2.2 基本不等式（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单聚焦“基本不等式”，衔接一元二次函数、方程和不等式知识体系。从重要不等式（任意实数）入手，明确其变形及取等条件，过渡到基本不等式（正数条件），涵盖作差法、性质法、几何意义三种证明方法，延伸至不等式链、权方和不等式等拓展内容，构建从概念到应用的学习支架。 知识链路以“概念—证明—拓展—应用”为逻辑主线，通过易错点提示（“一正二定三相等”）和九类题型（理解变形、比较大小、配凑/消元/换元求最值等）系统梳理。几何意义证明培养数学眼光，多方法推理训练数学思维，实际应用题型提升数学语言表达能力，习题结合模拟题与阶段检测，强化知识迁移与问题解决能力。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 🔷知识点一　重要不等式 1.重要不等式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 2、常见变形：、、． ⚠️特别提醒 1 取等号的条件是：当且仅当时，等号成立。 2 虽然变形方式多种多样，但是取等号的条件都相同。 📌 归纳总结 重要不等式是从完全平方公式推导而来，有三种常见变形，使用时注意取等号的条件是否成立。 🔷 知识点二　基本不等式 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 3、基本不等式的证明 方法一、作差法 ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二、性质法 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三、利用几何意义证明 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 💡 拓展延伸 1.不等式链： 1. 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(当且仅当时，等号成立). 2.权方和不等式： 若 则 当且仅当 时取等号. ⚠️特别提醒 一定注意基本不等式和重要不等式两者很相像，但是基本不等式相较于重要不等式，要求其中的与都大于0。 易错点 1 忽视“一正”——使用基本不等式前未确认变量为正数 · 错例：求函数的最小值，直接写，故最小值为 2。 · 错因：基本不等式要求。若，则，无最小值 2。 · 规避方法：使用前先明确变量范围。 易错点 2 忽视“二定”——和或积不是定值就盲目用不等式 · 错例：求（）的最小值，写，然后无法求出常数最小值。 · 错因：基本不等式取等号的条件是两项相等，但前提是“和定积最大”或“积定和最小”。若与的乘积不是定值，则不等式右边不是常数，无法确定最值。 · 规避方法：先观察是否可通过配凑、换元或拆项构造“定值”。例如若求，则可拆为，使三项乘积为定值。 易错点 3 忽视“三相等”——不验证等号能否取到 · 错例：求 （）的最小值，写 ，得最小值为 ，再令其等于 4 得最小值 4（错误）。 · 错因：对和使用不等式，乘积不是常数，故等号条件无效。 · 规避方法：必须配凑使“和”或“积”为定值，然后解等号方程，并验证解是否在定义域内。 易错点 4 连续多次使用基本不等式时，等号条件不一致 · 错例：求且（皆为正数），对两个括号内用基本不等式，得最小值 4。 · 错因：两次使用基本不等式时，取等号的条件不同。 题型一：基本不等式的理解及其简单变形 📝方法技巧 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 1. （2026·北京朝阳·模拟预测《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 2. （25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】依题意，，由于，得， 在中，由射影定理得，即， 而，，因此，当且仅当时取等号，A是； 在中，，，则， 而，因此，当且仅当时取等号，C是； 由，连接，由点F是半圆的中点，得，， 在中， ，则，又， 因此，当且仅当时取等号，B是； 而与在给定图形中没有相应的线段与之对应，因此选项D对应不等式不能用无字证明完成，D不是. 故选：ABC 3. （25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 题型二：利用基本不等式比较大小 📝方法技巧 利用基本不等式比较大小，先看是否满足“一正二定三相等”，将式子凑成和或积为定值的形式，再与常数或目标式比较。注意灵活变形（如拆项、添项、代换），并验证等号能否取到以确定最值。对于含参数或复杂分式，可先分离变量再应用不等式，避免直接比较。 1 （25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 2. （25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 3. （25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用重要不等式，可判断A，C；利用特值法，可判断B，D. 【详解】对于A：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故A正确； 对于B：取，则显然成立，故该不等式不一定成立，故B错误； 对于C：该式可变形为，因实数的平方非负，故该不等式一定成立，故C正确； 对于D：可取，得，故该不等式不一定成立，故D错误. 故选：AC. 题型三：直接使用基本不等式求最值 📝方法技巧 直接使用基本不等式的情况大致分为：和为定值、积为定值。有一句口诀为：和定积最大，积定和最小。 1.和为定值用在解题中要注意对式子的观察，明确，所指。 2.积为定值，指的是类似，等，其中要注意的是是否能够取到等号；若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理. 1. （25-26高三上·江苏南京·月考）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 2. （2026·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 3． （2026·湖南·模拟预测）已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 【答案】/0.75 【分析】由基本不等式求得结果. 【详解】，所以，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 题型四： 配凑法求最值 📝方法技巧 部分情况会无法直接做到和或者积为定值，不满足“二定”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。 1. （25-26高一上·江西抚州·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 2. （25-26高一上·安徽六安·期中）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 3. （25-26高一上·安徽池州·期中）设实数满足，则函数的最大值是________________ 【答案】/ 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型五：消元法求最值 📝方法技巧 消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1. （25-26高二上·安徽池州·期中）已知，，满足，则的最小值是______． 【答案】. 【详解】由，得， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 2. 已知，，若，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意，，则， 令，， 则， 等号成立时，即，， 故的最小值为. 3. 若，，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵，∴， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时取等号， 当时，∴， ∴当，时，的最小值为. 故答案为：. 题型六：换元法求最值 📝方法技巧 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。 1. （25-26高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，. 故选：A. 2. （25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，设，则，由可得， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 即得，解得，即的最小值为. 故选：D. 3. （25-26高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 令，，则且，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ， 故选：A． 题型七：“1”的代换 📝方法技巧 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 第一步：根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 第二步：注意验证等号取得的条件是否成立． 1. （25-26高三·湖南·一模）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 2. （25-26高三·湖南）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 3. （25-26高三·湖北黄冈·期中）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 题型八：恒（能）成立问题 📝方法技巧 题目通过恒（能）成立的形式来确定参数的取值范围，通常采用“1”的代换来求解，注意找到等于1的式子，带入求最值。 1. （25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2. （25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3. （25-26高一上�福建三明�阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 题型九：基本不等式在实际生活中的应用 📝方法技巧 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1. （25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 2. （25-26高一上�广西河池�期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 3. （25-26高一上�安徽阜阳�期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 🔷知识点一　重要不等式 1.重要不等式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 2、常见变形：、、． ⚠️特别提醒 1 取等号的条件是：当且仅当时，等号成立。 2 虽然变形方式多种多样，但是取等号的条件都相同。 📌 归纳总结 重要不等式是从完全平方公式推导而来，有三种常见变形，使用时注意取等号的条件是否成立。 🔷 知识点二　基本不等式 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. 2.叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 3、基本不等式的证明 方法一、作差法 ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二、性质法 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三、利用几何意义证明 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 💡 拓展延伸 1.不等式链： 1. 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(当且仅当时，等号成立). 2.权方和不等式： 若 则 当且仅当 时取等号. ⚠️特别提醒 一定注意基本不等式和重要不等式两者很相像，但是基本不等式相较于重要不等式，要求其中的与都大于0。 易错点 1 忽视“一正”——使用基本不等式前未确认变量为正数 · 错例：求函数的最小值，直接写，故最小值为 2。 · 错因：基本不等式要求。若，则，无最小值 2。 · 规避方法：使用前先明确变量范围。 易错点 2 忽视“二定”——和或积不是定值就盲目用不等式 · 错例：求（）的最小值，写，然后无法求出常数最小值。 · 错因：基本不等式取等号的条件是两项相等，但前提是“和定积最大”或“积定和最小”。若与的乘积不是定值，则不等式右边不是常数，无法确定最值。 · 规避方法：先观察是否可通过配凑、换元或拆项构造“定值”。例如若求，则可拆为，使三项乘积为定值。 易错点 3 忽视“三相等”——不验证等号能否取到 · 错例：求 （）的最小值，写 ，得最小值为 ，再令其等于 4 得最小值 4（错误）。 · 错因：对和使用不等式，乘积不是常数，故等号条件无效。 · 规避方法：必须配凑使“和”或“积”为定值，然后解等号方程，并验证解是否在定义域内。 易错点 4 连续多次使用基本不等式时，等号条件不一致 · 错例：求且（皆为正数），对两个括号内用基本不等式，得最小值 4。 · 错因：两次使用基本不等式时，取等号的条件不同。 题型一：基本不等式的理解及其简单变形 📝方法技巧 基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 1. （2026·北京朝阳·模拟预测《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 2. （25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 3. （25-26高一上·广东佛山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式比较大小 📝方法技巧 利用基本不等式比较大小，先看是否满足“一正二定三相等”，将式子凑成和或积为定值的形式，再与常数或目标式比较。注意灵活变形（如拆项、添项、代换），并验证等号能否取到以确定最值。对于含参数或复杂分式，可先分离变量再应用不等式，避免直接比较。 1 （25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2. （25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3. （25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）设为非零实数，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三：直接使用基本不等式求最值 📝方法技巧 直接使用基本不等式的情况大致分为：和为定值、积为定值。有一句口诀为：和定积最大，积定和最小。 1.和为定值用在解题中要注意对式子的观察，明确，所指。 2.积为定值，指的是类似，等，其中要注意的是是否能够取到等号；若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理. 1. （25-26高三上·江苏南京·月考）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2. （2026·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3． （2026·湖南·模拟预测）已知都是正实数，若，则的最大值为___________． 题型四： 配凑法求最值 📝方法技巧 部分情况会无法直接做到和或者积为定值，不满足“二定”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。 1. （25-26高一上·江西抚州·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2. （25-26高一上·安徽六安·期中）若，则函数的最小值为_____. 3. （25-26高一上·安徽池州·期中）设实数满足，则函数的最大值是________________ 题型五：消元法求最值 📝方法技巧 消元法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1. （25-26高二上·安徽池州·期中）已知，，满足，则的最小值是______． 2. 已知，，若，则的最小值为________． 3. 若，，则的最小值为__________. 题型六：换元法求最值 📝方法技巧 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。 1. （25-26高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2. （25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3. （25-26高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型七：“1”的代换 📝方法技巧 “1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 第一步：根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 第二步：注意验证等号取得的条件是否成立． 1. （25-26高三·湖南·一模）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 2. （25-26高三·湖南）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3. （25-26高三·湖北黄冈·期中）已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 题型八：恒（能）成立问题 📝方法技巧 题目通过恒（能）成立的形式来确定参数的取值范围，通常采用“1”的代换来求解，注意找到等于1的式子，带入求最值。 1. （25-26高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. （25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 3. （25-26高一上�福建三明�阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 题型九：基本不等式在实际生活中的应用 📝方法技巧 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1. （25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 2. （25-26高一上�广西河池�期末）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 3. （25-26高一上�安徽阜阳�期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $