第一章 三角形的证明及其应用（单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章三角形的证明及其应用·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 9 B D D D B 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.两个锐角互余的三角形是直角三角形 12.3.2cm 13.37°37度 14.25 15.7 16.50°或65°或130° 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：△ABF是直角三角形，理由如下： :AB=AC,∠BAC=120°， .∠B=LC=30°， :EF是AC的垂直平分线， :FA=FC, LFAC=∠C=30°， 又.∠BAC=120°， ∠BAF=90°， .△ABF是直角三角形；3分 (2)解：：EF⊥AC,∠C=30°， .FC 2EF =2cm, .FA 2cm, 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠B=30°， .BF 2FA =4cm .BC=BF+FC=6cm.6分 18. 【详解】(1)解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5, BC=√AB2-AC2=V132-52=12;2分 (2)解：过点E作EF⊥AB于点F,如图所示： E 由作图可得AD是∠CAB的角平分线， ∠C=90°，EF⊥AB, :EC=EF, ∴.在Rt△AEC和Rt△AEF中， 「EC=EF AE=AE' .RtAAEC≌RtAAEF(HL), .AF AC=5, .BF AB-AF =8, 设CE=EF=x,则BE=12-x, 在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2, (12-x)2=x2+82, 标好号 ·EF=10 5m号48xF-139 3=3·6分 19. 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，CD⊥AB, 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠CEF+∠CBE=90°，∠BFD+∠FBD=90°， :BE平分∠ABC, ∠DBF=∠CBF, .∠CEF=∠BFD, :∠CFE=∠BFD, ∴∠CEF=∠CFE, .CE=CF, △CEF是等腰三角形；3分 (2):∠CFB=115°， ∴∠BFD=180°-1150=65°， .∠FBD=90°-65°=25°， :BE平分∠ABC, .∠CBA=2∠FBD=50°， .∠A=90°-50°=40°..6分 20. 【详解】(1)证明：：DE⊥AB,DF⊥AC, ∠E=∠DFC=90°， 在RtaBED和RtACFD中， BD=CD BE =CF' .Rt△BED≌RtACFD(HL), .DE=DF;3分 (2)解：在RtaBED和RtACFD中， (DE=DF AD AD' ·.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), :ADE≌ADF,Rt△BED≌Rt△CFD, :AE=AF,CF=BE=4, AC=20, .AE=AF=20-4=16, 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=AE-BE=16-4=12.6分 21. 【详解】(1)证明：依题意得：BQ=AP, :△ABC是等边三角形， .AB=CA,∠B=∠CAP=60°， 在△ABQ和aCAP中， AB=CA ∠B=∠CAP, BO=AP △ABQ≌△CAP(SAS);4分 (2)解：设点P,Q运动的时间为t秒， .BO=AP tcm, :aABC为等边三角形，且边长为4cm, ∠B=60°，AB=4cm, :BP AB-AP =(4-t cm 当△PBQ是直角三角形时，有以下两种情况， ①当LPQB=90°时，如图1所示： →Q 图1 在Rt△PBQ中，∠BPQ=90°-∠B=30°， ÷B0=BP, 22 1=54-, 2 解得：t=3 当点P,9运动秒时，∠PQ8=90°，此时△PBO是直角三角形 ②当∠QPB=90°时，如图2所示： 4/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 M B 图2 在Rt△PBQ中，∠BQP=90°-∠B=30°， :.BP=1BQ, 2 1 4-1=21, 解得：=3' 8 即当点P,Q运动8秒时，∠QPB=90°，此时△PB0是直角三角形， 3 综上所达：当点R,Q运动秒或秒时，AP80是直角三角形. 故答案为： 我38分 22. 【详解】解：(1)①等腰直角三角形是勾股高三角形. 设等腰直角三角形的直角边长为a, 则斜边长为Va2+a2=√2a, :(N2a)2-a2=a2, :等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ·等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是；2分 ②：ABC为勾股高三角形，点C为勾股顶点，AC>BC, .AC2-BC2 CD2. AC2-AD2 CD2,BC2-BD2=CD2, .AD=BC, .CD2=AD2-BD2=36-4=32.4分 (2)如图，过点A作AG⊥ED,垂足为点G. 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A G 等腰三角形ABC为勾股高三角形， 且AB=AC>BC, .只能是AC2-BC2=CD2,由(1)②知AD=BC. 又：ED∥BC, ∠ADE=∠B,∠AED=LACB, 而LAGD=∠CDB=90°， △AGD兰△CDB(AAS), :DG=BD. AB=AC, :ZB ZACB ∴.∠ADE=∠AED, .AD=AE, ∴ADE为等腰三角形， 根据三线合一原理可知DE=2DG=2BD. 又：AB=AC,AD=AE, :BD=CE =5, .DE=25.8分 23. 【详解】(1)解：若∠ABC=50°，∠ACB=70°， :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∠ABC=50°，∠ACB=70°， ∠Pac=∠ABc=259∠PcB=54CB=35, 2 :∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=120°. 若LBAC=70°， :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， 6/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 a∠Psc-Aac,∠PCB-/ACB.. i∠BrC=180-∠P8C-∠ncB=180-2l80-∠B4C=90+∠B4C 1 ∠BAC=70°， ∠BPc=0+号B4C=0+0=125. 故答案为：120°；125°；2分 (2)解：∠BPC=90°+∠A,理由如下： :BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， 2Pc-i8c,∠c84cB, .LBPC=180°-∠PBC-∠PCB =180°-（∠PBC+∠PCB =10n-24Bc+24ce 180r-180-c4 =90°+∠A,5分 2 (3)解：∠A+∠D=2LBPC. 如图，延长BA,CD,交于点E,由(2)知，∠BPC=90+∠E, :∠BAD=∠E+∠ADE,∠CDA=∠E+∠DAE, ∴.∠BAD+∠CDA=LE+LE+∠ADE+∠DAE=180°+∠E, ∴∠E=∠BAD+∠CDA-180°， 1 :∠BPC=90°+三∠E 2 =90°+（∠BAD+∠CDA-180) =90°+∠BAD+∠CDA-90: 7/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =<BD+∠CD4. 即∠BAD+∠CDA=2LBPC..8分 24. 【详解】(1)解：：∠A=40°，∠B=60°， ·∠ACB=180°-∠A-∠B=80°， :CP平分∠ACB, :∠BCP=∠ACP=∠ACB=40, 2 :DE∥BC, :∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=40°， :DP平分∠ADE, :∠PDG=∠ADE=30, :∠DPC=180°-∠PDG-∠PGD=110°， :∠QPC=180°-110°=70°， :CP平分∠ACB,C2平分LACF, ∠acp-aC,4c04Cr, 2 :∠ACB+∠ACF=180°， :∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°， :∠Q=90°-∠QPC=20°. 答：110,20.4分 (2)证明：设∠A=a,则∠ACB+∠B=180°-a, :DE∥BC, ∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB, :DP平分∠ADE,CP平分∠ACB, ∠PDE-iDE-B,∠PC8-号4c8-=∠PoD, :∠DPC=180°-∠PDE+∠PGD =180-<B+∠4cB) =180-18w-ul 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 =90+20, ∠QPC=180°- w+0w. :∠ACB+∠ACF=180°， ∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°， 0=0-0r=90-0-00, :∠0=∠A.8分 21 (3)解：设∠A=a,则∠QPC=90°-a,∠0=a. 2 :∠PCQ=90° “可分类讨论： ①当∠PCQ=3∠CPQ时， 解得a=120°， :∠A=120°； ②当∠PCQ=3∠Q时， 11 20=3×90, 3 解得a=60°， ·∠A=60 ③当∠CPQ=3∠Q时， :90°-1a=3x5a, 1 2 2 解得a=45°， ∠A=45°； ④当∠Q=3∠CPQ时， 3x(90°- 1 2)=3a, 2 解得a=135°， :∠A=135° 综上可知∠A=45°或60°或120°或135°. 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答：∠4的度数为45°或60°或120°或135°.12分 23. 【详解】解：问题情境：：OP平分∠MON, :ZAOC ZBOC, :AC⊥0P, .∠AC0=∠BC0, 在△AOC和△BOC中， ∠AOC=∠BOC 0C=0C, ∠ACO=∠BCO aAOC≌△B0CASA, .AO=BO,AC=BC, 故答案为：ASA;2分 类比解答：如图，延长AE交BC于点F, B 由问题情境可知，AC=FC, LEFC=∠EAC=63°， ,∠EFC=∠B+∠DAE, :∠DAE=∠EFC-∠B =63°-370 =26°， 故答案为：26°；5分 拓展延棉：BECD,证明如下： 如图，延长BE、CA交于点F, 10/11………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 5．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 7．某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 10．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 12．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 ． 13．如图，已知，，，则的度数为 ． 14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 15．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 16．如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图所示，已知中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试判断是什么三角形？并说明理由； (2)若，求的长． 18．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E． (1)求的长； (2)求的面积． 19．如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 20．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 21．如图，在边长为的等边中，点P，Q分别是边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，在点P，Q运动的过程中． (1)求证：． (2)连接，当点P，Q运动______秒时，是直角三角形． 22．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 23．综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 24．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 25．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质． 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，判断角为顶角，进而计算底角． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为， 又∵角若为底角，则两底角之和为，不符合题意， ∴角为顶角， ∴两底角之和为， ∴每个底角为． 故选A． 2．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答． 先作于点E，然后根据角平分线的性质，即可得到点D到的距离． 【详解】解：作于点E，如图所示， ， 是的角平分线， ，，， ， 即点D到的距离6， 故选：C． 4．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角的关系和边的关系，选项A、B、C均能判定三角形为直角三角形，而选项D不满足勾股定理，不能判定， 【详解】解：A项：设，，，则，解得， ∴，故是直角三角形； B项：由，得， ∴a为斜边，边长为a的边所对的角为，故是直角三角形； C项：∵，且， ∴，，故是直角三角形； D项：设，，， ∵在三边中c边最长，若为直角三角形，则c为斜边， ∴，，， ∴不满足勾股定理，故不是直角三角形， ∴不能判定是直角三角形的是D， 故选：D． 5．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，由垂直平分线性质可得，，所以，，通过三角形内角和定理可得，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，利用直角三角形斜边上的中线性质来求解B和D之间的距离即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点，， ∴． 故选：D． 7．某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，外角的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，所以当增加时，和各增加，当增加时，减小，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当增加时，， 即和各增加， ∵， ∴当增加时，减小． 故选：D ． 8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 先利用角平分线得到相关角的度数，再结合三角形外角性质求出． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分的外角，， ∴, ∵是的外角, ∴, ∴． 故选：． 9．如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、垂直平分线的判定及轴对称图形的概念，解题关键是利用等腰三角形的性质推导各角的度数和线段关系． 先由得；再由平分得，推导各角、线段关系，结合垂直平分线判定、轴对称图形定义分析选项即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， 故A选项正确； ， ， 点在的垂直平分线上， 故C选项正确； ， 是等腰三角形， 是轴对称图形， 故D选项正确； 在中 ， 又， ， 故B选项不正确． 故选B． 10．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 首先判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；同理，得到是等边三角形，即可得到②正确，又由，可得④正确． 【详解】解：∵和是等边三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故②正确； 在和中， ， ， ，故③不正确； ， ， ， ， ， 故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换后即可得逆命题． 【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余， 交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 12．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 ． 【答案】 【分析】作交于点，结合角平分线的判定定理得平分，结合平行线性质推得，即可根据等角对等边得解． 【详解】解：作交于点， 依题得：，，， 点在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线的判定定理、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理． 13．如图，已知，，，则的度数为 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于点，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，，设中边上的高为h，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，，设中边上的高为h， ∵面积为，， ∴， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， 的最小值为， 故答案为：． 16．如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是关键，注意分类讨论；分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质、三角形内角和、平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，当时，此时点E在边上时， ∴； 当时，此时 点E与点C重合时， ∴， 当重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图所示，已知中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试判断是什么三角形？并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，即可得出结论； （2）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，三角形全等的判定及性质，勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）过点E作于点F，由作图可得是的角平分线，根据角平分线的性质得到，从而证得，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：过点E作于点F，如图所示： 由作图可得是的角平分线， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 19．如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，，确定，再由各角之间的等量代换及等角对等边判断即可． （2）根据邻补角得出，确定，得出，即可求解． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．如图，在边长为的等边中，点P，Q分别是边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，在点P，Q运动的过程中． (1)求证：． (2)连接，当点P，Q运动______秒时，是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)秒或秒 【分析】（1）依题意得：，根据等边三角形性质得，，由此可依据“”判定和全等； （2）设点P，Q运动的时间为t秒，则，，再分两种情况讨论如下：①当时，在中，根据得，即，即可；②当时，在中，根据得，即，即可． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：依题意得：， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：设点P，Q运动的时间为t秒， ， 为等边三角形，且边长为， ，， ， 当是直角三角形时，有以下两种情况， ①当时，如图1所示： 在中，， ， ， 解得：， 即当点P，Q运动秒时，，此时是直角三角形； ②当时，如图2所示： 在中，， ， ， 解得：， 即当点P，Q运动秒时，，此时是直角三角形， 综上所述：当点P，Q运动秒或秒时，是直角三角形． 故答案为：或 22．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1）①是；②32；（2） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据勾股高三角形的定义即可判断； ②根据勾股定理得到，再由可得最后由，计算即可得到答案； （2）过点作于，证明为等腰三角形，，即可解决问题． 【详解】解：（1）①等腰直角三角形是勾股高三角形． 设等腰直角三角形的直角边长为， 则斜边长为， ， 等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， 等腰直角三角形是勾股高三角形， 故答案为：是； ②∵为勾股高三角形，点为勾股顶点，， （2）如图，过点作，垂足为点． ∵等腰三角形为勾股高三角形， 且， ∴只能是，由（1）②知． 又 ，， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 根据三线合一原理可知． 又， 23．综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 24．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 25．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________． 【答案】问题情境：；类比解答：；拓展延伸：，证明见解析；实际应用：10 【分析】问题情境：证，得，即可； 类比解答：延长交于点，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； 拓展延伸：延长、交于点，证，得，再由问题情境可知，，即可得出结论； 实际应用：延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】解：问题情境：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 类比解答：如图，延长交于点， 由问题情境可知，， ， ， ， 故答案为：； 拓展延伸：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由问题情境可知，， ； 实际应用：如图，延长交于， 由问题情境可知，，， ， ， ∴ ， ∴， 答：的面积是10． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第一章 三角形的证明及其应用·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，D是上一点，且，若，则点D到的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．下列不能判定是直角三角形的是（    ） A． B．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 C． D．如果的三边长分别为a，b，c，且满足 5．如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，公路和互相垂直，点B和的中点D被一个湖泊隔开，若公路的长为10千米，则B，D两点之间的距离为（   ） A．20千米 B．15千米 C．10千米 D．5千米 7．某平板电脑支架如图所示，，．为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，的平分线交于点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．点一定在的垂直平分线上 D．是轴对称图形 10．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 12．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点和在这把直尺上的刻度数分别是和，则的长为 ． 13．如图，已知，，，则的度数为 ． 14．“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为 度 ． 15．如图，在中，，的面积为21，的垂直平分线分别交、于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，连接，，则．的最小值为 ． 16．如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图所示，已知中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试判断是什么三角形？并说明理由； (2)若，求的长． 18．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E． (1)求的长； (2)求的面积． 19．如图，在中，，于，平分，交于点F，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 20．如图，于点，于点，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 21．如图，在边长为的等边中，点P，Q分别是边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接交于点M，在点P，Q运动的过程中． (1)求证：． (2)连接，当点P，Q运动______秒时，是直角三角形． 22．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）①等腰直角三角形____________（填“是”或“不是”）勾股高三角形； ②如图1，已知为勾股高三角形，其中点为勾股顶点，是边上的高．若，试求的值； 【推广应用】 （2）如图2，等腰三角形为勾股高三角形，其中为边上的高，过点作交边于点．若，试求线段的长度． 23．综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 24．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 25．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作： ①用量角器取的角平分线； ②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $