2.1.2 有理数的减法（第2课时，教学课件）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数的加减混合运算，通过无人机高度变化的情境导入，结合有理数加法法则、减法法则的知识回顾，搭建从单一运算到混合运算的学习支架，帮助学生理解减法转加法及代数和的意义。 其亮点在于以情境问题驱动数学眼光，通过无人机高度计算等实例培养抽象能力，借助数轴两点距离公式推导发展推理意识，采用“转化—简化—运算”三步法强化运算能力。学生能提升问题解决能力，教师可依托系统例题与分层练习优化教学效率。

有理数的加法与减 2.1.2　有理数的减法 第 1 节 第2章 第2课时 有理数的加减混合运算 有理数的运算 人教版 七年级上册 教学目标 学 习 目 标 1 3 理解加减法统一成加法的意义,能熟练地进行有理数加减法的混合运算通过加减法的相互转化,培养应变能力、计算能力. 理解有理数减法运算可以表示数轴上两点之间距离,体会数形结合思想的应用. 经历加减法之间的相互转化,培养学生的应变能力、口头表达能力及计算能力. 2 把加减混合运算理解为加法运算. 重点 能把加、减法正确地统一成加法运算,并用加法运算律合理地进行运算. 难点 重 难 点 知识回顾 完成有理数的加法法则填空 定类型 定符号 绝对值 同号 异号 (绝对值不相等) 异号 (互为相反数) 与0相加 结果是0 仍是这个数 相同符号 取绝对值较大的加数的符号 相加 相减 (大的绝对值减去小的绝对值) 加法交换律： 加法结合律： a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 加法运算律 1.互为相反数的数相结合； 2.能凑整的数相结合； 3.同分母的数相结合． 简便运算 有 理 数 的 减 法 2.实质：将减法运算转化为加法运算. 3.方法： ①根据有理数的减法法则将减法运算变为加法运算； ②根据有理数的加法法则和运算律计算出结果 1.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. a －b = a +（－b） 4.注意：“两变一不变”， “两变”即减号变成加号，减数变其相反数； “一不变”是指被减数不变. 知识回顾 知识回顾 练一练 (1) (－2) ＋ (＋7). 1.说一说每个式子里的“+”、“－”的含义，并计算 (2) (+2) － (－7). “+”是运算符号加号 “－”是运算符号减号 “+”“－”是正负数的性质符号 解：(1) (－2) ＋ (＋7) = ＋ （7－2） = ＋5 (+2) － (－7) =(+2) ＋ (＋7) =＋9 减法转化为加法计算 2.计算：(－2) － (＋7)＋（－3）－（－2） 知识回顾 练一练 小学加减法混合运算的顺序: 从左到右依次计算，‌如果有括号则先计算括号里的内容.‌ 有理数加减法混合运算我从左到右按序计算 解：(－2) － (＋7)＋（－3）－（－2） =(－2) ＋ (－7)＋（－3）－（－2） =(－9) ＋（－3）－（－2） =(－12) －（－2） =(－12) ＋（＋2） =－10 有理数加减法混合运算有没有更简便的方法呢？ 创设情境 一架无人飞机起飞后的高度变化如下表: 高度变化 记作 上升4.5千米 +4.5千米 下降3.2千米 －3.2千米 上升1.1千米 +1.1千米 下降1.4千米 －1.4千米 此时无人机比起飞点高了多少千米?如何计算呢? 解法1: 4.5+(－3.2)+1.1+(－1.4) =1.3+1.1+(－1.4) =1(千米) 解法2: 4.5－3.2+1.1－1.4 =1.3+1.1－1.4 =1(千米) 按有理数加法意义列式计算 按实际升降的高度计算 思 考 （1）两种算式有什么不同点和相同点？ （2）有理数的加减混合运算可以如何进行？ 新知讲授 探究点1 有理数的加减混合运算 这个算式中既有 ，也有 ，可以先根据有理数 法则，把减法转化为 . =(－20)+(+3)+(+5)+(－7) 解：(－20)+(+3)－(－5)－(+7). 结论：引入相反数，加减混合运算可以统一为加法运算. 字母表示: a+b－c=a+b+　　　　.  (－c) 思 考 如何计算 (－20)+(+3)－(－5)－(+7). 分析： 加法 加法 减法 减法 解答过程： =[(20)+(7)]+[(+3)+(+5)] =(－27)＋8 =－19 减法转化为加法 加法交换律 加法结合律 加减混合运算的常用方法 方法一、按照运算顺序，从左到右逐一加以计算； 方法二、把加减法混合运算统一成加法，写成和式的形式后，再运用运算律进行计算。 新知讲授 探究点1 有理数的加减混合运算 归 纳 解： = 新知讲授 探究点1 有理数的加减混合运算 例 1 计算 按照运算顺序 统一为加法 新知讲授 探究点2 有理数的加减混合运算——加减统一 观察下面的计算过程，有什么发现？ 讨 论 －20+3+5－7 (－20)+(+3)－(－5)－(+7) = (－17)+(＋5)＋(－ 7） = －19 = (－12)＋(－ 7） = －19 = －12－ 7 计算结果相同 算式结构变简单 = (－20)+(+3)+(＋5)＋(－ 7） =－20 + 3 + 5－7 各个加数的括号和它前面的加号省略 计算更方便 新知讲授 探究点2 有理数的加减混合运算——加减统一 将减法改为加法形式： ； 原式=(－20)+(+3)+(+5)+(－7) 有理数的加减混合运算：(－20)+(+3)－(－5)－(+7) 看作是　 　　、　　 　、　　　、　　 　这四个数的和.  －20 +3 +5 －7 省略算式中的括号和加号写为简便形式： . －20+3+5－7 这个算式如何读？ 讨 论 按这个式子表示的意义： ； 按运算的意义读： ； 负20、正3、正5、负7的和 负20加3加5减7. 新知讲授 探究点2 有理数的加减混合运算——加减统一 例2. 将下列算式改为省加号的形式，读一读并计算： (－8) － (－10) + (－6) － (+4) 按和式读：负8 正10 负6 负4 的和. 按运算读：负8 加10 减6 减4. 解：(－8) － (－10) + (－6) － (+4) =(－8) + (+10)+(－6) + (－4) 读作: =－8 ＋ 10 － 6 － 4 = － 8 － 6 － 4+10 = － 18+10 数字前符号一样的是同号，可以调到一起，按同号两数相加法则进行 数字前符号不一样是异号，按异号两数相加法则进行 = － 8 新知讲授 探究点2 有理数的加减混合运算——加减统一 练一练 （1）(－40) －(+27)+19 － 24 －(－ 32) （2）(－ 9) －(－ 2)+(－ 3) － 4 把下列式子改为省略加号的式子,你能发现简化符号的规律吗? （1）原式=(－ 40)＋(－ 27)+19－24＋(＋32) （2）原式=(－ 9)＋(＋2)+(－ 3) － 4 =－ 40－ 27+19－24＋32 =－ 9＋2－ 3－ 4 规律： 同号转化正号， 异号转化负号 （1）(－40) －(+27)+19 － 24 －(－ 32) （2）(－ 9) －(－ 2)+(－ 3) － 4 简化符号的规律 同号得正 异号得负 一般形式 +(+a) = +a －(－ a) = +a +(－ a) = － a －(+a) = － a 新知讲授 探究点2 有理数的加减混合运算——加减统一 归 纳 加减法统一成加法 在有理数加减混合计算中，减法运算都可以统一成加法运算。在一个和式里，通常将加号省略，每个数的括号也可以省略。算式看成省略了加号的式子（代数和） 读作“正a、负b、正c的 和” 省略加号的算式读法 一是把符号当作性质符号来看，作和式读 二是把符号当作运算符号来读 a－b＋c 读作“a减b加c” 新知讲授 探究点2 有理数的加减混合运算——加减统一 有理数加减混合运算的步骤: 归 纳 (1)将减法转化为加法运算. (2)省略加号和括号. (3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加. (4)按有理数加法法则计算. 新知讲授 探究点3 数轴上两点间的距离 思考 在数轴上，点A，B分别表示数a，b,对于下列各组数a，b, ①a=2,b=6; ②a=0,b=6; ③a=2,b= －6; ④a= －2,b=－6. (1)观察点A,B在数轴上的位置,你能得出它们之间的距离吗? 6 5 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 －6 4 ①a=2,b=6 6 5 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 －6 6 5 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 －6 6 5 4 3 2 1 0 －1 －2 －3 －4 －5 －6 8 ②a=0,b=6 6 ③a=2,b= －6 ④a= －2,b=－6. 4 两个数 两个数的差 差的绝对值与两点之间的距离 新知讲授 思考 在数轴上，点A，B分别表示数a，b,对于下列各组数a，b, ①a=2,b=6; ②a=0,b=6; ③a=2,b= －6; ④a= －2,b=－6. 探究点3 数轴上两点间的距离 (2)利用有理数减法法则探究:分别计算每组两个数的差,对比结果的绝对值与这两点之间的距离的关系. ①a=2,b=6 ②a=0,b=6 ③a=2,b= －6 ④a= －2,b=－6. 2－6 =－4 A、B两点间距离 0－6 =－6 A、B两点间距离 2－（－6） =＋8 A、B两点间距离 －2 －（－6） =＋4 A、B两点间距离 新知讲授 思考 在数轴上，点A，B分别表示数a，b,对于下列各组数a，b, ①a=2,b=6; ②a=0,b=6; ③a=2,b= －6; ④a= －2,b=－6. 探究点3 数轴上两点间的距离 (3)你能说说对于任意的两个点A，B之间的距离与a,b的关系吗? 任意的两个点A，B之间的距离= a与b差的绝对值 当点A，B有一个点在原点,不妨设点A在原点,如图所示 O A |b|=|0－b|; B b |AB|=|OB|=|b|=|a－b|; 新知讲授 思考 在数轴上，点A，B分别表示数a，b,对于下列各组数a，b, ①a=2,b=6; ②a=0,b=6; ③a=2,b= －6; ④a= －2,b=－6. 探究点3 数轴上两点间的距离 (3)你能说说对于任意的两个点A，B之间的距离与a,b的关系吗? 任意的两个点A，B之间的距离= a与b差的绝对值 当点A,B都不在原点, ①设点A,B都在原点右侧,如图所示 O |AB|=|a－b|; B b |AB|=|OB| － |OA| =|b| － |a| =b － a =|a － b|; A a 新知讲授 思考 在数轴上，点A，B分别表示数a，b,对于下列各组数a，b, ①a=2,b=6; ②a=0,b=6; ③a=2,b= －6; ④a= －2,b=－6. 探究点3 数轴上两点间的距离 (3)你能说说对于任意的两个点A，B之间的距离与a,b的关系吗? 任意的两个点A，B之间的距离= a与b差的绝对值 当点A,B都不在原点, ②设点A,B都在原点左侧,如图所示 O |AB|=|a－b|; B b |AB|=|OA| － |OB| =|a| － |b| = － a －(－ b) =－a+b =|a － b| A a 新知讲授 思考 在数轴上，点A，B分别表示数a，b,对于下列各组数a，b, ①a=2,b=6; ②a=0,b=6; ③a=2,b= －6; ④a= －2,b=－6. 探究点3 数轴上两点间的距离 (3)你能说说对于任意的两个点A，B之间的距离与a,b的关系吗? 任意的两个点A，B之间的距离= a与b差的绝对值 当点A,B都不在原点, ③设点A,B在原点两边,如图所示 O |AB|=|a－b|; B b |AB|=|OA| ＋ |OB| =|a| ＋ |b| = － a ＋b =|a － b| A a 新知讲授 探究点3 数轴上两点间的距离 在数轴上，点 A，B 分别表示数 a，b， 则点A，B之间的距离： |AB|=|a－b|. 归纳 数轴上两点之间的距离公式 例3、计算: （1）(－2)+(+30)－(－15)－(+27). 典例精讲 解：（1） (－2)+(+30)－(－15)－(+27) =－2+30+15－27 =－2－27+30+15 =16 (2) －－+. (2)原式=+ － － =+ =3 － =. 例4、如图,数轴上两点M,N所表示的数分别为m，n，则m-n的结果可能是(　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 典例精讲 解： M表示m，N表示n，观察题中数轴可知， m＞0，n＜ 0，所以 m-n ＞0 因为M，N之间的距离大于1且小于3， 所以m-n的结果可能是2. C 新知巩固 【教材P34】 1. 计算：（1）1－4+3－0.5； （2）－2.4 + 3.5－4.6 + 3.5； 解：（1）1－4+3－0.5 = －4－0.5 + 1 + 3 = －4.5 + 4 = －0.5； （2） －2.4 + 3.5－4.6+3.5 = －2.4－4.6 + 3.5 + 3.5 = －7 + 7 = 0； （3）(－7)－(+5)+(－4)－(－10)； （4） . (－7)－(+5)+(－4)－(－10) = －7－5 － 4 + 10 = －16 + 10 = －6； 原式 = = 新知巩固 【教材P34】 2. 将下列式子先改写成省略括号和加号的形式，再计算： （1）(－52)－(+37)+(－19)－(－24)； 解：（1）原式 = －52－37－19+24 = －108 +24 = －84； （2）） （2）原式 2.列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是 (　　) A.－10+(－6)+(+3)－(－7) B.－10－6+3－7 C.－10－(－6)－3－(－7) D.－10－(－6)－(－3)－(－7) 1.若a=－2，b=3，c= － 4，则a －(b － c)的值为　　　　.  检测反馈 － 9 B 3. 已知数轴上的点,分别表示数,，其中, ， 且，若,数在数轴上用点表示，则点,, 在数轴上 的位置可能是( ) A A. B. C. D. 检测反馈 检测反馈 4.下列交换加数的位置的变形中,正确的是 (　　) A. 1－4+5－4=1－4+4－5 B. － + －－ = + －－ C.1－2+3－4=2－1+4－3 D.4.5－1.7－2.5+1=4.5－2.5+1－1.7 D 省略加号的算式移动加数要连同数前符号一起移动 拓展提升 1.如图所示的是根据幻方改编的“幻圆”游戏,将－3，2，－1，0，1，－2，3，－4分别填入图中的圆圈内,使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等.已知图中△,☉分别表示一个数,则△－☉的值为 (　　) A.－4　　　　B. 1　　　　C.－1或4　　　　D.－4或1 解：因为(－3)+2+(－1)+0+1+(－2)+3+(－4) =－4, －4=(－2)+(－2), 所以每一横、竖行以及内、外圈上的4个数之和都等于－2, 由此可确定☉=－2－[3+(－2)+(－4)]=1, 所以内圈中空白圆圈上的数为－2－[(－2)+0+1]=－1, 所以题中给出的8个数里,只有－3和2的位置不确定, 所以△=－3或△=2, 所以△、☉表示的数分别为－3、1或2、1, 所以△－☉的值为－4或1 D 2. 对有理数a，b定义运算☆如下： a☆b=(a+b)－(a －b), 求 (－3)☆4的值. 拓展提升 解：(－3)☆4 =[（ －3 ）+4]－[（ －3 ） －4], =1－（ －7 ） =1＋7 =8 真题感知 高度 变化 上升 5.5 km 下降 3.2 km 上升 1 km 下降 1.5 km 下降 0.8 km 记作 +5.5 km －3.2 km +1 km －1.5 km －0.8 km 1.(2023江苏无锡梁溪期中)某特技飞行队在某风景区进行特技表演.其中一架飞机起飞后的高度变化如下表: (1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米? (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油,平均下降1千米需消耗2升燃油,那么这架飞机在这5个特技动作表演后,一共消耗多少升燃油? (3)若某架飞机从地面起飞后先上升5 km,然后再做两个表演动作,这两个动作不确定是上升还是下降,只知道产生的高度变化分别是0.6 km和1.8 km,请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度. 解：(1)5.5－3.2+1－1.5－0.8 =5.5－1.5－3.2－0.8+1 =1(km). 答:最终这架飞机比起飞点高了1千米. (2)(5.5+1)×4+(3.2+1.5+0.8)×2 =6.5×4+5.5×2 =26+11=37(升). 答:一共消耗37升燃油. 真题感知 高度 变化 上升 5.5 km 下降 3.2 km 上升 1 km 下降 1.5 km 下降 0.8 km 记作 +5.5 km －3.2 km +1 km －1.5 km －0.8 km 1.(2023江苏无锡梁溪期中)某特技飞行队在某风景区进行特技表演.其中一架飞机起飞后的高度变化如下表: (1)最终这架飞机比起飞点高了多少千米? (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油,平均下降1千米需消耗2升燃油,那么这架飞机在这5个特技动作表演后,一共消耗多少升燃油? (3)若某架飞机从地面起飞后先上升5 km,然后再做两个表演动作,这两个动作不确定是上升还是下降,只知道产生的高度变化分别是0.6 km和1.8 km,请你求出这两个表演动作结束后飞机离地面的高度. (3) 5+0.6+1.8=7.4(km); 5+0.6－1.8=3.8(km); 5－0.6－1.8=2.6(km); 5－0.6+1.8=6.2(km). 答:飞机离地面的高度为7.4 km或3.8 km或2.6 km或6.2 km. (1) 遇“减”化“加”，并写成省略加号的代数和; (2) 利用加法运算律，进行简便运算; (3) 求出结果. 加减混合运算的一般步骤: 课堂小结 有理数加减法混合运算的符号简写方法： 1. 一个数前面有偶数个“－”号，结果为正； 2. 一个数前面有奇数个“－”号，结果为负； 3. 0 前面无论有几个“－”号，结果都为 0. 7.某地一天早晨的气温是－7℃，中午上升了 11 ℃，半夜又下降了 9 ℃，半夜的气温是多少摄氏度？ 解：由题意得： －7 + 11－9 =－7 －9 + 11 = －5（ ℃ ） 答：半夜的气温是 －5℃. 课后练习 习题 2.1 课本p35页 课后练习 13. 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护. 某天早晨他们从 A 地出发，晚上最终到达 B 地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下： +18，－9，+7，－14，－6，+13，－6，－8. 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶. （1）B 地在 A 地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶 1 km 平均耗油 a L，那么这天汽车共耗油多少升？ 习题 2.1 课本p35页 解：（1）(+18) + (－9) + (+7) + (－14) + (－6) + (+13) + (－6) + (－8) = －5. 答：B 地在 A 地的正南方向，它们相距 5 km. （2）|+18| + |－9| + |+7| + |－14| + |－6| + |+13| + |－6| + |－8| = 81， 81×a = 81a. 答：这天汽车共耗油 81a L. 数学使世界更清晰！ 人教版 七年级上册 $