第1章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学因式分解单元强化卷，通过基础巩固与创新情境题结合，覆盖因式分解方法、应用及推理，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|公因式、因式分解方法、求值|结合地砖覆盖（第8题）、密码生成（第9题）考查应用，体现数学眼光| |填空题|6/18|最大公因式、分解因式、计算应用|含背景墙装饰板材（第16题）等实际问题，发展应用意识| |解答题|8/72|整体思想（第19题）、待定系数法（第23题）、推理证明（第21题）|分层设计，从基础分解到劳动实践面积分割（第22题），培养推理与创新意识|

第1章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解即可得到结果． 【详解】解： 2．已知，则整式应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知两个整式的乘积和其中一个因式，求另一个因式，可通过提取公因式分解因式得到结果. 【详解】解：∵ ∴. 3．若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 4．下列各组中，没有公因式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式的公因式，熟练掌握多项式的公因式是解题的关键． 将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案． 【详解】解：A、，，有公因式，不符合题意； B、多项式与没有公因式，符合题意； C、由，得，有公因式，不符合题意； D、，有公因式，不符合题意； 故选：B． 5．若多项式可分解成，则的值是（    ） A． B．13 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得，． ． ． ，，． ，． ． 故选：A 6．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握通过因式分解将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 利用已知条件，将表达式进行因式分解和代入求值． 【详解】解：， 故选：C． 7．下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形结果必须是几个整式的乘积，由此判断： A、该变形是整式乘法，结果为多项式，不是因式分解； B、原式右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； C、，变形符合因式分解的定义，是因式分解； D、右边的不是整式，不符合因式分解要求，不是因式分解． 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【详解】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 9．人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 10．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ， ． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．多项式各项的最大公因式是__________． 【答案】 【详解】解：多项式各项的最大公因式是． 12．分解因式：__________． 【答案】 【详解】解：． 13．利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 14．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 15．如果，，那么的值为_______． 【答案】4 【分析】将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式． 16．高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 【答案】 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．分解因式： (1)： (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式分解； （2）先提出公因式，再根据完全平方公式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 18．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】法一：根据完全平方公式与多项式乘以多项式进行计算，合并同类项，再将字母的值代入，法二：提公因式分解因式，再计算单项式乘以多项式，最后将字母的值代入计算即可求解． 【详解】解：法一： 当，时，原式． 法二： 当，时，原式． 19．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式 ， 再将“B”还原，可以得到：原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式 再将“C”还原，可以得到：原式． 20．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 21．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 22．【问题情境】 在校园劳动实践活动中，我们常常通过将劳动场地划分成若干个长方形来设计种植区域、分配劳动任务．比如，一块边长为的正方形菜地，就可以通过分割成4块较小的长方形菜地，如图1，面积分别为，即，所以． 【解决问题】 (1)如图2，将边长为的正方形劳动场地划分成9块较小的长方形，分别计算它们的面积，由此得到______； (2)在图2中，已知，，求的值； (3)【问题拓展】 如图3，已知边长分别为的正方形和边长为的长方形，利用这3种图形拼接一个面积为，画出拼接示意图，并利用该示意图直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1)； (2) (3)如图所示， ． 【分析】（1）如图2，由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）将等式变形，利用代入法即可求解； （3）根据等式，可确定所需长方形5个和边长为m的正方形2个以及边长为n的正方形3个，作出相应的图形，再根据总面积等于长乘以宽即可进行因式分解． 【详解】（1）解：如图， 从整体来看，该图是边长为的正方形，可得图的面积为， 从部分来看，该图是是由个边长为的正方形、个边长为的正方形、个边长为的正方形、个长为，宽为的长方形、个长为，宽为的长方形以及个长为，宽为的长方形组成，可得图的面积为， ∴可得等式：， （2）解：由（1）知， ∴； （3）解：略； 23．例如：多项式可以分解为与另外一个整式M的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式． (2)若多项式含有因式及，求的值． (3)若多项式可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 【答案】(1) ，分解结果为 (2) (3) ，分解结果为 【分析】(1)设多项式能分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b的方程，求解得a，代入后得分解结果； (2)设可分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b、c的方程，求解后代入计算得结果． （3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式． 【详解】（1）解：∵是多项式的因式，设多项式能分解为， ∴． ∴，． ∴，． ∴． （2）解：∵多项式含有因式及，， 设可分解为， ∴ ． ∴， ∴． ∴． （3）解：∵， ∴可以分解为， 则， ∴， 解得， 则 ． 24．阅读理解，并完成下列问题： 材料 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形关系，二者本质上是对多项式进行的两个相反方向的运算．整式乘法是把若干个整式（单项式或多项式）相乘，因式分解是把一个多项式拆成若干个整式乘积的形式，整式乘法的结果就是因式分解的原多项式；因式分解的结果就是整式乘法的因式组合，二者都遵循整式的乘法法则（分配律，结合律，交换律），只是运算方向相反．同时，从整式乘法的过程中感悟出因式分解的思路和方法． 例子 整式乘法 因式分解 感悟方法 例1 分组法 例2 拆项法 例3 ． 添项法 (1)在表格中完成例3的“因式分解”过程； (2)因式分解： ①         ② (3)已知：、、，证明：． 【答案】(1) (2)① ；② (3)证明： ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∴ 【分析】（1）根据表格进行因式分解即可； （2）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可； （3）先将原式化简为，再由平方的非负性及不等式的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）①解： ； ②解： （3）略 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章因式分解（高效培优单元自测·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 心 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A C C B A 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.2y 12. y(y2+1） 13.4051 14.-18 15.4 16.a+3b 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.0(3x+3x-) (2) 3ma(a-1)2 【详解】(1)解：9r-y=(6x+y)(3x-) (2)解：3ma3-6ma2+3ma =3ma(a2-2a+1) =3ma(a-1)2 18.-8ab+4b2,20 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2a-b)2-(2a+3b)(2a-b) 【详解】解：法一： =4a2-4ab+b2-(4a2-2ab+6ab-3b2） =4a2-4ab+b2-4a2+2ab-6ab+3b2 =-8ab+4b2 当a=-2,b=l时，原式 -8×(-2)×1+4×12=20 (2a-b)2-(2a+3b)(2a-b) 法二： =(2a-b)[2a-b-(2a+3b)] =(2a-b)(2a-b-2a-3b) =(2a-b)(-4b) =-8ab+4b2 当4=-2,6=1时，原式 -8×(-2)×1+4×1=20 19.((3x-3y+1)月 (2(a2-a-1 【详解】(1)解：将“x-y”看成整体，令x-y=B, 则原式=1+6B+9B2 =(3B+1 再将“B还原，可以得到：原式[3(x-)+=(3x-3y+, (2)解：将“a2-a”看成整体，令a2-a=C, 则原式(C+(C-3)+4 =C2+C-3C-3+4 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =C2-2C+1 =(c-1 再将“C还原可以得到：原式（口-a-」 20.1)x-y月 2x+x-y(x+y+1) 8)3(x-y(9x-4y) ④2y-0+2010y+) 【详解】（山）解：x(x--y0-x =x(x-y)-y(x-y) =(x-y(x-y) =- (2)解：+(x-)+(x+-) =(x+y)(x-y)(x+y+) (3)解：12(x-八+15x(0-x =12x-y)°+15x(x-y)月 =3(x-y)2[4(x-y)+5x] =3(x-y'(9x-4y) (4解：2(x-2y(x+2)+3(2y-xx+2y 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =2(2y-x)'(x+2y)+3(2y-x)(x+2y)月 =(2y-x)(x+2y)[2(2y-x)+3(x+2y)] =(2y-x)(x+2y)(4y-2x+3x+6y) =(2y-x)x+2y)10y+x) 21.(1)因式分解 (2)见解析 【详解】(1)解：因式分解： (2)证明：设m=2n+1(n为自然数) m2-m+2 =(2n+1)2-(2n+1)+2 =4n2+4n+1-2n-1+2 =4n2+2n+2 =2(2n2+n+1) 2(2n2+n+1) 且 能被整除 ∴.m2-m+2能被2整除。 22.(①)2ab+2ac+2bc; (2)29 (3)如图所示， mm n m 2m2+5n+3n2=(m+n)(2m+3n） 【详解】(1)解：如图2， 从整体来看，该图是边长为+b+C的正方形，可得图2的面积为a+b+©， 从部分来看，该图是是由1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、1个边长为C的正方形、2个长为 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b,宽为a的长方形、2个长为b,宽为C的长方形以及2个长为C,宽为a的长方形组成，可得图2的面积 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, ∴可得等式：(a+h+c=d2+2+c2+2ab+2bc+2ac (2)解：由(1)知(a+b+c=a2+b2+c2+2ab+2ac+2hc .a2+b+c2=(a+b+c2-2(ab+ac+bc)=92-2x26=29 (3)解：略： 23.(①)4=0，分解结果为 3+ax+1=(x+1)x2-x+1)） (2)a+b=-31 3)4=-6,分解结果为 x2-xy-2y2+5x-8y+a=(2x+y+3)(3x-2y-2) 【详解】(1)解：：x+1是多项式r+ar+l的因式，设多项式+a+1能分解为+1川：+hr+ ,x3+ax+1=(x+1)(x2+bx+1)=x3+(b+1)x2+(b+1)x+1 .b+1=0,a=b+1. b=-1,a=0」 r+1=(c+0x2-x+） (2)解：多项式3r+r+br-34含有因式x+1及x-2,(x+x-2)=r-x-2 设3r+ar+r-34可分解为x+x-23r2+ex+17) :3x+ax+b-34=(2-x-203x2+cx+17） =3x4-3x3-6x2+cx3-cx2-2cx+17x2-17x-34 =3x4+(c-3)x3+(11-c)x2-(17+2c)x-34 .a=c-3,11-c=0,b=-17-2c, .c=11,a=8,b=-39. 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .a+b=8-39=-31 （3)解：6x--2y2=(2x+6x-2)） :6r-w-2y+5x-8y+a可以分解为2r+)+c3x-20+d, 则[2x+)+c[6x-2y)+d]=6x2-y-2y2+(2d+3c)x+(d-2cjy+cd 2d+3c=5 d-2c=-8 cd=a a=-6 d=-2 解得 c=3, 则6r-y-2y2+5x-8y+a =6x2-xy-2y2+5x-8y-6 =[(2x+y)+3][(3x-2y)-2] =(2x+y+3)(3x-2y-2) 24.(1) a2-b2=a2-ab+ab-b2 =(a2-ab)+(ab-b2) =a(a-b)+b(a-b) =(a+b)(a-b) ②0(a-bla+b+c,②(t-r+r-8) ()证明：a+6+c2-(ab+ac+bc) -2c2+2+2c2-2ab-2ac-2c) 617 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =[（a2-2ab+b)+(a2-2ac+c2）+(6-2bc+c2】 -)[(a-b+(a-c+b-c] .a≠b,a≠c,b≠c :a-b>0(a-cP>0b-c}>0 a-b+(a-e+6-e]>0 :.a+b+e-(ab+ac+bc)>0 .a2+b2+c2>ab+ac+bc 【详解】(1)略 (2)①解：a2-b2+ac-bc =(a2-b2)+(ac-bc) =(a-b)(a+b)+c(a-b) =(a-b)(a+b+c) ②解：x3-9x+8 =x3-x-8x+8 =x(x2-1)-8(x-1) =x(x-1)(x+1)-8(x-1) =(x-1)儿x(cx+1)-8] =(x-1(x2+x-8) (3)略 717学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.把多项式少-9 因式分解正确的是（) A.x(2+9 B.x(y-9)月 C.x(x+y0y-9)D.x(0y+30y-3) 2.已知4：(2x-y)小=-6xy+3xy ,则整式A应该是() A.3 B.3xy C.-3x2y D.3 3.若m2+m-1=0,则m3+2m2+2026的值为() A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 4.下列各组中，没有公因式的是() A.3a-3b与b-a B.mr+y与x+my c.(m-与-m) D.a+b与(b+a) 5.若多项式39x2+5x-14可分解成(ar+2)13x-b),则2a-b的值是() A.-1 B.13 C.1 D.-13 6.若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 7.下列式子由左边到右边的变形中，是因式分解的是() A.(2x+2x-y)=4x2-y B.a'-6ab+bi=a(a-6b)+b C.4a2-16=4(a+2)(a-2) 8.如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖.如图2，用4块同样的正方形地砖铺 在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为23dm.若地砖与台面的边长均为 整数（单位：m),则台面与这种型号的地砖边长相差(） 117 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 图1 图2 A.4dm B.5dm C.8dm D.9dm 9.人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正 整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码。例如：多项式-4y, 将其分解因式为 y(x+2)(x-2) 若取=15少12 =12x+2=17x-2=13 ,则 ,那么12,17,13为因式码.将这三 个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码.已 知多项式4n3-m2n,当取m=5,n=13时，按上述方法生成的密码是() A.152131 B211331 C132131 D132115 10.如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不 S 重合、无间隙)，她在三个图上分别画出了三块阴影面积.若图1，图2，图3的阴影面积分别记为 3:S且8=5=2，则3《) 图1 图2 图3 A 9 19 B.2 c.2 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.多项式 2xy+4y2 各项的最大公因式是 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2y3+xy= 12.分解因式： 13.利用因式分解计算：20262-20252= 14.已知二次三项式x2-3x+m有一个因式是x+3,则m的值为 15.如果a+b=2,ab=1,那么ab+2a2b2+ab的值为 16.高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的A,B,C三种板材装饰一面正方形 背景墙.最后该家居装饰店用了1块A型板材、9块B型板材和6块C型板材完成这个装饰任务，则这面正 方形背景墙的边长是 a a 三、解答题（本题共8小题，第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24 题每题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.分解因式： 092-r 、3ma3-6ma2+3ma (2) 18,先化简，再求值：2a-b-2a+302a-),其中a=-2,h= 19.阅读材料： 因式分解：(x+)+2(x+)+1 解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=+2A+1=(1+ 再将“A”还原，可以得到：原式(x+y+ 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法.请利用“整体思想”解答下列问 题： 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)因式分解： 1+6(x-y)+9(x-y)2 (2)因式分解： (a2-a+1)(a2-a-3)+4 20.因式分解： ④(x--(y- ②+(-y)+(x+y)x-y). l2(x-y)+15x(0y-x. ④2(x-2y°(x+2y)+3(2y-x)(x+2y2 21.初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容.例如， 在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数. 小明给出了如下解答过程： 证明：设n、n+1、n+2(n为自然数) n(n+1)+(n+1(n+2)o =(n+1)(n+n+2) =(n+1)(2n+2) =20n+@ 且2+10 能被2整除， ∴.n(n+1)+(n+1)(n+2) 能被2整除。 ∴·三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： ()在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于_（填写“整式的乘法”或“因式分解”）： (2)已知m>0,且m是奇数.求证：m-m+2能被2整除. 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.【问题情境】 在校园劳动实践活动中，我们常常通过将劳动场地划分成若干个长方形来设计种植区域、分配劳动任务， 比如，一块边长为x+y的正方形菜地，就可以通过分割成4块较小的长方形菜地，如图1，面积分别为 ,广，即+2w+y,所以+2+y=(+ a b m 2 图1 图2 图3 【解决问题】 (1)如图2，将边长为a+b+℃的正方形劳动场地划分成9块较小的长方形，分别计算它们的面积，由此得到 (a+b+c}=a2+b2+c2+ (2)在图2中，已知a+b+c=9,ab+ac+bc=26,求a2+b2+c2的值： (3)【问题拓展】 如图3，已知边长分别为m,n的正方形和边长为m,n的长方形，利用这3种图形拼接一个面积为 2m2+5mn+3n2 2m2+5mn+3n2 画出拼接示意图，并利用该示意图直接写出多项式 因式分解的结果. 23.例如：多项式+9x-10 (x-1) 2+9x-10=(x-1)M 以分解为与另外一个整式M的乘积，即 ,令 x2+9x-10=0 x=1 时，可知为该方程的一个根 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：x3+2x2-3. 观察知，显然x=1时，原式=0，因此原式可分解为x-)与另一个整式的积. 令：r+2r-3=-(r+br+c） 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [b-1=2 c-b=0 而(x-(x+br+c)=r+b-)x2+c-bx-c,因等式两边x同次幂的系数相等，则有： C=-3’得 b=3 c=3,从而x+2x2-3=(x-10(x2+3x+3)」 此时，不难发现x=1是方程x+2x2-3=0的一个根. 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (I)若x+l是多项式x+ax+1的因式，求a的值并将多项式x+ax+1分解因式. (2)若多项式3x+ax3+br-34含有因式x+1及x-2,求a+b的值. (3)若多项式 x2-xy-2y2+5x-8y+a 可以分解为两个一次因式之积，求α的值将该多项式分解因式. 24.阅读理解，并完成下列问题： 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形关系，二者本质上是对多项式进行的两个相反方向的运算.整 式乘法是把若干个整式（单项式或多项式）相乘，因式分解是把一个多项式拆成若干个整式乘积的形 材 式，整式乘法的结果就是因式分解的原多项式；因式分解的结果就是整式乘法的因式组合，二者都遵 料 循整式的乘法法则（分配律，结合律，交换律），只是运算方向相反.同时，从整式乘法的过程中感 悟出因式分解的思路和方法。 例 整式乘法 因式分解 感悟方法 子 ac+ad+bc+bd (ac+ad)+(bc+bd) 例 (a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d) =a(c+d)+b(c+d) 分组法 1 ac+ad +bc+bd =(a+b)(c+d) (a+b)2=(a+b)(a+b) a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2 到 =a(a+b)+b(a+b) 拆项法 2 =a(a+b)+b(a+b) =(a+b)(a+b) a2+ab+ab+b2 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =a2+2ab+b2 =(a+b)2 (a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b) 例 a2-b2= =a2-ab+ab-b2 添项法 3 =a2-b2 (1)在表格中完成例3的“因式分解”过程； (2)因式分解： a-b+ac-be ②r-9r+8 (3)已知：a≠b、a≠c、b≠c,证明：a2+b2+c2>ab+ac+bc. 717