第1章 三角形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 新教材苏科版初中数学三角形单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖全等、中线、尺规作图等核心知识点，通过各地真题改编，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|全等判定（题2）、三线概念（题3）|结合钢缆中点（题1）等生活情境，基础概念辨析| |填空题|6题/18分|三边关系（题13）、平移性质（题15）|开放探究（题12添加全等条件），空间观念考查| |解答题|9题/72分|折叠证明（题19）、动态几何（题24）、网格作图（题25）|分层设计，综合考查推理能力与创新意识，适配单元拔高|

第1章 三角形·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 2．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出，利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解： ，且，，，， ， ，， ， ． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：A选项，为角平分线，不符合要求； B选项，为边上的垂直平分线，不符合要求； C选项，为边上的高，符合要求； D选项，不是边上的高，不符合要求． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， ， 又， ， ， 点是边上一点， ，选项符合题意． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 【答案】D 【分析】设点E运动时间为，则，分两种情况求解：①当点从点B出发，向点左侧移动时；②当点从点B出发，向点右侧移动时，利用全等三角形的性质分别求出的长，即可得解． 【详解】解：设点E运动时间为，则， ①如图，当点从点B出发，向点左侧移动时， 为边上的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，解得：； ②如图，当点从点B出发，向点右侧移动时， 同理可证，， ， ， ，解得：, 综上可知，当点E运动或时，． 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 8．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用角平分线和平行线的性质证明、、均为等腰三角形，进而用a，b表示出的各条边长，最后合并化简即可． 【详解】解： ∴， 平分 ， ，， ，， ， ， ， ， ∴， ， 的周长． 9．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 10．如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-“手拉手”模型，熟记相关模型的构成及结论是解题关键．证即可判断①②；在上截取，证即可判断③；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确；     在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴点到边的距离相等， ∴平分 若平分，则有 ∴ ∴ 根据条件，无法推出，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】/45度 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合三边长均为奇数的条件确定第三边的最大值，即可计算得到周长的最大值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得：第三边，即第三边， 三边长均为奇数， 第三边的最大值为， 三角形周长的最大值为． 14．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解： ，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 15．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 【答案】5 【分析】由平移可得，，，然后证明为等边三角形，再求出四边形的各边长，再相加即可． 【详解】解：∵等边， ∴， 由平移可得，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ∴四边形的周长为：． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13/13或7 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． 18．（6分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是线段的垂直平分线，从而可得，再根据等边对等角得出，结合可求得，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角得出，然后利用三角形外角的性质得出，进而求得； （2）先根据的周长为20，得到，结合，可得，再根据，，可得，进而得到，从而可求得． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（6分）如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)100 (2).理由见解析 【分析】（1）运用折叠的性质及四边形的内角和定理即可解决问题； （2）由折叠得，再根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）∵, ∴. ∵是由翻折得到, ∴. ∴. ∵, ∴， 故答案为：. （2）.理由如下: ∵是由翻折得到， ∴. ∵, ∴. ∴. 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 20．（8分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (1)作边上的中线； (2)作边上的高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【详解】（1）解：如图即为边上的中线； （2）解：如图即为边上的高． 21．（8分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，求出的度数是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质可得，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：，， ． ， ， ∴． 22．（9分）（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 23．（9分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 24．（10分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再结合，，证明； （2）结合，得，又因为三角形内角和性质，得出，根据是的中点，得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 则， ∴， ∵，， 即， （2）证明：依题意，如图所示： 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的中点， ∴． 25．（10分）在5×6正方形网格中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)如图1，作钝角，且的面积为4（作一个即可）； (2)如图2，过P作，垂足为C； (3)如图3，在下方画点D，使； (4)如图4，与全等且有一条公共边的格点三角形共有______个（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)7 【分析】（1）如图，选定格点C，连接，则,即为所求； （2）如图，选定格点H，连接，交于点C,则,易证，进一步可得，即； （3）如图，选定格点D，由图可知，，则; （4）如图，与全等且有一条公共边的格点；与全等且有一条公共边的格点；与全等且有一条公共边的格点；共7个． 【详解】（1）解：如图，选定格点C，连接，则, , ∴即为所求；    （2）解：如图，选定格点H，连接，交于点C,则,理由如下， 如图, ∴． ∴． ∴，即    （3）解：如图，选定格点D，则; 由图可知，， ∴．    （4）解：如图，与全等且有一条公共边的格点；    与全等且有一条公共边的格点；    与全等且有一条公共边的格点；    综上，共有7个． 【点睛】本题考查全等三角形；格点三角形，灵活运用格点图得到全等三角形，从而得到等角、相等线段是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 2．（25-26七年级下·海南儋州·期末）如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）尺规作图，作出三角形边上的高，下列作图痕迹正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动（     ）时，． A．2 B．6 C．2或6 D．2或5 7．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 10．如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，和中，顶点B，F，C，E在同一直线上，且，，请再添加一个条件，使，这个条件是______．（写出一个即可） 13．（25-26七年级下·河南郑州·期末）若一个三角形的三边长均为奇数，其中两边长分别为5和7，则这个三角形周长的最大值为________． 14．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 15．（2026·宁夏银川·一模）如图，将边长为2的等边沿方向平移1个单位长度，得到，与相交于点G，则四边形的周长为______． 16．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 18．（6分）（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为20，，求的长． 19．（6分）如图，把沿EF折叠，使点A落在点D处．    (1)若，则的度数为______°； (2)若，试判断与的数量关系，并说明理由． 20．（8分）（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，完成下列尺规作图（保留作图痕迹，不写作图步骤）； (1)作边上的中线； (2)作边上的高． 21．（8分）（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，为的高，为的角平分线，交于点，，． (1)求的大小； (2)若，求的长． 22．（9分）（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 23．（9分）（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 24．（10分）（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，已知：在中，，，点在边的延长线上，，． (1)求证：； (2)如果是的中点，求证：． 25．（10分）在5×6正方形网格中，点A、B、C都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)如图1，作钝角，且的面积为4（作一个即可）； (2)如图2，过P作，垂足为C； (3)如图3，在下方画点D，使； (4)如图4，与全等且有一条公共边的格点三角形共有______个（不包括）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $