再由待定系数法即可得出函数解析式． 【详解】（1）解：将，的坐标代入， 得：， 解得：， 故一次函数表达式为：； ∵点C在该一次函数图象上，位于第一象限，且点C到x轴的距离为6， ∴当时，， 解得：， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D是点B上方y轴上一点， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， 故所在直线一次函数表达式为：． 21．(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得与之间的函数关系式为：，根据，，得到，即可得到自变量的取值范围是； （2）当时，求得，即可求得绿化带的面积为． 【详解】（1）解：由题可知与之间的函数关系式为：， ∵，， ∴，解得， ∴自变量的取值范围是； （2）解：当时，， ∴绿化带的面积为． 22．(1)； (2)1 (3)或. 【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可； （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； （2）解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； （3）解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 23．(1)每支铅笔的进价为3元，每支水笔的进价为2元 (2)购进100支铅笔，260支水笔时利润最大，最大利润为230元 【分析】（1）根据题中的已知条件列分式方程，解方程即可得到答案，分式方程的应用题，注意检验； （2）根据题意，先求出铅笔购买数量的取值范围，然后写出利润关于铅笔数量的函数关系式，根据函数的增减性可得购买数量，进而可求得最大利润． 【详解】（1）解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为元， 由题意可得： ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴每支铅笔3元，每支水笔2元． （2）解：设购进铅笔a支，则购进水笔支， 由题意可得，， 解得， 总利润 ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 故当时，利润最大，最大利润（元）， 所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元． 24．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先将点代入直线的解析式得出，即可得出直线的解析式为，进而得出，根据，可得直线的解析式为，代入，即可求解； （2）根据题意求得直线的解析式为，设，根据结合图形推导出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，求得的值，即可求解； （3）取中点，连接，先证明是等边三角形，进而得出，根据，分情况讨论，当在的下方，和在的上方时根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，分别求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与轴交于点 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， ∴，则 ∴ ∵， ∴直线的解析式为， 代入得 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 （2）解：∵直线的解析式为 当时，， ∴ ∵点是的中点， ∴，则 设直线的解析式为，代入， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 故设， ∵， ∴ 设与轴交于，如图， ∵,在上， ∴ ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴； （3）解：如图，取中点，连接， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵，同理可得， 情形一：当在的下方时，如图，在的左侧，截取，则， ∴ ∵ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵将沿着翻折得 ∴， 在中， ∴ ∴，即在轴的负半轴上， ∴直线即为轴，点即为点，即； 情形二：当在的上方时，，则轴，如图， ∵，将沿着翻折得 ∴， ∵ 在中， ∴，垂足为， ∴ ∴ 过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∴ 将代入 ∴， ∴ 综上所述，或 答案第16页，共16页 答案第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $