专题11.1 整式的乘法（2）（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦整式乘法核心知识点，系统梳理单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三类运算，明确运算依据（乘法交换律、结合律、分配律、同底数幂性质），通过转化思想构建从单项式乘单项式到多项式乘多项式的递进学习支架。 资料设计突出易错提醒与分层题型，含典例、变式及几何面积、实际应用问题，如超级计算机运算次数计算，培养抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

专题11.1 整式的乘法（2） 教学目标 1. 理解整式乘法的运算法则，分清三类乘法的运算依据（乘法交换律、结合律、分配律、同底数幂运算性质）。 2. 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算步骤，能规范书写过程。 3. 能利用整式乘法化简求值、解决几何面积、实际应用问题。 教学重难点 1.重点 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算法则及计算步骤。 2.难点 运算的顺序、符号的判断以及运算的应用。 知识点01 单项式乘以单项式 1. 单项式与单项式相乘法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。 2. 单项式与单项式相乘的依据 单项式与单项式相乘实质是乘法交换律、结合律和幂的运算性质的综合。 【易错提醒】 ①注意系数的符号； ②不要漏乘只有一个单项式中含有的字母。 【即学即练】 1. 计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，需分别计算系数和同底数幂的乘法． 根据单项式乘单项式及同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 知识点02 单项式乘以多项式 1. 单项式乘以多项式法则 p(a+b+c)=pa+pb+pc 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 单项式与多项式相乘的依据 单项式与多项式相乘实质是利用乘法分配律将其转化为单项式乘以单项式。 【易错提醒】 ①如果单项式是符号，利用乘法分配律计算时注意变号问题； ②单项式与多项式相乘不要漏乘常数项。 【即学即练】 1. 计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解：原式              ． 知识点03 多项式乘以多项式 1. 多项式乘以多项式法则 项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 2. 多项式与多项式相乘的依据 多项式与多项式相乘实质是利用化归思想，将多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式 【易错提醒】 ①多项式与多项式相乘时利用乘法分配律要注意不要重复、不要遗漏； ②多项式与多项式相乘结果中有同类项的要合并同类项。 【即学即练】 1. 若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的法则可得：，因为，所以，通过比较两边多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解： ， ， ， 可得： 、， 解得： 故答案为：． 题型01 单项式乘以单项式 【典例1】计算： (1) (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以单项式、积的乘方与幂的乘方，再计算整式的减法即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【典例2】计算： (1)． (2)． 【分析】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式与单项式相乘的法则进行计算； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）． 【变式1】在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 【答案】乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则和乘法运算律，正确掌握相关运算法则和运算律是解题关键．直接利用单项式乘单项式运算法则和乘法运算律得出答案． 【详解】解：……………………（乘法交换律和结合律） ……………………（乘法结合律） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘． 故答案为：乘法交换律和结合律；乘法结合律；系数；相同字母的幂． 【变式2】下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确， (2)不正确， (3)不正确， (4)不正确， 【分析】本题考查单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （2）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （3）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （4）根据单项式乘单项式法则计算即可判断． 【详解】（1）解：不正确，正确结果为：； （2）解：不正确，正确结果为：； （3）解：不正确，正确结果为：； （4）解：不正确，正确结果为：． 【变式3】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，正确运用计算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 【变式4】2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以次的峰值计算能力和次的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单第一名．该超级计算机按持续计算能力运算可做多少次运算？ 【答案】次 【分析】根据总运算次数等于每秒运算次数乘以运算时间列式，利用同底数幂的乘法法则计算，最后整理为科学记数法的标准形式即可得到结果． 【详解】解由题意得，持续计算能力为次，运算时间为， 总运算次数为： （次）， 答：该超级计算机按持续计算能力运算可做次运算． 题型02 单项式乘以单项式的逆用 【典例1】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 【变式1】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【变式2】若，，则____________． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 【变式3】已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义： （1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出，再由同类项的定义得到，解之即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【变式4】小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 题型03 单项式乘以多项式 【典例1】 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式， 当时，原式． 【典例2】若的展开式中不含项，则______． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项化简，最后将代入化简后的式子计算出结果即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式3】若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式乘多项式的计算，用到单项式乘多项式法则，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型04 单项式乘以多项式的应用 【典例1】已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 【变式1】为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【答案】(1) (2)保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由见解析 【分析】本题考查整式的应用，正确进行列代数式和代入求值是解答本题的关键． （1）分别求出、，根据长方形面积计算公式求解即可； （2）代入，求出长方形面积，再求出保留的面积，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又， ∴； （2）解：保留的草坪面积能超过原来草坪面积的，理由如下： 当时， ， 原正方形面积为， 保留的草坪面积为， ∵， ∴， 因此，保留的草坪面积能超过原来草坪面积的． 【变式2】如图，将一块长、宽的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含的整式表示盒子外表面的面积（结果化为最简）； (2)若，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米的喷漆价格为元，则喷漆一共需要多少元？ 【答案】(1) (2)喷漆一共需要元 【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果； （2）把a与b的值代入计算，再根据每平方分米喷漆价格为元，求出喷漆的费用即可． 【详解】（1）解：由题意，得 所以盒子外表面的面积为． （2）解：当时， 盒子外表面的面积 所以（元）， 答：喷漆一共需要元． 【变式3】观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第个“星阵”中的★的个数是________（用含的代数式表示，并化成最简结果）． 【答案】 【分析】由图可知，发现前几个“星阵”中★的个数的规律，即可得出第个“星阵”中★的个数． 【详解】解：第①个“星阵”中★的个数为：， 第②个“星阵”中★的个数为：， 第③个“星阵”中★的个数为：， 第④个“星阵”中★的个数为：， … ∴第个“星阵”中★的个数为：． 【变式4】如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为． （1）当时，______； （2）当的长变化时，与的差始终不变，则a与b满足的数量关系为______． 【答案】 【分析】（1）根据题意分别表示出和即可得到答案； （2）根据题意分别表示出和，进而求出的结果，根据当的长变化时，与的差始终不变求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，与的差始终不变， ∴， ∴． 题型05 多项式乘以多项式 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典例2】已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【详解】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式2】下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 对每个选项运用多项式乘法法则展开计算，对比左右两边是否相等，从而找出结果错误的选项． 【详解】解：A、与右边相等，正确，不符合题意； B、与右边相等，正确，不符合题意； C、而选项右边是，错误，符合题意； D、与右边相等，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3】已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 展开左边多项式，与右边比较各项系数，进而求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 【变式4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式以及整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则并按步骤进行计算； （1）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可； （2）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项即可； （3）先分别根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再将展开式相减，合并同类项； （4）先分别根据多项式乘多项式法则展开，再将展开式相加，合并同类项； （5）先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． （5）解： ． 题型06 (x+p)(x+q)型计算 【典例1】计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【答案】；；；； （1）； （2）①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，对计算结果分析找出规律，再利用规律简便计算． 利用单项式与多项式相乘计算各个式子后，发现展开式的一次项系数是原来每个因式的第二项的和，常数项是它们的积．即．然后再计算所给的式子的结果． 【详解】解：； ； ； ． （1）． （2）①； ②． 【变式1】【类比思想】观察计算猜想归纳： (1)填空： ①_____ ②_____ ③_____ ④_____． (2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_____ 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____． (3)根据规律直接写出结果： _____ _____． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)，二，三，1，二项式中常数项的和，二项式中常数项的积 (3)； 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算； （2）根据所求式子的结果进行归纳总结； （3）利用所得规律直接计算． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； （2）归纳总结：式子表示：， 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是二次三项式，其中积的二次项的系数为1，一次项的系数为二项式中常数项的和，常数项为二项式中常数项的积． （3）； ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式运算，解题的关键是理解型的多项式乘法运算． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；括号内依次填． 【分析】利用多项式乘多项式直接去括号，再合并同类项即可．根据前4个式子的结果可以得出规律，即可得出答案． 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 由上面的规律可知． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 题型07 多项式乘以多项式的应用 【典例1】某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)修复完毕的塑胶场地需要费用66000元 【分析】本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． 【详解】（1）解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； （2）解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 【典例2】对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可； （2）根据题意列出方程组，再解方程组即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式1】某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米； (2)29000元 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积即为绿化面积列代数式即可； （2）将代入（1）中代数式求得绿化面积，再乘以每平方米成本即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积 平方米； （2）解：当时， （平方米）， ∴（元）， ∴完成绿化共需要29000元． 【变式2】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【答案】(1) (2)32 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得； 故答案：； （2）解：，， ， 解得：． 【变式3】（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）可以得到一个恒等式：______． （2）由（1）的结果进行应用：若对a的任何值都成立，求的值． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查的是多项式乘多项式与图形面积，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键． （1）先求得阴影部分矩形的长与宽可直接求得阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积正方形的面积个边长分别为a、x的矩形个边长分别为b、x的矩形个边长分别为a、b的矩形，从而得到恒等式； （2）依据（1）的结果可知，然后根据两个多项式的对应项相同求解即可； （3）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积可以表示为：， 也可以表示为：， ∴． （2）由（1）可知：， 又∵， ∴，． 解得：，， ∴； （3）∵原几何体的体积， 新几何体的体积， ∴． 【变式4】阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）按照题干的规律进行计算即可； （2）按照题干的规律进行探究并计算即可； （3）先表示出两个两位数，和，相乘后利用多项式的乘法法则进行展开，再合并同类项，结合进行化简，最后变形成题干的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，探究： ， 用“”替代“”，得， ， ∴； 探究： ， 用“”替代“”，得， ， ； （3）解：根据题意，两个两位数为和， ， ∵， ∴． 题型08 整式乘法的混合计算 【典例1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】根据整式乘法的混合运算法则进行化简，然后将与的值代入即可求出答案． 【详解】解：原式 当，时， 原式 【点睛】本题考查整式的乘法混合运算，解题的关键是熟练运用整式乘法的混合运算法则，本题属于基础题型． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方公式计算即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方公式计算即可； （3）先算积的乘方，再进行乘法运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）直接利用单项式乘多项式法则进行计算； （2）先利用多项式乘多项式、幂的运算、单项式乘单项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （3）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （4）先利用多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4】先化简，再求值： （1），其中． （2），其中， ． 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是关键． 去括号，合并同类项进行化简，非负性求出，的值，再代入化简后的结果中计算即可． 【详解】（1）解：， ，，解得，． 原式 ． 当，时， 原式． （2）解： ， 当，时，原式． 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘多项式的运算，运用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项，再计算结果即可，注意符号运算． 【详解】解： 3．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式乘多项式，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法的法则． 将代数式展开后，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解： 已知 ，，代入得： ， 故选：B． 4．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法运算：展开左边多项式，比较系数得出a和b的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴比较系数，得． 故选：B． 5．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 6．______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．应用乘法分配律将乘法运算展开，即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 【答案】42 【分析】利用多项式乘以多项式进行展开，然后问题可求解． 【详解】解： = =； ∵展开式中不含有和的项， ∴， 解得：， ∴． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的乘法运算，掌握整式的乘法运算的运算顺序非常关键． （1）先运用积的乘方运算，然后利用单项式乘以单项式的法则计算解题； （2）运用单项式乘以单项式的运算法则解题即可； （3）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； （4）运用多项式乘以多项式的法则解题即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）0 （2） 【分析】本题考查了整式的混合运算（含幂的运算、多项式乘法），解题的关键是熟练掌握幂的运算法则与多项式的乘法法则，再合并同类项． （1）先算同底数幂的乘法与幂的乘方，再合并同类项； （2）先展开多项式乘多项式与单项式乘多项式，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘以多项式，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （）根据多项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．先化简，再求值，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式、单项式乘以多项式等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算多项式乘多项式、完全平方公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将，的值代入计算即可得． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 12．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年11月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【答案】(1)例子见解析，符合规律 (2)见解析 【分析】本题考查整式的运算，有理数的计算，掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）先按要求选取方框，计算交叉相乘再相减的结果，验证规律； （2）设方框左上角的数字为n，根据日历数的排列规律表示出其他三个数，再计算交叉相乘再相减的结果，证明其恒为7． 【详解】（1）解：框住了两块，一块有数字，另一块有数字， ， ， 结果是7，符合规律； （2）证明：设左上角的数字为n，则其后面的数为，下面左下角的数为，右下角的数为 ； 1．一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方体体积公式及单项式乘多项式的运算，关键是熟练应用公式列代数式；需先根据体积公式列出算式，再按运算法则计算求解． 【详解】解：由题意得   故选：C． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则与整式的乘法运算，需根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式的法则逐一验证选项． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意． 故选：B． 3．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 4．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 5．已知，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，幂的乘方、积的乘方逆运算，代数式求值． 将原式展开后，再根据幂的乘方、积的乘方逆运算变形，然后将进行代入计算． 【详解】解： 由已知，得， ， 代入上式： 故答案为：． 6．若，则代数式的值为___________． 【答案】4 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 将代数式，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解： ； ， ． 把代入，得 ． 所以，代数式的值为4． 故答案为：4． 7．若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键，展开多项式，合并同类项，得到项的系数表达式，令其等于，解方程求． 【详解】解：展开 ． ∵项的系数为 ， ∴， 解得． 故答案为 3． 8．计算： （1） （2） (3)； (4)． 【答案】（1）；（2）(3)(4) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】（1）； （2） ． （3）解： ． （4）解： ． 9．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 10．在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可以得到，，然后整理化简，即可求得m、n的值； （2）先将所求式子化简，然后将m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴，， ∴，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 11．现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 (3) (4)24 【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式在几何中的应用，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式在几何图形中的应用： （1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含x的一次项，即可含x的一次项的系数为0进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； （4）根据所给图形可得，根据推出，再根据新定义，进而一步步利用整体代入法降次求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ， ∵代数式中不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：， ， ， ， ， ∵， ∴原式； （4）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ， ， ， ， ， ． 12．定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了平衡数与平衡因子概念，整式的混合运算，解题的关键在于正确理解平衡数与平衡因子概念． （1）根据建立等式求解，即可解题； （2）利用整式的混合运算法则，结合，整理得到，再根据，且为常数，推出一次项系数为零，即可解题； （3）根据题意列式，再进行整理得到，进而即可计算出的值． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解： ， ， 上式， ，且为常数， ， 整理得； （3）解：由题知， ， ， ， ， 则， 则． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 整式的乘法（2） 教学目标 1. 理解整式乘法的运算法则，分清三类乘法的运算依据（乘法交换律、结合律、分配律、同底数幂运算性质）。 2. 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算步骤，能规范书写过程。 3. 能利用整式乘法化简求值、解决几何面积、实际应用问题。 教学重难点 1.重点 熟练掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的计算法则及计算步骤。 2.难点 运算的顺序、符号的判断以及运算的应用。 知识点01 单项式乘以单项式 1. 单项式与单项式相乘法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。 2. 单项式与单项式相乘的依据 单项式与单项式相乘实质是乘法交换律、结合律和幂的运算性质的综合。 【易错提醒】 ①注意系数的符号； ②不要漏乘只有一个单项式中含有的字母。 【即学即练】 1. 计算： ． 知识点02 单项式乘以多项式 1. 单项式乘以多项式法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 单项式与多项式相乘的依据 单项式与多项式相乘实质是利用乘法分配律将其转化为单项式乘以单项式。 【易错提醒】 ①如果单项式是符号，利用乘法分配律计算时注意变号问题； ②单项式与多项式相乘不要漏乘常数项。 【即学即练】 1. 计算： 知识点03 多项式乘以多项式 1. 多项式乘以多项式法则 项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 2. 多项式与多项式相乘的依据 多项式与多项式相乘实质是利用化归思想，将多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式 【易错提醒】 ①多项式与多项式相乘时利用乘法分配律要注意不要重复、不要遗漏； ②多项式与多项式相乘结果中有同类项的要合并同类项。 【即学即练】 1. 若，则 ． 题型01 单项式乘以单项式 【典例1】计算： (1) (2) 【典例2】计算： (1)． (2)． 【变式1】在括号中填入每个步骤相应的数学依据： ……………………（_________） ……………………（_________） 并由此归纳：单项式与单项式相乘，把它们的_________、_________分别相乘． 【变式2】下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式4】2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以次的峰值计算能力和次的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单第一名．该超级计算机按持续计算能力运算可做多少次运算？ 题型02 单项式乘以单项式的逆用 【典例1】．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】若，，则____________． 【变式3】已知与的积与是同类项． (1)求的值， (2)先化简，再求值：． 【变式4】小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 题型03 单项式乘以多项式 【典例1】 先化简，再求值：，其中． 【典例2】若的展开式中不含项，则______． 【变式1】计算： 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【变式3】若的乘积中不含项，则a的值为____． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 单项式乘以多项式的应用 【典例1】已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【变式1】为美化校园，某校计划在现有的一块边长为的正方形草坪中挖出一块长方形空地设计喷泉造景，点，在上，且满足，，． (1)求长方形空地的面积；（用含，的式子表示） (2)若，请判断造景后保留的草坪面积能否超过原来草坪面积的，请说明理由． 【变式2】如图，将一块长、宽的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的盒子． (1)用含的整式表示盒子外表面的面积（结果化为最简）； (2)若，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米的喷漆价格为元，则喷漆一共需要多少元？ 【变式3】观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，第个“星阵”中的★的个数是________（用含的代数式表示，并化成最简结果）． 【变式4】如图，将6张长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在大长方形中，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形，记右上角长方形的面积为，左下角长方形的面积为． （1）当时，______； （2）当的长变化时，与的差始终不变，则a与b满足的数量关系为______． 题型05 多项式乘以多项式 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例2】已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】下列各式中，结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式4】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型06 (x+p)(x+q)型计算 【典例1】计算下列各式，然后回答问题． ； ； ； ． （1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果． ． （2）运用上述结果，写出下列各题结果． ① ； ② ． 【变式1】【类比思想】观察计算猜想归纳： (1)填空： ①_____ ②_____ ③_____ ④_____． (2)把你所发现的规律用式子表示出来，并用语言进行归纳总结：式子表示：_____ 语言归纳：含相同字母，且字母系数为的两个一次二项式的积是_____次_____项式，其中积的二次项的系数为_____，一次项的系数为_____，常数项为_____． (3)根据规律直接写出结果： _____ _____． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型07 多项式乘以多项式的应用 【典例1】某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． (1)请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） (2)如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 【典例2】对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定．如，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简； (2)若x，y同时满足，，求x，y的值． 【变式1】某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【变式2】“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． (1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【变式3】（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）可以得到一个恒等式：______． （2）由（1）的结果进行应用：若对a的任何值都成立，求的值． （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式． 【变式4】阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 题型08 整式乘法的混合计算 【典例1】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】先化简，再求值： （1），其中． （2），其中， ． 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 4．若多项式，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．，求的值_______． 6．______． 7．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（1）计算； （2）计算． 10．计算： (1)； (2)． 11．先化简，再求值，其中，． 12．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年11月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 1．一个长方体的长、宽、高分别是，和，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 4．已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 5．已知，则___________． 6．若，则代数式的值为___________． 7．若的计算结果中项的系数为，则的值为________． 8．计算： （1） （2） (3)； (4)． 9．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 10．在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 11．现定义了一种新运算“，对于任意有理数a，b，c，d，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含x的一次项时，求n的值； (3)求的值，其中； (4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为．当，求的值． 12．定义：对于依次排列的多项式（是常数），当它们满足：，且为常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．例如：对于多项式，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． (1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子； (2)若是一组平衡数，且，请直接写出与的数量关系： (3)若是一组平衡数（n是常数）且平衡因子为14，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $