3.1 勾股定理的探究 寒假巩固2025-2026学年苏科版数学八年级上册

苏科版（2024）八年级上册 3.1 勾股定理的探究 寒假巩固 【题型1】利用勾股定理解决图形面积问题 【典型例题】如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A.6 B.5 C.8 D.7 如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S1＝36，S2＝64，则S3等于(　　) A.8   B.10 C.80   D.100 【举一反三2】如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为    ． 【举一反三3】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2024代勾股树中所有正方形的面积为           ． 【举一反三4】23-24八年级上·江苏淮安阶段练习）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典型例题】直角三角形两直角边边长分别为3cm和4cm，则斜边长为（　　） A.5cm B.3cm C.4cm D.10cm 【举一反三1】在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，b＝12，则点C到AB边的距离为（　　） A. B. C. D. 已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为(　　) A.10   B.20   C.30   D.40 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，△ABD是等边三角形，则CD的长度为　　　.  已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为　　　.  【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长． 【题型3】利用勾股定理在数轴上表示无理数 【典型例题】如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（　　） A. B. C. D. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是(　　) A.    B.2 C.3+    D.2+ 小明学习了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数－3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以C为圆心，CB的长为半径作弧，交数轴负半轴于点P，那么点P表示的数是(　　) A.－1－    B.－1＋ C.－1－    D.－1＋ 如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为　　　.  在数轴上画出对应的点. 在数轴上画出对应的点. 【题型4】网格中的勾股定理 【典型例题】如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（    ） A.4 B.5 C.7 D.25 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A.5   B.6 C.7   D.25 【举一反三2】如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是      ．    【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于D，则的长为      ． 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点.以格点为顶点. (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段长为. 【题型5】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典型例题】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【举一反三2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A. B. C. D. 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲、乙两人出发后x分相遇.根据勾股定理可列得方程为　　　.  【举一反三4】在中，，，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，探究线段、之间的数量关系； (2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段，，的数量关系，并证明． 【举一反三5】如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【题型6】勾股定理的证明 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是(　　) A.统计思想   B.分类思想 C.数形结合思想   D.整体思想 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是(　　) A.36   B.64   C.100   D.100或28 【举一反三2】如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【举一反三3】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是            ． 【举一反三4】我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理. 【题型7】与“弦图”有关的计算 “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现.如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.连接FH，DF，若FH=，DF=，则大正方形ABCD的边长为(　　) A.5   B.    C.    D. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=75，则EF的长是(　　) A.2    B.4   C.5   D.5 【举一反三2】如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是        ． 【举一反三3】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的面积为           ． 【举一反三4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 【举一反三5】如图，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，． (1)填空：正方形的面积为____________，四个直角三角形的面积和为_____________． (2)求的值． 苏科版（2024）八年级上册 3.1 勾股定理的探究 寒假巩固（参考答案） 【题型1】利用勾股定理解决图形面积问题 【典型例题】如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A.6 B.5 C.8 D.7 【答案】D 【解析】每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S1＝36，S2＝64，则S3等于(　　) A.8   B.10 C.80   D.100 【答案】D 【解析】 ∵在Rt△ABC中，AC2＋AB2＝BC2， 又由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2， ∴S3＝S1＋S2＝100. 【举一反三2】如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为    ． 【答案】30 【解析】在中，， ， ． 故答案为：30． 【举一反三3】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2024代勾股树中所有正方形的面积为           ． 【答案】2025 【解析】如图，设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c， 根据勾股定理可得：， ∵, ∴第一代勾股树中所有正方形的面积为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为； 第n代勾股树中所有正方形的面积为； ∴第2024代勾股树中所有正方形的面积为2025． 故答案为：2025． 【举一反三4】23-24八年级上·江苏淮安阶段练习）如图，在中，，，，以为一边在的同侧作正方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】 解：如图，中，，，， 由勾股定理知，， ∴， 故． 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典型例题】直角三角形两直角边边长分别为3cm和4cm，则斜边长为（　　） A.5cm B.3cm C.4cm D.10cm 【答案】A 【解析】在直角三角形中，设斜边为c， ∵直角三角形两直角边边长分别为3cm和4cm， ∴根据勾股定理，可得， ∴c5cm， 故选：A． 【举一反三1】在Rt△ABC中．∠C＝90°，a＝5，b＝12，则点C到AB边的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设点C到AB边的距离为x， 由勾股定理得：A， ∴A， ∵Rt△ABC的面积AB•xab， ∴13x＝12×5， ∴x， ∴点C到AB边的距离为． 故选：A． 已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为(　　) A.10   B.20   C.30   D.40 【答案】B 【解析】 设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据勾股定理得a2+b2=c2， ∵a2+b2+c2=800， ∴2c2=800， ∴c2=400， ∴c=20(舍去负值). 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，△ABD是等边三角形，则CD的长度为　　　.  【答案】 +1 【解析】 如图，∵∠ACB=90°，AC=BC=， ∴AB===2，∠CAB=∠CBA=45°， ∵△ABD是等边三角形， ∴AD=BD=AB=2，∠DAB=∠ABD=60°， ∵AC=BC，AD=BD， ∴AB⊥CD于点E，且AE=BE=1， 在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠EAC=45°， ∴∠ACE=∠EAC=45°， ∴CE=AE=1， 在Rt△AED中，∠AED=90°，AD=2，AE=1， ∴DE==， ∴CD=+1. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为　　　.  【答案】 34或16 【解析】 当3和5都是直角边时，第三条边长的平方为32+52=34； 当5是斜边长时，第三条边长的平方为52-32=16. 【举一反三5】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．求AB与BC的长． 【答案】解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∴在Rt△BDC中，B225， ∴BC15， 在Rt△ADC中，A256， ∴AD16， ∴AB＝AD+BD＝16+9＝25． 【题型3】利用勾股定理在数轴上表示无理数 【典型例题】如图，根据尺规作图痕迹，判断点M在数轴上表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】2+1＝3， ， 故选：B． 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是(　　) A.    B.2 C.3+    D.2+ 【答案】C 【解析】 应用勾股定理得，矩形的对角线的长度==， 以矩形对角线长为半径作圆，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为3+. 小明学习了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数－3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝1；再以C为圆心，CB的长为半径作弧，交数轴负半轴于点P，那么点P表示的数是(　　) A.－1－    B.－1＋ C.－1－    D.－1＋ 【答案】C 【解析】 由题得AC＝－1－(－3)＝2， ∵AB⊥OA， ∴∠BAO＝90°， ∵AB＝1， ∴BC＝， ∴PC＝BC＝， ∴点P表示的数是－1－. 如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为　　　.  【答案】 1- 【解析】 ∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线为， ∴M表示的数是1-. 在数轴上画出对应的点. 【答案】 解　如图，画一个直角边分别为2和1的直角三角形. 由勾股定理知，斜边为=.以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，则P为对应的点. 在数轴上画出对应的点. 【答案】 解　如图，画一个直角边分别为3和1的直角三角形. 由勾股定理知，斜边为=.以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则A为对应的点. 【题型4】网格中的勾股定理 【典型例题】如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（    ） A.4 B.5 C.7 D.25 【答案】B 【解析】设黑、白两棋子的距离为d， 由勾股定理可得， ∴d=5. 故选：B． 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(　　) A.5   B.6 C.7   D.25 【答案】A 【解析】 如图所示， AB==5. 【举一反三2】如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由勾股定理可得，，，，， ∴PD=5. 故选：． 【举一反三3】如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，则的值是      ．    【答案】12 【解析】在中，， 在中， ∴ ， 故答案为：12． 【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，于D，则的长为      ． 【答案】 【解析】由题意可得， 的面积是：， 由勾股定理得， ∴AC=5， ∵是的高， ∴， 解得，， 故答案为：． 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫作格点.以格点为顶点. (1)在网格中画一个长为的线段； (2)证明你画的线段长为. 【答案】 (1)解　如图，线段AB即为长为的线段. (2)证明　∵△ABC为直角三角形，AC＝4，BC＝2， ∴AB＝. 【题型5】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典型例题】在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【举一反三1】如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ，故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，，， ∴， ∴ ∴， ，故④错误， 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：B． 【举一反三2】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 《九章算术》中记载着这样一个问题：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7步/分，乙的速度为3步/分，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？解：如图，设甲、乙两人出发后x分相遇.根据勾股定理可列得方程为　　　.  【答案】 =+102 【解析】 由题意得AC=3x，AB+BC=7x， ∵AB=10， ∴BC=7x-10， 又∵∠A=90°， ∴BC2=AC2+AB2， ∴(7x-10)2=(3x)2+102. 【举一反三4】在中，，，点为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． (1)如图1，探究线段、之间的数量关系； (2)如图2，当时，其它条件不变，试判断线段，，的数量关系，并证明． 【答案】解：（1），证明如下： 由题意得：，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【举一反三5】如图，已知是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角，其中，探究并解决下列问题： (1)如图1，若点在线段上时，猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的，，三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明． 【答案】（1）解：结论：，理由如下： 如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∵ ∴； （2）如图，连接， ∵、均为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴，即： 在中， ∵ ∴． 【题型6】勾股定理的证明 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是(　　) A.统计思想   B.分类思想 C.数形结合思想   D.整体思想 【答案】C 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是(　　) A.36   B.64   C.100   D.100或28 【答案】C 【解析】 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，由勾股定理得，第三边平方为62+82=100. 【举一反三2】如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 【举一反三3】把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是            ． 【答案】 【解析】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三4】我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请你利用这个图形，推导勾股定理：； (2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长． 【答案】解：正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，， ， 整理，得； （2）直角三角形的面积为54，， ，， ， 小正方形的面积， 小正方形的边长为3． 图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理. 【答案】 解　如图，∵S多边形ABEFG=S梯形ABDG+S梯形DEFG =b[b+(a+b)]+a[a+(a+b)] =b2+ab+a2+ab =a2+b2+ab， S多边形ABEFG=S正方形ACFG+S△ABC+S△CEF =c2+ab+ab =c2+ab， ∴a2+b2+ab=c2+ab， ∴a2+b2=c2. 【题型7】与“弦图”有关的计算 “赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现.如图，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和小正方形EFGH组成.连接FH，DF，若FH=，DF=，则大正方形ABCD的边长为(　　) A.5   B.    C.    D. 【答案】D 【解析】 由题意得AF=DE，DH=AE，∠AED=∠DEF=90°， ∴AF-AE=DE-DH， ∴EF=EH， ∵EF2+EH2=HF2，FH=2， ∴EF=EH=2， ∵DF=， ∴DE===5=AF， ∴AE=AF-FE=5-2=3， ∴AD===. 某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3.若S1+S2+S3=75，则EF的长是(　　) A.2    B.4   C.5   D.5 【答案】C 【解析】 设Rt△EBF的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则c2=a2+b2， 由题意，得S1=(a+b)2，S2=c2，S3=(a-b)2， ∴S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2， =a2+2ab+b2+c2+a2-2ab+b2 =c2+c2+c2 =3c2=75， ∴c2=25， 即EF2=25， ∴EF=5. 【举一反三2】如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是        ． 【答案】4 【解析】中间小正方形的边长是：， 则中间小正方形的面积是， 故答案为：4． 【举一反三3】勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的面积为           ． 【答案】 【解析】设全等的直角三角形的两条直角边为且， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三4】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)如右图，正方形的面积是_______，正方形的面积是_______；（用含a，b的式子表示）； (2)记正方形的面积、正方形、正方形的面积分别为，若，的面积为3，求的值． 【答案】（1）解：由图可知：正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积是，正方形的面积是， 故答案为：，； （2）解：由图可知： ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 【举一反三5】如图，其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设，，，取，． (1)填空：正方形的面积为____________，四个直角三角形的面积和为_____________． (2)求的值． 【答案】（1）解：设，，，取，． 正方形面积为：， 正方形面积为：， 根据图形可知：四个直角三角形的面积和等于正方形与正方形面积之差， 即：， 故答案为：16；384； （2）解：在（1）中，有：四个直角三角形的面积和 又∵，，， ∴， 整理，可得：， 由（1）可知四个直角三角形的面积和为384， ∴，解得， ∵， ∴． ∴（负值舍去）， 即值为28． 学科网（北京）股份有限公司 $