第1章三角形单元巩固测试卷2026-2027学年苏科版八年级数学上册.

**基本信息** 初中数学三角形单元暑假巩固测试卷，覆盖三角形稳定性、全等判定、中线性质等核心知识点，通过基础题到综合探究题的梯度设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形稳定性（第1题）、全等图形（第2题）、三边关系（第3题）|结合工人砌门情境（第1题），考查数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|中线性质（第11题）、折叠问题（第12题）、垂直平分线（第13题）|通过辨析题（第11题）强化概念理解，培养推理意识| |解答题|8/72|作图（第17题）、全等证明（第19题）、综合探究（第24题）|设计“延长中线构造全等”探究题（第24题），提升数学思维与创新意识|

第1章 三角形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 2．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 3．一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（     ） A． B． C． D． 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（     ） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． A． B． C． D． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 8．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 9．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 12．如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 13．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 14．如图中，在边上，在边上，，则的大小为______度． 15．如图，，，，延长交于F，若，则________． 16．在平面直角坐标系中，，，． （1）面积为________； （2）在平面直角坐标系中，如果点在坐标轴的角平分线上，则的横纵坐标绝对值相等．即如果点位于坐标轴的角平分线上，则．已知点位于第一象限，且点在坐标轴的角平分线上，满足，且则点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，已知． (1)请按下列步骤利用无刻度直尺和圆规作图，并标明相应的字母（注意别标错了哟）； ①以O为圆心，适当的长为半径画弧交于C，交于D， ②以O为圆心，大于的长为半径画弧交于E，交于F， ③连接，，与交于点， ④作射线． (2)请你完成下面的推理（在横线上填写依据）， 说明是的平分线： 在和中 （ ① ） （ ② ） 由作图可知，， ，即（等式的性质） 在和中 （ ④ ） 18．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 19．如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 20．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 21．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 22．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 24．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 2．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形的形状和大小都相同，对各选项进行判断即可． 【详解】A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意； B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意； C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意； D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意． 3．一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项得到正确答案． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， 观察选项可知，只有选项B在该范围内． 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 5．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（     ） ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐一判断条件中边与角是否对应匹配，即可求解． 【详解】解：①，，，由能判断与全等； ②，，，由能判断与全等； ③，，，对应边不匹配，不能判断与全等； ④，，，对应边不匹配，不能判断与全等； 综上，能判定全等的共个． 6．如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 8．如图，在中，于点，是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】由全等三角形的性质可得，，即可得的周长． 【详解】解：， ，， 的周长． 9．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 10．如图，在中，为边上的高，，以为腰在的左侧作等腰，，连接，则的面积为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，根据一线三垂直模型证得，得到，套用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为边上的高，是等腰三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是______．（把正确的序号填在横线上） 【答案】② 【分析】分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 12．如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，是线段的垂直平分线，若的周长为38，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，，，进而得到，结合三角形周长公式及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂直平分，， ，， 是线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为38， ， ， ， ． 14．如图中，在边上，在边上，，则的大小为______度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 15．如图，，，，延长交于F，若，则________． 【答案】 【分析】由，得到是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出，再由，推出，从而求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．在平面直角坐标系中，，，． （1）面积为________； （2）在平面直角坐标系中，如果点在坐标轴的角平分线上，则的横纵坐标绝对值相等．即如果点位于坐标轴的角平分线上，则．已知点位于第一象限，且点在坐标轴的角平分线上，满足，且则点的坐标为________． 【答案】 8 【分析】本题考查坐标与图形，梯形的面积，三角形的面积，一元一次方程，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）分割法求出三角形的面积即可； （2）设，利用分割法列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）取，连接，如图所示： 面积为：； 故答案为：8； （2）设，，连接，如图所示： 由题意，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，已知． (1)请按下列步骤利用无刻度直尺和圆规作图，并标明相应的字母（注意别标错了哟）； ①以O为圆心，适当的长为半径画弧交于C，交于D， ②以O为圆心，大于的长为半径画弧交于E，交于F， ③连接，，与交于点， ④作射线． (2)请你完成下面的推理（在横线上填写依据）， 说明是的平分线： 在和中 （ ① ） （ ② ） 由作图可知，， ，即（等式的性质） 在和中 （ ④ ） 【答案】(1) 如图即为所作的图形； (2)①，② 全等三角形的对应角相等，③对顶角相等，④ 【分析】（1）按照题目给出的四个步骤依次使用圆规和直尺操作，确定各交点位置后画出射线即可； （2）先看和的全等条件，已知两边及其夹角对应相等，结合对应全等判定定理填写依据①，再根据全等三角形的性质填写依据②；分析和的位置关系，根据对顶角的性质填写依据③，再看和的全等条件，已知两角及其中一角的对边对应相等，对应全等判定定理填写依据④． 【详解】（1）略； （2）①∵、，，符合边角边全等判定定理，填边角边（）； ②依据是全等三角形的对应角相等； ③和是对顶角，相等的依据是对顶角相等； ④已知两个角相等和一组对边相等，符合角角边全等判定定理，因此填角角边（）． 18．如图，在中，，． (1)求周长的取值范围； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 19．如图，在中，，于D，于E，相交于F．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据“”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）根据“”证明，再根据全等三角形的对应角相等得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：如图，为所求． 由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 21．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，，， ， 是的中点， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是等腰三角形． (2)9 【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形． （2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，， ， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， 为中点， ，即， ， ． 23．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)，， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ； (2)的长为． 【分析】（1）根据等腰三角形的两底角相等，可求得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而，即可求得答案； （2）根据直角三角形的性质，可得，结合，，可得，解方程即得答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 24．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $