第二章 实数 基础卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 第二章实数单元复习基础卷，覆盖实数分类、二次根式运算等核心知识点，通过选择、填空及分层解答题，强化抽象能力、运算能力与推理意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数分类、二次根式化简、平方根性质|基础概念辨析，如第6题无理数个数判断| |填空题|5/15|平方根与立方根关系、无理数比较|第15题数值转换器流程，体现抽象能力| |解答题（一）|3/21|数轴表示无理数、二次根式化简求值|第16题数形结合，强化几何直观| |解答题（二）|3/27|规律探究、实际应用（舞台面积）|21题以清明上河园为情境，渗透文化传承| |解答题（三）|2/27|运算纠错、不等式求最值（几何面积）|23题结合面积与不等式，发展推理意识|

第二章 实数 基础卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为(   ) A． B． C．或 D． 2．下列计算正确的是（　 ） A． B． C． D． 3．若的整数部分为a，小数部分为b，则（） A．2 B．1 C．0 D． 4．下列根式中，最简二次根式的是（    ） A． B．4 C． D． 5．若与最简二次根式能合并，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．在实数，，，，中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，如图上的点A所表示的数为x，则x的值为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法错误的是（     ） A．0的平方根是0 B．1的立方根是1 C．2是4的算术平方根 D．的平方根是 9．若a，b为实数，且，则（    ） A．1 B． C． D．2025 10．如图，将一个含角的直角三角板的两顶点放在矩形纸条的两边上．若，，则矩形纸条的宽为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 12．比较大小________ （填＞，＝，或＜） 13．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 14．已知，那么___________ 15．有一个数值转换器，流程如下：当输入的值为时，输出的值是______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．在数轴上表示下列各数，并将其中的无理数用“<”连接． 的算术平方根，． 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．观察下列各式：①，②；③，… (1)请观察规律，并写出第④个等式：______； (2)请用含的式子写出你猜想的规律：______； (3)请证明（2）中的结论． 20．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是3． (1)直接写出： ， ； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 21．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式） (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台的总面积． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分）22．下面是某同学二次根式运算的过程： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)该同学从第________步开始出现错误； (2)写出正确的解题过程； (3)直接写出正确的运算结果与的大小关系． 23．我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_____； (2)当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C A B C D B B 11． 12．＜ 13．7 14． 15． 16．数轴见解析，． 【分析】先化简数，再用数轴上的点表示同意这此数，然后找出无理数，利用数轴比较其大小即可． 【详解】解：∵ ，，的算术平方根为2， ∴在数轴上表示各数为： ∵无理数有：，， ∴无理数用“<”连接为：． 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值，算术平方根，无理数比较大小等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 17．， 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，先展开，再去括号合并同类项，化简后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18． 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键． 根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是4， ，， 解得，， ∵， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 19．(1) (2) (3) 证明：∵， ∴． 【分析】本题考查二次根式有关的规律题，根据题意列递推等式，最终找出规律是解题关键． （1）观察等式左右两边的式子结构，即可得出答案． （2）观察等式左右两边的式子结构，即可得出第的式子． （3）将化成，再进行完全平方公式因式分解，并开方即可． 【详解】（1）解：根据规律，第④个等式为：． （2）解：根据规律，第的式子为：． （3）略 20．(1)1，3 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵且的立方根是它本身， ， ∵的算术平方根是3， ∴， ， 故答案为：1，3． （2）， ， 的平方根为． （3）， ， ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， 则的值为． 21．(1)米 (2)平方米 【分析】本题考查二次根式的混合运算的应用， （1）利用二次根式的除法解题即可； （2）利用二次根式的混合运算解题即可． 【详解】（1）解：这个舞台的宽为（米） 答：这个舞台的宽为米； （2）解：装饰后矩形舞台的总面积为 （平方米）． 答：舞台装饰后的面积是平方米． 22．(1)一 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据二次根式的运算法则逐步判断即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可； （3）利用“夹逼法”判断即可. 【详解】（1）解：除法没有分配律，故从第一步开始出现错误； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，即， ∴，即， 又， ∴. 23．(1) (2)当时，有最小值，为 (3)四边形面积的最小值为25 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； （2）解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值，为． （3）解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 答案第4页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $