知识清单笔记：2.2 基本不等式-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦基本不等式的核心知识，从重要不等式到基本不等式，层层递进，通过数形结合的几何解释构建直观认知，再以变式训练强化公式理解，最后用应用题实现知识迁移，形成完整的学习支架。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“模型意识”。例如，通过圆的几何构造直观呈现算术平均数与几何平均数的关系，帮助学生建立数形联系；在应用题中引导学生从实际情境中抽象变量关系，构建函数模型并运用不等式求最值，体现数学建模思想。此设计既提升学生的问题解决能力，又助力教师精准把握教学重难点，增强课堂实效性。

高中数学教学笔记 基本不等式 （人教版必修第一册第二章第2节） 湖北天门 薛德斌 注：这一节特别强调格式、过程、方法（定势与变形）． Ⅰ 基础知识 一、重要不等式：，，有，当且仅当时，等号成立． （由引入） 变式：，，． 关于不等式的几点说明： （1）不等式中的，的取值是任意实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式； （2）公式中等号成立的条件是，如果，不能相等，则中的等号不能成立，即，． 二、基本不等式：当，时，，当且仅当时，等号成立． 变式：，，． 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 几何解释：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，，过点作垂直于直径的弦，连接，，易证，则，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立． 不等式和的比较： （1）不等式和成立的条件是不同的．前者要求，是实数即可，而后者要求，都是正实数．例如，当，时，成立，但显然不成立． （2）不等式和都是带有等号的不等式，当且仅当时，等号成立． 推论：（可在讲完题组二后总结） 1．常用模型： （1）当时，； （2）当时，； （3）当，，为常数时，； （4）当，，时，； （5）当，，时，． 2．（最值定理：积定和最小，和定积最大．）已知，， （1）如果积是定值，那么当时，和有最小值，平方和有最小值； （2）如果和是定值，那么当时，积有最大值，平方和有最小值； （3）如果平方和是定值，那么当时，积有最大值，和有最大值． 拓展： 1．当，时，， 其中叫做，的调和平均数，叫做，的平方平均数； 2．对个正数，，…，，有． Ⅱ 基本题型 考点一：对公式及的理解 例1．下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 考点二：利用重要不等式和基本不等式证明不等式 例2． 考点三：利用基本不等式求最值 考点四：利用基本不等式解应用题 例10．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元). （Ⅰ）将表示为的函数； （Ⅱ）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【思路点拨】 对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题． 【解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为m， 则 由已知xa=360,得a=，所以y=225x+ (Ⅱ) .当且仅当225 =时，等号成立. 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $