专题02 全等三角形（竞赛培优专项训练）八年级数学全国通用

**基本信息** 以全等三角形判定方法为核心，分层设计考点专项与竞赛真题训练，系统覆盖SAS、ASA/AAS、SSS、HL等判定应用及综合拓展，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |SAS判定及性质|4题|含旋转、延长线构造全等|从边角对应关系切入，强化图形变换中的全等条件识别| |ASA/AAS判定及性质|4题|涉及角平分线、动点问题|聚焦角与边的对应推理，培养动态几何中的逻辑分析| |SSS判定及性质|4题|含四边形背景、中点构造|通过边的等量关系构建全等，提升辅助线添加能力| |HL判定及性质|4题|直角三角形动态全等|针对直角特殊条件，强化斜边直角边对应关系应用| |添加条件使全等|4题|多选项条件辨析|逆向考查全等判定条件，培养严谨思维| |综合应用|4题+竞赛12题|含面积关系、多结论证明|整合多种判定方法，对接竞赛对复杂问题的推理要求|

专题02 全等三角形 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01用SAS证明全等及全等性质 题型02用ASA、AAS证明全等及全等性质 题型03用SSS证明全等及全等性质 题型04用HL证明全等及全等性质 题型05添加条件使三角形全等 题型06三角形全等的综合应用 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 用SAS证明全等及全等性质 1．如图，在中，，，，是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转至，使，连接，则线段长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，连接AC并延长，交BD于点E，则________________． 3．如图，为任意三角形，以边为边分别向外作等腰三角形和等腰三角形，，，且，连接并且相交于点P． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图1，在中，，在直线上有一点（点在点右侧），连接，以为直角边，点为直角顶点向上作等腰直角．连接、． (1)求证：． (2)当平分时，求的长． 考点二 用ASA、AAS证明全等及全等性质 1．如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 2．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 3．解答以下问题 (1)如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； (2)如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 4．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 考点三 用SSS证明全等及全等性质 1．如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 2．【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 3．【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 4．已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 考点四 用HL证明全等及全等性质 1．如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 2．如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 3．如图，，，于点，于点，求证． 4．如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． (1)①求证：； ②求的度数； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 考点五 添加条件使三角形全等 1．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 2．如图，点是上任意一点，．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得：________．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 考点六 三角形全等的综合应用 1．如图，中，，为外一点，且，与交于点，平分交于点．当时，下列结论： ； ； ； ．其中正确的个数有（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，中，，点分别在的延长线上，连接，则的长为________． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝6，高AD，BE 相交于点O，CE＝AE (1)求线段 BO的长； (2)动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒， ①设△POQ的面积为S．请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； ②点F是直线BC上一点，且CF＝AO．当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 4．【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】（1）如图①，在中，，点D，E分别在边上．若，则线段和线段的数量关系是______________． 【拓展延伸】（2）如图②所示，在中，，，点D在边上．若点E在边上，且，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 1．（2024八年级·全国·竞赛）下列说法： 有两边对应相等的两个等腰三角形全等；周长相等的两个等边三角形全等；有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等；有两边和一角对应相等的两个三角形全等．其中错误的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，在中，，分别平分，，若，，则（   ） A．17 B．16 C． D． 3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．，与不全等 C．与不全等， D．与全等，与不全等 4．（八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，中，，分别以为边作正方形，图中四块阴影部分面积分别为，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（八年级上·安徽合肥·竞赛）如图，在中，，，两条角平分线、相交于点，则图中全等等腰三角形有_______． 6．（2024八年级上·浙江台州·竞赛）如图，在中，是射线上一点，，，当时，的度数是______． 7．（七年级·广东深圳·竞赛）如图，中，，点为的中点，交于． (1)求证：； (2)求证：． 8．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在和中，分别交于点、交于点．求证：． 9．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在四边形中，，，求证：．    10．（2024八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，从等腰的直角顶点C向中线作垂线，交于F，交于E，连结．求证： 11．（八年级上·湖南郴州·竞赛）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．（2024八年级·全国·竞赛）已知都是等腰直角三角形，直角顶点均为点，点分别为的中点． (1)求证：； (2)请判断的形状，并说明理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02全等三角形 目录 A组考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01用SAS证明全等及全等性质 题型02用ASA、AAS证明全等及全等性质 题型O3用SSS证明全等及全等性质 题型04用HL证明全等及全等性质 题型05添加条件使三角形全等 题型06三角形全等的综合应用 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛试题12道） A组 考点专项过关练 考点一用SAS证明全等及全等性质 1.如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任意一点，连接AP,将AP绕点A 按顺时针方向旋转至AQ,使∠PAQ=∠BAC,连接BQ,则线段BQ长度的最小值为() A.2 B.3 4V3 C. 3 D.4 【答案】B 【详解】解：在AC上截取AB=AD=8, A B :∠PAQ=∠BAC, ∴.∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠CAP, ∴.∠CAP=∠QAB, 由旋转可得，AP=AQ, 在△ABQ和△ADP中， 1139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t, ∴.△ABQ≌△ADP SAS, ∴QB=PD 当DP⊥PC时，DP的长度最小，此时QB的长度最小， .DC=AC-AD=14-8=6,∠C=30°， :.PD=1CD-3. 2 ∴.QB=3 A B P 2.如图，已知DO⊥AB,OA=OD,OB=OC,连接AC并延长，交BD于点E,则∠OCE+∠B= E B 【答案】180° 【详解】解：，DO⊥AB, ∴.∠AOC=∠DOB=90°， .OA=OD,OB=OC, 在△AOC和△DOB中： 乙 ∴.△AOC≌△DOB(SAS), ∴.∠ACO=∠B, .∠OCE与∠ACO是邻补角， .∠OCE+∠AC0=180°， 因此，∠OCE+∠B=180° 故答案为：180° 3.如图，△ABC为任意三角形，以边AB,AC为边分别向外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE, 2139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AD,AC=AE,且∠DAB=∠CAE,连接CD,BE并且相交于点P. (I)求证：CD=BE: (2)若∠DAB=∠CAE=65°，求∠DPB的度数. 【答案】(1)见解析：(2)65 【详解】(1)证明：，∠DAB=∠CAE, ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴.∠BAE=∠DAC 心， ∴.△BAE≌△DAC SAS, ∴CD=BE (2)解：，△BAE≌△DACSAS, ∴，∠AEB=∠ACD, :∠BPC=∠ACD+∠ACE+∠PEC, ∴.∠BPC=∠AEB+∠ACE+∠PEC, ∴.∠BPC=∠AEC+∠ACE, .180°-∠BPC=180°-∠AEC+∠ACE, .∠DPB=∠CAE, ,∠DAB=∠CAE=65°， B ∴.∠DPB=65 4.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3,在直线BC上有一点D(点D在点C右侧)，连 接AD,以AD为直角边，点A为直角顶点向上作等腰直角△ADE.连接ED、EC, 3139 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E A C D B D 图1 图2 (1)求证：△ABD≌△ACE」 (2)当EC平分∠AED时，求CD的长. 【答案】(1)见解析；(2)CD=V3 【详解】(1)证明：，△ADE是等腰直角三角形， .∴.AD=AE,∠DAE=90°， :∠BAC=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， i ∴△ABD≌△ACE SAS: (2)解：：AD=AE,∠DAE=90°， .∠AED=45°， :EC平分∠AED, ·∠AEC=∠DEC= 2∠AED=是 ×450=22.5°， ,△ABD≌△ACE, ∴.∠ADB=∠AEC=22.5°， ∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC=45°， ∴.∠CAD=∠ACB-∠ADB=45°-22.5°=22.5°， ∴.∠CAD=∠CDA, ..CD=AC=3. 考点二用ASA、AAS证明全等及全等性质 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,过D作DE⊥BA于点E, 4139 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点F在AC上，且BD=DF.若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长. E 【答案】3 【详解】解：设BE=X ,'AD是∠BAC角平分线，， ∴.∠DAC=∠DAE, .DE⊥BA, .∠DEA=∠DEB=90°， .∠C=90°， .∴.∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， 6, .△ACD≌△AED AAS, ∴.AC=AE,CD=DE, 在Rt△FCD和Rt△BED中， b, ∴.△FCD≌△BED HL, ∴CF=BE=X, AB=7.4,AF=1.4, ∴.1.4+X=7.4-x,解得X=3 即BE=3 2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线AB上方一点，且∠ADB=90°， CE⊥AD, 5139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 【详解】(1)(1)证明：，∠CAB=90°，∠ADB=90°，CE⊥AD, .∠CAB=∠AEC=∠BDA=90°， ∴.∠ACE+∠CAE=90°，∠BAD+∠CAE=90°， ∴.∠ACE=∠BAD, 在△ACE和△BAD中， b, ,∴.△ACE≌△BADAAS: (2)解：.△ACE2△BAD, ∴.AE=BD=9,AD=CE=20, ∴.DE=AD-AE=20-9=11. 3.解答以下问题 (I)如图1，已知Rt△ABC和Rt△DAE,∠ACB=∠DEA=90°，AB=AD,点C,A,E在同一直线 上，且点A在点C和E之间.若∠BAD=90°，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又 ∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌，进而得到AC=,BC=； B 2 A 图1 (2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,过点A作直线AF⊥BC于点 F,DE与直线AF交于点G.判断点G是否是DE的中点，并说明理由. C 图2 【详解】(1)证明：已知Rt△ABC和Rt△DAE,∠ACB=∠DEA=90°，AB=AD, 点C,A,E在同一直线上， 6139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=90°， 由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D 又∠ACB=∠AED=90°， ∴.△ABC≌△DAE AAS, ∴.AC=DE,BC=AE (2)点G是DE的中点，理由如下： 证明：如图2：作DM⊥AF于M,EN⊥AF于N, B C 图2 由(1)可得：△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN, ∴.AF=DM,AF=EN, .∴.DM=EN, .∠DMG=∠ENG=90°，∠DGM=∠EGN, .∴.△DMG≌△ENG, ∴.GD=之U,即点G是DE的中点. 4.综合与实践： ① ② ③ (1)【基础巩固】如图①，已知AB与EF相交于点G,∠A=∠B.G是AB的中点，求证： △AEG≌△BFG. (2)【深入探究】如图②，在(1)的条件下，过点E,F分别作ED⊥AG于点D,FC⊥BG于点C,若 AD=DE.当ED=5cm,CG=2cm时，求AB的长. (3)【拓展探究】如图③，要测量河流AH的长，因为无法测河流附近的点A,可以在AH外任取一点G, 7139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在AH的延长线上任取一点E,连结EG,HG,并且延长HG到点C,使GC=HG;延长EG到点F,使 GF=EG,连结FC并延长到点B,使B,G.A三点在同一条直线上.若测量出BC=50m,则河流 AH=50m,请说明理由， 【详解】(1)证明：，G是AB的中点， AG=BG 在△AEG和△BFG中， 6, ∴.△AEG≌△BFG ASA: (2)解：在(1)的条件下，AG=BG,△AEG≌△BFGASA, ∴.S△AEG=S△BFC, .ED⊥AG,FC⊥BG, Sac号EDAG=Ss号Cn-BG, ∴DE=CF, ,∠AGE=∠BGF,∠EDG=∠FCG=90°， ∴.△EDG≌△FCG AAS, ∴.DG=CG, AD=DE,ED=5cm,CG=2cm, ..AD=DE=5cm,DG=CG=2cm, .AB=2AG=2AD+DG=2×5+2=14cm: (3)若测量出BC=50m,则河流AH=50m,理由如下： .GC=HG,GF=EG,∠HGE=∠CGF, .△HGE≌△CGF SAS, ∴，∠E=∠F,HE=CF, ∠E=∠F,GF=EG,∠AGE=∠BGF, ∴.△AGE≌△BGF ASA, ..AE=BF, ∴.AE-HE=BF-CF, ..BC=AH, ∴.若测量出BC=50m,则河流AH=50m. 考点三用SSS证明全等及全等性质 8139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.如下图，已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,B,D,E三点共线.试说明：∠3=∠1+∠2 3 2 D C 【答案】说明见解析 【详解】证明：在△ABD和△ACE中， .△ABD≌△ACE SSS, ∴.∠BAD=∠1，∠ABD=∠2. .:∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ADB+∠3=180°， .∴.∠3=∠BAD+∠ABD=∠1+∠2. 2.【问题背景】 如图，在△ADE和△BDF中，点A、B、D在一条直线上，EM为△ADE的中线，点C是AD边上一点， 连接EC,点M是线段BC的中点.已知AE=BF,EC=FD E B M B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，△AEC与△BFD全等吗？请说明理由： 【问题解决】 (2)如图2，过点D作DH⊥EM于点H,若∠EDA+∠DBF=∠AED,AE=a,ED=b,EM=5,求 DH的长度.（用含a、b的式子表示） 【详解】(1)全等，理由如下： ,EM是△ADE的中线， .AM=DM. 9/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点M是线段BC的中点， .'BM=CM, AM-BM=DM-CM, ..AB=CD, .AD-AB=AD-CD. DB=AC, 在△AEC和△BFD中， t, .△AEC≌△BFD SSS (2)解：由(1)得△AEC≌△BFD, ∴.∠EAC=∠DBF, ,∠EDA+∠DBF=∠AED ∴.∠EDA+∠EAC=∠AED :∠EDA+∠EAC+∠AED=180°， ∴.∠EDA+∠EAC=∠AED=90°， ∴，△AED是直角三角形， :EM是△ADE的中线， ∴.S△AED=2 SA EMD, DH⊥EM, 号A证DE-2×EMDI, 即ab=2×5DH, ..DH=ab 10 3.【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+DF,试探究∠EAF,∠BAD之间的数量关系. D B 图① 图② 10/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步探索】 (1)小亮同学认为延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明 △AEF≌△AGF,则可得到∠EAF,∠BAD之间的数量关系是 【探索延伸】 (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E,F分别是BC,CD上的点.若 EF=BE+DF,则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 【答案】(1)∠BAD=2∠EAF(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析 【详解】解：(1)∠BAD=2∠EAF 【提示】如图所示，延长FD到点G,使得DG=BE,连接AG G A .∠ADC=90 ∴.∠ADG=90°=∠B 在△ABE和△ADG中， i .△ABE≌△ADGSAS, ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG. '.EF=BE+DF,FG=DF+DG, .∴.EF=GF 在△AEF和△AGF中， i ∴.△AEF≌△AGFSSS, ∴.∠EAF=∠GAF. .'∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF, ∴.∠BAD=2∠EAF (2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：如图所示，延长CD到点H,使得DH=BE 1/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D .:∠ADC+∠ADH=180°∠B+∠ADC=180° B E ∠B=∠ADH 在△ABE和△ADH中， i .△ABE≌△ADH|SAS, ∴.AE=AH,∠BAE=∠DAH, .FH=DF+DH=BE+DF. EF=BE+DF. ∴.FH=FE 在△AEF和△AHF中， i ∴.△AEF≌△AHF SSS, ∴.∠EAF=∠HAF=∠HAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF, .∴.∠BAD=2∠EAF」 4.已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC, D D B B 图1 图2 图3 【问题背景】 (1)如图1，连接BD,若∠BAD=90°，AD=6,求DC的长： 【类比探究】 (2)如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足∠PBQ=∠ABP+∠QBC,探究PQ,AP,CQ之间 的数量关系，并证明； 【拓展应用】 12/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，满足PQ=AP+CQ,请直接写出∠PBQ与 ∠ADC的数量关系为 【详解】(1)解：.'∠BAD+∠BCD=180°，∠BAD=90°， .∠BAD=∠BCD=90°， ∴.△ABD,△CBD都是直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， , .∴.Rt△ABD≌Rt△CBD HL, ∴.DC=AD, .AD=6, ∴.DC=6: (2)PQ=AP+CQ.证明如下： 如图，延长DC到点K,使得CK=AP,连接BK, D D .:∠BAD+∠BCD=180°∠BCD+∠BCK=180 ∴.∠BAD=∠BCK, 在△BPA和△BKC中， 乙， ∴.△BPA≌△BKC SAS, .BP=BK,∠ABP=∠CBK, .∠PBQ=∠ABP+∠QBC, .∴.∠PBQ=∠ABP+∠QBC=∠CBK+∠QBC=∠QBK, 在△PBQ和△KBQ中， , .△PBQ≌△KBQ|SAS, ..PQ=KQ 'KQ=CK+CQ,CK=AP, 13/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PQ=AP+CQ (3③)∠PBQ=90+1 ∠ADC: (3)如图，延长CD到点K,使得CK=AP,连接BK, .·∠BAD+∠BCD=180°∠BAD+∠PAB=180°∠BCD=∠BCK ∴.∠PAB=∠BCK, 在△BPA和△BKC中， 6, .∴.△BPA≌△BKC SAS, ∴.BP=BK,∠ABP=∠CBK, ∴.∠PBK=∠ABC, .PQ=AP+CQ,AP=CK, ∴.PQ=CK+CQ=QK, 在△PBQ和△KBQ中， 乙， ∴.△PBQ≌△KBQ SSS, .∠PBQ=∠KBQ ∴.2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°， .四边形ABCD的内角和为360°， .∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=180°， .'∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠ABC+∠ADC=180°， .2∠PBQ+∠ABC=360°， ∴.2∠PBQ+180°-∠ADC=360°， 2PBQ=90+号<ADC 14/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点四用L证明全等及全等性质 1.如图，在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE=90°，∠BAC=∠EAD,AB=AE,线段ED的 延长线交BC于点P,连接AD。若5。=2，AC=4,GCF-号则发段BF的长度为 B 【答案】3 【详解】解：：∠ACB=∠ADE=90°，AB=AE,∠BAC=∠EAD, .△ACB≌△ADE(AAS), ∴.AC=AD,BC=DE, ,AF=AF,∠ADF=∠ACF=90°， ∴Rt△ADF≌Rt△ACF HL, AC=4.CF-3. CF-AC-0 1 5号 :S△AEF=12, S6AE=SAAB=12.10=26 33 ÷S6ae=2610-16 333￥ FAc=8n×4 1 2 3 .BF=8 3 2.如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作BM⊥AB.动点E从A点出发以 3cms的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而运动，始终保持ED=CB.若点E 的运动时间为t秒(t>O),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC全等时，t的值为秒. 15/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D B N 717 【答案】33、8 【详解】解：，CA⊥AB,BM⊥AB, .∠CAB=∠DBE=90°， ①当E在线段AB上时， 如图：若BE=AC=5, M D B .ED=CB. ∴.Rt△DEB≌Rt△BCA(HL, .AE=3tcm, .BE=AB-AE=12-3tcm, 12-3=5,解得：t-3 若BE=AB=12,此时点E和点A重合，不符合题意： ②当E在线段AB延长线上时， 如图：若BE=AC=5, D E .Rt△DEB≌Rt△BCA HL, :AE=3t=AB+BE=12+5=17cm, 16/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图：若BE=AB=12, M D A B .ED=CB, ∴Rt△DEB≌Rt△CBA HL, ,AE=3t=AB+BE=12+12=24cm, ∴.t=8 当3或12 F3或3或8秒时，△DEB与△BCA全等. 3.如图，AB=BC,AM=BN,AM⊥BN于点M,CN⊥BN于点N,求证MN=AM-CN. B M N 【答案】证明见解析 【详解】解：：'AM⊥BN于点M,CN⊥BN于点N, ∴.∠AMB=∠BNC=90°， 在Rt△ABM和Rt△BCN中，U, ,∴.Rt△ABM≌Rt△BCN HL, .'BM=NC, .∴.MN=BN-BM=AM-CN. 4.如图，在△ABC与△ADE中，AB=AD,AC=AE,且∠EAC=∠DAB=70°，过点A作 AF⊥DE,垂足为F,AE交BC于点O,延长CB交DE于点G,连接AG. 17139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)①求证：△ABC≌△ADE: ②求∠CGE的度数： (2)猜想线段GF,DF,BG之间的数量关系，并说明理由， 【答案】(1)①见解析：②∠CGE=70°；（②）FG=BG+DF,见解析 【详解】(1)解：①证明：，∠EAC=∠DAB=70°， ∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC, 即∠DAE=∠BAC, 在△ABC与△ADE中， b, ∴.△ABC≌△ADE(SAS): ②解：：△ABC≌△ADE, ∴.∠C=∠E, ,∠AOC=∠GOE, ∴.∠CGE=180°-∠E-∠GOE=180°-∠C-∠AOC=∠CAE=70°， 故∠CGE=70° (2)解：FG=BG+DF, 理由：过点A作AH⊥BC于点H,如图所示： D 人 E ∴.∠AHC=∠AHB=90°， ,AF⊥DE,垂足为F, ∴.∠AFE=∠AFD=90°， ∴.∠AHB=∠AFE=90°， 在△ACH和△AFE中， 18139 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t, ∴.△ACH≌△AFE(AAS), ∴AH=AF, .AG=AG .:Rt△AFG≌Rt△AHG(HL), ∴.FG=HG, .AD=AB,AF=AH. .Rt△AFD≌Rt△AHB(HL), ∴.BH=DF, .FG=HG=BG+BH=BG+DF 考点五添加条件使三角形全等 1.如图，点E在∠AOB的内部，点C,D分别在OA,OB上，且OC=OD,若只添加一个条件即可证明 △OEC和△OED全等，那么这个条件不可以是() A.OE平分∠AOB B.∠OCE=∠ODE=90 C.∠OEC=∠OED D.CE=DE 【答案】C 【详解】解：依题意，OC=OD,OE=OE A.OE平分∠AOB则∠EOC=∠EOD,根据SAS可以证明△OEC和△OED全等 B.∠OCE=∠ODE=90°，根据HL可以证明△OEC和△OED全等 C.∠OEC=∠OED,SSA不能证明△OEC和△OED全等 D.CE=DE,根据SSS可以证明△OEC和△OED全等 故选：C 2.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出 △APC≌△APD的是() 19139 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AC=AD B.BC=BD C.∠ACB=∠ADBD.∠CAB=∠DAB 【答案】A 【详解】解：A、补充AC=AD,不能推出△APC≌△APD,故此选项符合题意： B、补充BC=BD,先证出△ABC≌△ABD,后能推出△APC≌△APD,故此选项不符合题意： C、补充∠ACB=∠ADB,先证出△ABC≌△ABD,后能推出△APC≌△APD,故此选项不符合 题意； D、补充∠CAB=∠DAB,先证出△ABC≌△ABD,后能推出△APC≌△APD,故此选项不符合 题意： 故选：A. 3.如图，在△ABF和△DCE中，点E,F在BC上，BE=CF,∠B=∠C.添加下列条件仍无法证明 △ABF≌△DCE的是() A.∠AFB=∠DEC B.AB=DC C.∠A=∠D D.AF=DE 【答案】D 【详解】解：，BE=CF ∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE, A、添加∠AFB=∠DEC,结合∠B=∠C、BF=CE,符合ASA,可证△ABF≌△DCE,不符合 题意： B、添加AB=DC,结合∠B=∠C、BF=CE,符合SAS,可证△ABF≌△DCE,不符合题意： C、添加∠A=∠D,结合∠B=∠C、BF=CE,符合AAS,可证△ABF≌△DCE,不符合题意： D、添加AF=DE,此时是SSA,无法判定△ABF≌△DCE,符合题意. 故选：D 4.如图，AB=AC,D,E分别为AC,AB上的点，BD与CE交于点O,连接OA.要 △ABD≌△ACE,还须添加一个条件，如添加AD=AE,可运用SAS,证得△ABD≌△ACE.请写 20/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出添加的其它一个条件，仍能证得△ABD≌△ACE: (说明：原图不再添加点和线，要求 写出所有可能) B 【答案】∠ABD=∠ACE,∠AEC=∠ADB,OB=OC,BE=CD,∠BAO=∠CAO, ∠BEC=∠CDB,∠OBC=∠OCB 【详解】解：添加∠ABD=∠ACE,依据是ASA, 添加∠AEC=∠ADB,依据是AAS, 添加∠BAO=∠CAO,可先得出△ABO≌△ACO(SAS,从而得出∠ABD=∠ACE,然后依据 ASA可证△ABD≌△ACE: 添加∠BEC=∠CDB可得∠AEC=∠ADB,则依据AAS证明△ABD≌△ACE: 添加∠OBC=∠OCB可得∠ABD=∠ACE,则依据ASA可证△ABD≌△ACE: 添加OB=OC,先证△ABO≌△ACOSSS,从而得出∠ABD=∠ACE,进而得出 △ABD≌△ACE,依据是ASA, 添加BE=CD,可得出AD=AE,进而△ABD≌△ACE,依据SAS, 故答案为：∠ABD=∠ACE,∠AEC=∠ADB,OB=OC,BE=CD,∠BAO=∠CAO, ∠BEC=∠CDB,∠OBC=∠OCB 考点六三角形全等的综合应用 1.如图，Rt△ABC中，AB=AC,D为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD,AB与CD交于点E,DF平分 ∠BDA交AB于点F.当∠ACD=15°时，下列结论：①∠ADC=45°；②AD=AF;③ AD+AF=BD:④BC-CE=2DE.其中正确的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：过点A作AP⊥AD交CD于点P,则∠DAP=90°， 21/39 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， :∠ACD=15°， ∴.∠BCD=30°， ,∠BDC=90°， ∴∠DBC=60°， .∠DBA=15°， ∴.∠DBA=∠PCA=15°， ,∠BAC=∠DAP=90°， .∠DAB=∠PAC, 又：AB=AC, .△ABD≌△ACP ASA, ∴.AD=AP, ∴.∠ADP=∠APD=45°， ∴.∠ADC=45°，故①符合题意， ∴.∠BDA=90°+45°=135°， ∴.∠DAB=30°， ,DF为∠BDA的平分线， .∠ADF=∠BDF, ,∠AFD=∠BDF+∠DBF>∠ADF, ∴AD≠AF,故②不合题意， 如图，延长CD至G,使DE=DG,在BD上截取DH=AD,连接HF、BG, G D B ,DH=AD,∠HDF=∠ADF,DF=DF, ∴△ADF≌△HDF SAS, 22139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DHF=∠DAF=30°，AF=HF, ,∠DHF=∠HBF+∠HFB=30°， ∴.∠HBF=BFH=15°， .'BH =HF, .BH=AF. :.BD=BH+DH=AF+AD,故③符合题意， :∠ADC=45°，∠DAB=30°=∠BCD, ∴.∠BED=∠ADC+∠DAB=75°， GD=DE,∠BDG=∠BDE=90°，BD=BD, ∴.△BDG≌△BDE SAS, .∠BGD=∠BED=75°， .∠GBC=180°-∠BCD-∠BGD=75°， ∴.∠GBC=∠BGC=75°， ..BC=CG, ∴.BC=CG=2DE+EC, .BC-EC=2DE,故④符合题意， 故选：C 2.如图，Rt△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，点D、E、F分别在AB、AC、BC的延长线上， 连接DC、DE、EF,∠FEC=∠DEC,∠BCD+∠DEC=45°，BF=7,AD=5.6,则AB的长为 C BD 【答案】4.2 【详解】解：如图，过C作CG‖AD,交DE于G,过G作GH⊥AD于H, ,∠ABC=90°，AB=BC, ∴.∠GCB=90°=∠ABC=∠FCG,∠A=∠2=45°=∠1， .∠3=45°， 23139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F 1 627 BDH .∠1=∠3，而CE=CE,∠FEC=∠DEC, .△FCE≌△GCE, ∴CF=CG, ,∠BCD+∠DEC=45°，∠BCD+∠4=90°， .∠4=45°+∠DEC, .∠5=∠3+∠DEC=45°+∠DEC, ∴.∠4=∠5， ..DC=DG, .CG AH, ∴.∠6=∠4，∠7=∠5， .∠6=∠7， ,∠CBD=∠GHD=90°， ∴.△BCD≌△HGD, .BD=HD, :由平行线间的距离处处相等可得：BH=CG, ∴.CG=2BD, 设BD=X,而BF=7,AD=5.6,AB=BC, ∴.AB=BC=5.6-x,CF=7-5.6-x=x+1.4=CG, .x+1.4=2x, ∴x=1.4, AB=5.6-1.4=4.2 故答案为：4.2 3.如图，在△4BC中，∠ABC=45,AC=6,高AD,BE相交于点O,CE=2AE 24/39 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求线段BO的长： (②)动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线 AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动， 设点P的运动时间为t秒， ①设△POQ的面积为S.请用含t的式子表示S,并直接写出相应的t的取值范围； ②点F是直线BC上一点，且CF=AO.当△AOP与△FCQ全等时，求t的值. 6 【答案】(6：(2①S=d:②3或2 【详解】(1)解：(1)，∠ABC=45°，AD,BE为高， .AD⊥BC,∠ADB=90°， .∴，△ABD为等腰直角三角形， ∴.AD=BD 又，∠ADB=∠AEB=90°，∠AOE=∠BOD, .∠OBD=∠DAC, 又：∠BDO=∠ADC=90°， .△BDO≌△ADC ASA, ∴.BO=AC, AC=6, .B0=6: 2解：0：AC=6.GE=Ac, :AE=号AC=4 Γ3 当点Q运动到点E时，t=1, 当0<t<1时， 如图1，S=0P×QE=3t4-4t=-2r+2: 25139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D D 图1 图2 1<ts6时.如图2S=0PxQE=)t4t-4=2t 综上所述，S=乙： ②：△BOD≌△ACD, ∴，∠BOD=∠ACD 当点F在线段BC延长线上时，如图3， B ,∠BOD=∠ACD, .∠AOP=∠ACF, .AO=CF. ∴.当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ, .t=6-4t, 6 解得：t= 当点F在线段BC上时，如图4， A 26/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BOD=∠ACD, ∴.∠AOP=∠FCQ, ∴.当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ, ∴.t=4t-6, 解得：t=2. 6 综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，1的值为兮或2 4.【知识再现】学完“全等三角形”后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全 等”是判定直角三角形全等的特有方法. 图① 图② 【简单应用】(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB上.若 CE=BD,则线段AE和线段AD的数量关系是 【拓展延伸】(2)如图②所示，在△ABC中，∠BAC=Q(90°<C<180,AB=AC=m,点D在边 AC上.若点E在边AB上，且CE=BD,则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不 相等，请说明理由 【详解】解：(1)在△ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC ∴.∠ABC=∠ACB 在△ABD和△ACE中， i .∴.△ABD≌△ACE SAS ∴.AE=AD. (2)AE=AD 证明：如图，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M,过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N ∠M=∠N=90°，∠CAM=∠BAN,CA=BA 27/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△CAM≌△BAN AAS, .∴.CM=BN,AM=AN. .∠M=∠N=90°，CE=BD, .∴.Rt△CME≌Rt△BND HL, .∴.EM=DN ,'AM=AN,.∴.AE=AD. B组 选拔真题冲奖练 1.(2024八年级·全国·竞赛)下列说法： ①有两边对应相等的两个等腰三角形全等：②周长相等的两个等边三角形全等：③有一条边和一个锐角 对应相等的两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等.其中错误的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：①有两边对应相等的两个等腰三角形不一定全等，如果两等腰三角形的两腰对应相等但底不 相等，两等腰三角形则不全等，符合题意； ②周长相等的两个等边三角形的三边也对应相等，符合ASA,AAS,SSS,SAS,不符合题意： ③有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，如果直角边和斜边对应相等，那么两个直角三角 形不全等，符合题意： ④有两条边和一角对应相等的两个三角形，当角是两边的夹角是可以判定这两个三角形全等，当角不是两 边的夹角时，就不能判定这两个三角形全等，符合题意： 综上①③④说法错误，共3个， 故选：C 2.(2024八年级上·浙江宁波·竞赛)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD,CE分别平分∠BAC, ∠ACB,若AE=6,CD=11,则AC=() 28/39 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.17 B.16 c.83 D.9V3 【答案】A 【详解】解：设AD,CE交于点O,作OF平分∠AOC, ∠B=60°， ∴.∠ACB+∠BAC=120°， ,AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB, .∠1=∠2，∠3=∠4， :22+∠4= ∠ACB+∠BAC=60°， .∠AOC=120°， .∠7=∠8=60°，∠5=∠6=180°-∠A0C=60°， .∠5=∠7，∠6=∠8 ∠1=∠2，∠3=∠4，OA=OA,OC=OC, .△AOE≌△AOF,△COD≌△COF, ..AE=AF,CD=CF, ∴.AC=AE+CD=6+11=17: 故选A. 3.(2024八年级·全国竞赛)如图，有两个三棱锥P-ABC、Q-乙，其中 ∠APB=∠PBC=∠DEQ=∠EFQ=50°，∠ABP=∠BPC=∠QDE=∠QEF=70°，则下列说法 正确的是() P Q 70° 50° D70. 50° 50% 70 50\70° d B E 图1 图2 A.△PAB≌△BCP,△QDE≌△QEF 29/39 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.△PAB≌△BCP,△QDE与△QEF不全等 C.△PAB与△BCP不全等，△QDE≌△QEF D.△PAB与△BCP全等，△QDE与△QEF不全等 【答案】B 【详解】解：在△PAB和△BCP中， , ∴.△PAB≌△BCP ASA, 在△QDE和△QEF中， ∠QDE=∠QEF=70°，∠QED=∠QFE=50°， ,∠QEF≠∠QFE, ∴.QE≠QF, ∴△QDE与△QEF不全等， 故选：B 4.(八年级上·浙江宁波·竞赛)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC,AB为边作正方形 ACFG,BCLK,ABNM,图中四块阴影部分面积分别为S1,S2,S3,S4,则下列结论不正确的是() M A B A.S2=S4 B.1+S3=S2 C.S1+S,+S3=2S△Ac D.S1+S2+S3+S4=4SAABC 【答案】D 【详解】解：，四边形ABNM,BCLK是正方形， ∴.∠ABN=∠CBK=90°，BA=BN,BC=BK, ∴.∠ABC=∠NBK, ∴.△ABC≌△NBK SAS, .S△ABc=S4, ,四边形ABNM是正方形，∠ACB=90°， .AM=AB,∠BAH=∠AMP=90°， ·∠MAP=∠ABC=90°-∠CAB 30/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△MAP≌△ABHASA, :.SAMAP=S△ABH, S△MAP-SAAHC=S△ABH-S△AMHC ∴.S△ABc=S2, ∴.S2=S4,故A正确，不符合题意： 连接MG, M P S K F H S 的 同理可证明：△AGM≌△ACB SAS, ∴SAAGM=S△ACB,∠AGM=∠ACB=90°=∠AGF, ∴.点M,F,G共线， ,∠G+∠GAC=90°+90°=180°， ..GM AP, ∴.∠AMG=∠MAP, ,∠L=∠AMP=90°，∠MPA=∠LPN, ∴.∠MAP=∠LNP, ∴.∠AMG=∠LNP △MAP≌△ABH ∴.AH=MP, ∴.MH=PN, ,∠MFH=∠L=90°， ∴，△MFH≌△NLP AAS, ∴.S△MFH=SANLP, 即S△MFH=S3, ∴.S1+S,=S1+S△MrH=S△AGM=S△ABc=S2,故B正确，不符合题意； SAABC=S2, ∴.S1+S,+S3=2S△ABC,故C正确，不符合题意； ,S△ABC=S4, 31/39 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴S1+S2+S3+S4=2S△ABc+SAABC=3S△ABC,故D错误，符合题意， 故选：D 5.(八年级上·安徽合肥竞赛)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，两条角平分线BE、CD相 交于点O,则图中全等等腰三角形有 D E B 【答案】3对 【详解】解：，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， ∠ABC=∠ACB=180.∠A=72, ,△ABC的角平分线BE与CD相交于点O, ∠ABB=∠EBC=2∠ABC=36°，∠ACD=∠BCD=7∠ACB=36, ∴.∠BDC=∠BEC=180°-36°-72°=72， .∠A=∠ABE=∠EBC=∠BCD=∠ACD=36°，∠ABC=∠ACB=∠BEC=∠BDC=72°， ∴.∠D0B=∠E0C=180°-72°-36°=72°， .AE=BE,AD=CD,BD=OB=OC=CE,CD=BC=BE, ∴.等腰三角形有：△ABC,△ABE,△ACD,△BCD,△BCE,△OBC,△OBD,△OCE共8个，其中 △ABE≌△ACD,△BCD≌△CBE,△OBD≌△OCE. 故答案为：3对. 6.(2024八年级上·浙江台州竞赛)如图，在△ABC中，D是射线AC上一点，∠ACB=150°， ∠A=20°，当AC=BD时，∠CBD的度数是 D B 【答案】50°或70 【详解】解：过点C作CO=AC交AB于点O,过O作OF⊥BC于点F,过点B作BE⊥AD于点E,如图， 32139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DED F B 分以下两种情况： 当点D在BE的右边时， .:∠ACB=150°，∠A=20°， ∴.∠CBA=180°-∠ACB-∠A=10°，∠BCD=∠A+∠CBA=30°， ∴.∠CBE=90°-∠BCD=90°-30°=60°， .CO=AC, ∴.∠COA=∠A=20°， ∴.∠BC0=∠COA-∠CBA=20°-10°=10°， ∴.OB=OC=AC, AC=BD, .∴.OB=OC=AC=BD, ∴.△BOC为等腰三角形， .OF⊥BC, :.BF=BC. .:BE⊥AD,∠BCE=30°， .BE=-BC, 2 ∴.BE=BF 在Rt△BOF与Rt△BED中， 6, ∴.△BOF≌△BED HL, ∴.∠EBD=∠OBF=10°， .∠CBD=CBE-∠EBD=60°-10°=50； 当点D在BE的左边时， 同理可得：∠EBD=10°，此时∠CBD=∠CBE-∠EBD=60°+10°=70°， 故答案为：50°或70° 33139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(七年级·广东深圳·竞赛)如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=45°，点E为BC的中点，CN⊥AE 交AB于N」 2 (1)求证：∠1=∠2； (2)求证：AE=CN+EN 【答案】(1)见解析：(2)见解析 【详解】(1)证明：如图，设AE与CN相交于点O, .'∠CAB=∠CBA=45, ∴.∠ACB=90°， .AE⊥CN, ∴.∠AOC=90°， ∴.∠1+∠AC0=90°，∠2+∠AC0=90°， .∴.∠1=∠2. A (2)证明：如图，在线段AE上截取AM=CN,连接CM. 在△ACM和△CBN中， 6, .∴.△ACM≌△CBN SAS, ∴.CM=BN,∠ACM=∠B=45°， .∴.∠MCE=45°， ∴.∠B=∠MCE, 在△MCE和△NBE中， , .∴△MCE≌△NBE SAS, 34139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EM=EN, .∴.AE=AM+EM=CN+EN. B 8.(2024八年级·全国·竞赛)如图，在△ABC和△DEC中， AB=DE,AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°，AB分别交CE、DE于点F、G,BC交DE于点H.求证： EF=BH」 B E G C 【答案】见解析 【详解】证明：：∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACB-∠ECD=∠DCE-∠ECD, ∴.∠ACE=∠DCB, 在Rt△ABC和Rt△DEC中 心， ∴.Rt△ABC≌Rt△DEC(HL), .BC=EC,∠A=∠D, 在△ACF和△DCH中， 元， .△ACF≈△DCH(ASA), ∴，FC=HC, ∴，EC-FC=BC-HC, 即EF=BH 9.(2024八年级下·江苏无锡·竞赛)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=45°， ∠ACB=∠BAD=105°，求证：AB=CD 35139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点A作AE⊥AB交BC延长线于点E, E D .:∠B=∠D=45°∠ACB=∠BAD=105° B .∴.∠ACE=180°-∠ACB=75°，∠CAB=180°-∠B-∠ACB=30°， ∴.∠CAD=∠BAD-∠CAB=75°， .∴.∠ACE=∠CAD=75°， ,AE⊥AB, ∴.∠EAB=90°， .∴.∠E=90°-∠B=45°， ∴.∠E=∠B=∠D=45°， ∴.AE=AB, 在△ACE和△CAD中， d, .∴.△ACE≌△CAD AAS, ∴AE=CD, ∴.AB=CD 10.(2024八年级下.甘肃平凉·竞赛)如图，从等腰Rt△ABC的直角顶点C向中线BD作垂线，交BD于 F,交AB于E,连结DE.求证：∠CDF=∠ADE 36139 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】详见解析 【详解】证明：如图，作∠BCA的平分线交BD于点G, G ,在等腰直角△ABC中，∠BCA=90°， .BC=CA,∠BCF+∠ACE=90°，∠A=∠ABC=45°， .CE⊥BD ∴.∠BCF+∠CBG=90°， .∠CBG=∠ACE .CG平分∠BCA, :∠BCG=∠ACG-号∠BCA=45°=∠A, 在△BCG和△CAE中， d, .△BCG≌△CAE ASA, ∴CG=AE ,BD是等腰直角△ABC的中线， ..AD=CD, 在△CDG和△ADE中， i, ∴，△CDG≌△ADE SAS, ∴.∠CDF=∠ADE 11.(八年级上·湖南郴州竞赛)如图，在Rt△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D为AB延长线上一 点，点E在BC边上，且BE=BD,连接AE,DE,DC. A 37139 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ABE≌△CBD: (2)若∠CAE=30°，求∠EDC的度数. 【答案】(1)证明见解析：(2)30° 【详解】(1)证明：，∠ABC=90°， ∴.∠ABE=∠CBD=90°. 在△ABE和△CBD中， 6, ∴.△ABE≌△CBD|SAS (2)解：，在Rt△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°， ∴.∠ACB=∠BAC=45°， .∠CAE=30°， ∴.∠AEB=∠CAE+∠ACB=75°， 由(1)已证：△ABE≌△CBD, ∴.∠CDB=∠AEB=75°， ,∠CBD=90°，BE=BD, ∴.∠BDE=∠BED=45°， :.∠EDC=∠CDB-∠BDE=30° 12.(2024八年级·全国·竞赛)已知△ABC、△CDE都是等腰直角三角形，直角顶点均为点C,点 F、G分别为AD、BE的中点.“ B (①)求证：△BCE≌△ACD: (2)请判断△CFG的形状，并说明理由. 【答案】（①）证明见解析；(2)△CFG为等腰直角三角形，理由见解析 【详解】(1)证明：：△ABC、△CDE为等腰直角三角形， ∴.AC=BC,CD=CE ∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=90°， .∠BCE=∠ACD 38139 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BCE和△ACD中， 6, ∴△BCE≌△ACD|SAS (2)解：△CFG为等腰直角三角形，理由如下： :△BCE≌△ACD|SAS, :BE=AD,∠CBG=∠CAF, :点F、G分别为AD、BE的中点， ..BG=AF, 在△BCG和△ACF中， L, ∴.△BCG≌△ACFSAS, .CG=CF,∠BCG=∠ACF, ,∠BCG+∠ACG=90°， ∴.∠FCG=∠ACF+∠ACG=90°， ∴.△CFG为等腰直角三角形. 39/39