暑假作业：勾股定理综合训练-2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础应用、几何综合、实际情境、定理证明四大模块，系统整合逆定理判定、等面积法、转化思想等解题方法，构建“概念-判定-应用-拓展”的知识逻辑链。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-6、填空11-12|勾股定理及逆定理、等面积法|从直角三角形判定到边长计算，夯实概念基础| |几何综合|单选7-8、填空13-14|折叠性质、方程思想|结合三角形、四边形折叠，深化几何直观| |实际情境|单选9-10、解答19-22|展开图法、对称转化|解决最短路径、方位角等问题，发展应用意识| |定理证明|解答23|面积拼图法|通过拼图验证定理，培养推理能力|

暑假作业：勾股定理综合训练 一、单选题 1．下列各组数据中能构成直角三角形的是（     ） A．1、、4 B．1.5、2、2.5 C．、、5 D．、、 2．如图所示，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（    ）米． A．13 B．15 C．18 D．20 3．如图所示，数轴上点A所表示的数为,则的值是(      ) A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，描出，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 6．在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D，E，F分别为垂足，且，则点O到三边的距离分别是（     ） A．2，2，2 B．3，3，3 C．4，4，4 D．2，3，5 7．如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 8．如图，在三角形纸片中，，，点D是边上的点，，将三角形纸片沿对折，使点B落在点处，当时，则的长等于（     ） A． B． C． D． 9．如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 二、填空题 11．如图在中，，于D，若，，则______． 12．如图，中，，的垂直平分线交的延长线于点E，则的长为____________． 13．如图，在中，点E在上 ，把这个直角三角形沿折叠后，使点B恰好落在斜边的中点O处，若，则折痕的长为 __________． 14．如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 15．在平面直角坐标系中，已知两点，，且，满足，若点在坐标轴上，且满足，则点的坐标为_________． 16．如图，正方形的边长为，以为边作第个正方形，再以为边作第个正方形，，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为________． 三、解答题 17．如图，在中，，，，．求的面积． 18．已知三条线段的长分别为． (1)当时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形． (2)若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围． 19．某住宅小区有一块如图所示的四边形空地，为迎接“五一”劳动节的到来，小区欲在此空地上种植盆景造型，并将盆景铺满这块空地．某校园艺兴趣小组义务帮助小区进行测量，测得米，米，米，米，，盆景造价每平方米300元．试问该小区的这个盆景造型的价值应为多少元？ 20．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图，适当保留作图痕迹． (1)在图①中，确定点C，使，点C在格点上； (2)在图②中，确定点D，使． 21．如图，一艘轮船先从地出发行驶到地，又从地行驶到地，地在地南偏西的方向，距离地80海里，地在地北偏西的方向，距离地100海里． (1)表示出地相对于地的位置； (2)求，两地之间的距离． 22．教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 23．回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 24．嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 第6页，共6页 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B B A B A A D 1．B 【分析】根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理判断，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：A、最长边为，，不能组成三角形，∴不能构成直角三角形； B、最长边为，，，∴，能构成直角三角形； C、最长边为，，，不能组成三角形，∴不能构成直角三角形； D、最长边为，，，，∴不能构成直角三角形． 2．C 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵，， ∴（米）． ∴树折断之前有18米． 3．C 【分析】根据勾股定理求出斜边长，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，图中直角三角形的两直角边为和， ∴斜边长为， ∴点A所表示的数为． 4．B 【分析】利用勾股定理即可求出线段的长度． 【详解】，， ． 5．B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 6．A 【分析】首先利用勾股定理求出的长，然后根据角平分线的性质得出点到三边的距离相等，设为，等积法建立关于的方程求解即可. 【详解】解： ∵，，， ∴； ∵点为的三条角平分线的交点，，，， ∴； 设， 连接，，， ∵， ∴，即， 解得； ∴点到三边，，的距离分别是，，. 7．B 【分析】先证，从而得到，．再根据，证，从而得到，在中，运用勾股定理求出，即得到的长，最后根据，求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 8．A 【分析】过点A作于点E，连接，则，由折叠的性质得，得，由此求得，再求出，即可求解． 【详解】解：过点A作于点E，连接，如图， ∵， ∴，， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理， 在中，，由勾股定理得， ∴． 9．A 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 10．D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 11． 【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 12． 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质得，再设，则，然后根据勾股定理得，最后求出方程的解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 13． 【分析】本题关键在于求出的度数为，借助特殊角的性质解题．首先，由题意，得，，再由O是的中点，证得，得，然后，设，则，由勾股定理，得，最后，得到关于x的方程解方程即可． 【详解】解：由题意，得，， ∵O是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 15．或 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，则，，再分点在轴、轴上两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 当点在轴上时，设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 当点在轴上时，设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 16． 【分析】先通过勾股定理找出正方形边长的递推规律，得到第个正方形的边长表达式，代入再利用正方形面积公式求解． 【详解】解：根据题意可知， ， ， ， ， ， 据以上分析可知，第个正方形的边长为， 则第个正方形的边长为，其面积为． 17． 【分析】设，则，根据勾股定理建立关于的方程，得到，进而根据勾股定理得到，再计算的面积即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴可列方程为：，解得， ∴， ∵在中，， ∴， ． 18．(1)证明：当时，， ， ∴这三条线段可以组成一个直角三角形 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）利用三角形三边关系，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据三角形的三边关系，得 ， 解得． 故a的取值范围是． 19．10800元 【分析】连接，根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可． 【详解】解： 如图，连接， ∵在中，米，米，， ∴米， 又∵ 米，米， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∴(平方米)， ∴(元)． 答：该小区的这个盆景造型的价值应为元． 20．(1) (2) 【分析】（1）如图，取格点，可得，且，即为等腰直角三角形，所以； （2）取点，连接交于点，可得，即，则． 【详解】（1）略 （2）略 21．(1)地在地南偏东的方向，距离地100海里 (2)海里 【分析】（1）结合图形观察即可求解； （2）判断，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵C地在B地北偏西的方向，距离B地100海里 ∴B地在C地南偏东的方向，距离C地100海里； （2）解：根据题意，得， ∴（海里）， 即A，C两地之间的距离海里． 22．(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）略 23．(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 24．(1) (2) (3)探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴探险者所用时间为，探险者所用时间为， ∵， ∴探险者与不能同时到达藏宝点处． 【分析】（1）先计算出的运动时间，再求出的速度即可； （2）先计算出提速后的速度，再计算出、的路程，根据运动时间相等列出分式方程，求解并检验即可； （3）利用勾股定理的逆定理可判断，使用面积法可计算出，再使用勾股定理求出，则，分别计算、的运动时间，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为， ∴的速度为； （2）解：根据题意，速度提高后，的速度为， ∵， ∴，， 由运动时间相等可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解； （3）略 答案第14页，共14页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $