第1章 三角形全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）新八年级数学上册新教材苏科版

**基本信息** 苏科版八年级上三角形全章综合检测卷（提高篇），覆盖全等、等腰、等边三角形等核心知识点，融合多地期末及中考真题，梯度设计合理，可精准量化学生综合能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/40|全等判定（如第1题）、三角形作图（第2题）|结合中考真题（第8题潍坊中考），考查几何直观| |填空|6/30|角平分线性质（第11题）、最短路径（第12题）|体现模型意识，需抽象数量关系| |解答|8/80|动态问题（第19题）、递进推理（第23题）|分层设计，综合考查推理能力与创新意识|

第1章 三角形全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，欲证，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据已知一边一角，再补充一组角相等，即可证，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ B选项补充 ∴，即 ∴ 补充其他选项都不能证明， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 过点作于点，如图，先利用三角形面积公式得到，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式，利用可求出的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵线段是的角平分线， ， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：B． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角，掌握相关知识点是解题的关键． 在上取点F，使得，证，得到，根据等腰三角形的性质，三角形的外角证，求得，即可求解． 【详解】解：如图，在上取点F，使得， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据证明，即可得出结论． 【详解】解：连接，    在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，等边三角形的边长是，动点M，N分别从A，C两点同时出发，沿，边匀速运动，M，N的运动速度分别是，，当点N到达点B时，M，N两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为（   ） A．2 B．3 C．或2 D．3或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和判定． 设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可． 【详解】解：设t秒后，是直角三角形， 则，， ∴． 若时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即N到达B点时； 同理可得若时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得：当或时，是直角三角形． 故选：D． 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用等腰三角形的三线合一以及直角三角形斜边中线定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴， ∴平分的面积， 故①正确； ②∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴， ∴为直角三角形， 故②正确； ③∵为等腰三角形，且是顶角平分线， ∴，， ∴， ∵分别为两腰的中点， ∴， ∴， 故③正确； 综上，正确的有①②③， 故选：A． 8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，连接，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为， 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 【答案】50 【分析】连接，过点O作于点E，，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解； 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F， 由，分别平分，，于点，． 故， 故， ， 解得， 故答案为：50． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 13．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）. 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，过作于，由， ，即可得出， 再根据直角三角形两个锐角互余可求得，又由垂直平分，即可得到 ，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，，进而求出，由折叠的性质得到，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，，， ∴， ∵垂直平分， ∴平分， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴． 故答案为：． 15．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解： 、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，连接．若，，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于点， 平分，且， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解答 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 19．（8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【答案】(1)当的值为3时 (2)当的值为4时，为等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形，， ，，，， ， 是等边三角形， ， ． 由题意可知：， 则， ． ∴当的值为3时，． （2）解：如图2，①当点在边上时， 此时，， ∴不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形， 则． 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，以动点问题为背景，根据等边三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 20．（10分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)选择作为条件，作为结论，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于，则，根据等腰三角形的性质得，然后证明，故有的面积的面积，从而，再求出的面积即可求解； （）分选择作为条件，作为结论和选择作为条件，作为结论，通过全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】（1）解：如图，过作于，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴， ∵的面积， ∴四边形的面积； （2）解：）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ）如图，选择作为条件，作为结论，理由如下： 过作于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据等边对等角得出，再利用外角的性质推出，，等量代换即可求解； （2）过点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于，根据角平分线的性质，得出，结合已知条件分别证明、即可求解； （3）过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点，根据平行的性质结合已知条件分别证明、，推出，再结合（1）的中和（2）中平分，推出， 然后根据，推出，推出，再等量代换推出，证明，推出，最后等量代换得到，，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵为的外角， ∴； （2）证明：如图，点作于，过点作交的延长线于，作交的延长线于， 则， ∵平分，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作，交于N，过点作交于，作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵由（1）得， 又∵， ∴， ∵由（2）知平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】能够作出角平分线的辅助线和平行辅助线是解题的关键． 22．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 23．（12分）（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 24．（12分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）等腰三角形底边的中线有很多重要性质．数学活动课上，同学们围绕等腰三角形底边中线的性质开展了对以下系列问题的探究． 初步探究：如图，中，是边的中线，，， 为垂足．与是否相等呢？小明同学认为．他的理由如下： 因为，是的中点 所以也是的平分线， 因为，，所以． 这里运用了等腰三角形“三线合一”性质和角平分线性质．请运用相关知识继续完成对以下问题的探究： (1)类比探究 问题1：如图①，中，是边的中线，分别是和的中线．那么与相等吗？ 问题2：如图②，中，是边的中线，分别是和的角平分线．那么与相等吗？ 请你选择其中一个问题给出结论，并证明你的结论． (2)拓展探究 问题3：如图③，中，是边的中点．的边过点，且，，那么是线段的中点吗？请你说明理由． (3)综合探究 问题4：如图④，中，，，E是边的中点，、分别在、边上，且，求证：． 【答案】(1)，证明见解析 (2)是，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）问题一：根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，再根据直角三角形斜边中线的性质，可得，，结合，可证；问题二：证明，可得； （2）连接，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，结合可得，再次利用“三线合一”，可得是中边的中线； （3）连接，作交于点H，可得和均为等腰直角三角形，先证，得出，，再证，得出，通过等量代换即可证明． 【详解】（1）解：问题1：． 证明： 中，是边的中线， ， 和均为直角三角形， 分别是和斜边上的中线， ，， ， ； 问题2：． 证明： 中，是边的中线， ，，， ， 分别是和的角平分线， ，， ， 又 ，， ， ； （2）解：是线段的中点，理由如下： 如图，连接， 中，是边的中点， ， ， ， 又 ， 是中边的中线， 是线段的中点； （3）证明：如图，连接，作交于点H， ，，E是边的中点， ，，， 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 又 ，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形全章综合检测卷（提高篇） 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，欲证，需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，线段是的角平分线、是边上的中线，垂直于，已知：，则长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点D是边上的点，若，的角平分线交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，D为等腰三角形内一点，，，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期末）如图，等边三角形的边长是，动点M，N分别从A，C两点同时出发，沿，边匀速运动，M，N的运动速度分别是，，当点N到达点B时，M，N两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为（   ） A．2 B．3 C．或2 D．3或 7．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在等腰三角形中，是顶角平分线，分别为两腰的中点，关于①、②、③，正确的有（    ） ①平分的面积；②为直角三角形；③ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，连接，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 12．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 13．如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为_____（用含的代数式表示）. 14．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为________． 15．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是___________． 16．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，连接．若，，的面积为，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分80分） 17．（8分）（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 18．（8分）（25-26八年级上·天津·期中）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 19．（8分）（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 20．（10分）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，． (1)若，，，求四边形的面积； (2)请在 ； 中选择一个做为条件，另一个为结论，并证明． 21．（10分）（25-26八年级上·福建厦门·期末）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，． (1)如图，求证：； (2)如图，连接，若平分，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 22．（12分）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 23．（12分）（25-26八年级上·广西来宾·期末）（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 24．（12分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）等腰三角形底边的中线有很多重要性质．数学活动课上，同学们围绕等腰三角形底边中线的性质开展了对以下系列问题的探究． 初步探究：如图，中，是边的中线，，， 为垂足．与是否相等呢？小明同学认为．他的理由如下： 因为，是的中点 所以也是的平分线， 因为，，所以． 这里运用了等腰三角形“三线合一”性质和角平分线性质．请运用相关知识继续完成对以下问题的探究： (1)类比探究 问题1：如图①，中，是边的中线，分别是和的中线．那么与相等吗？ 问题2：如图②，中，是边的中线，分别是和的角平分线．那么与相等吗？ 请你选择其中一个问题给出结论，并证明你的结论． (2)拓展探究 问题3：如图③，中，是边的中点．的边过点，且，，那么是线段的中点吗？请你说明理由． (3)综合探究 问题4：如图④，中，，，E是边的中点，、分别在、边上，且，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $