专题02 构造全等三角形的常用方法（三大题型）（高效培优专项训练）数学沪科版2024八年级上册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02 构造全等三角形的常用方法 题型归纳 题型一：利用“倍长中线法”构造全等三角形 题型二：利用“截长补短法”构造全等三角形 题型三：倍长中线法+婆罗摩笈多模型 题型专练 【题型一】利用“倍长中线法”构造全等三角形 方法指导： 条件：如图，AO为△ABC的中线 关键词：中线、中点 B D: 策略：延长中线AO至D,使得DO=AO,连接BD 结论：.△A0C兰△DOB 1.（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习)八(2)班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你 和他们一起活动吧 图1 图2 [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，AD是ABC的中线，若AB=5,AC=3,求 AD的取值范围. [探究方法]他们通过探究发现，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.可以证出ADC≌EDB，利用全 等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的取值范围. 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这 种方法叫做“倍长中线法”。 [问题解决灯 (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求AD的取值范围的过程. (2)如图2，CD是ABC的中线，且AB=BE=AC,求证：CE=2CD. 1/44 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图1，延长AD至点E,使ED=AD, :AD是ABC的中线， .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， DA=DE ∠ADC=∠EDB, DC=DB △ADC≌△EDB(SAS), .AC BE=3, AB=5, .5-3<AE<5+3, 2<2AD<8, 1<AD<4; (2)证明：如图所示，延长CD到F,使得CD=FD, :CD是ABC的中线， :AD BD, 在△ADC和BDF中， DA=DB ∠ADC=∠BDF, DC=DF .△ADC≌△BDF(SAS), .AC=BF,∠A=∠ABF, AC=AB=BE, BF=BE,∠ABC=∠ACB, :∠CBE=∠A+∠ACB,∠CBF=∠ABC+∠ABF, .∠CBE=∠CBF, 在△CBE和CBF中， BE=BF ∠CBE=∠CBF, BC=BC .△CBE≌△CBF(SAS, .CE=CF =2CD. 2/44 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 2.【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在ABC中，AB=7,AC=5,求出BC边上的中线AD的取值范围. 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的己知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， B D E 【问题解决】 解： 【详解】(1)解：如图，延长AD到E,使得DE=AD,连接BE, B D E :AD是ABC的中线， .BD=CD, 在△EDB和△ADC中， BD=CD ∠BDE=∠CDA, DE=AD 3/44 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .△EDB≌aADC(SAS), .BE=AC=5, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 7-5<AE<7+5,2<AE<12, .1<AD<6. 3.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=6,AC=8,D是BC的中 点，求BC边上的中线AD的取值范围 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明. ”ADC≌EDB"的推理过程. (1)求证：ADC≌EDB 证明：：延长AD到点E,使DE=AD 在△ADC和△EDB中AD=ED(已作)， LADC=∠EDB( CD=BD(中点定义) △ADC≌△EDB( (2)探究得出AD的取值范围是 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条 件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【问题解决】 (3)如图2，ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=4,且LADE=90°，求AE 的长. D Bh y D -6 图1 图2 【详解】证明：(1)：延长AD到点E,使DE=AD 在△ADC和△EDB中，AD=ED(已作) LADC=LEDB(对顶角相等) CD=BD(中点定义) ∴△ADC≌△EDB(SAS), 4/44 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：对顶角相等，SAS; (2):ADC≌EDB, .BE=AC=8, 8-6<AE<8+6,则2<AE<14, 故1<4E<7,即1<4D<7 故答案为：1<AD<7; (3)延长AD交EC的延长线于点F,如图 ∠B=90°，CE⊥BC, .∠ABD=∠DCF=90 :AD是ABC的中线， .BD=CD, 在△ABD和△FCD中 I∠ABD=∠FCD BD=DC ∠ADB=∠FDC .△ABD≌△FCD(ASA CF=BA=2,AD=DF, 又，∠ADE=90°， ·DE垂直平分AF, .AE=FE CE+CF=4+2=6. 4.(1)阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线， 试判断AB,AD,CD之间的等量关系. 解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=CF,从而 把AB,AD,CD转化在一个三角形中即可判断：AB,AD,CD之间的等量关系为 (2)如图②，在ABC中，∠B=90°，AB=1,AD是ABC的中线，CE⊥BC,CE=3,且LADE=90° ,求AE的长； 5/44 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C E B B D F 图① 图② 【详解】解：(1)延长AE交DC的延长线于点F, :AB∥CD, ∴∠BAE=∠CFE,LB=LECF, :点E是BC的中点， .BE CE, △AEB≌△FEC(AAS), .AB=CF, :AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE, ∠DAE=LCFE, .AD=DF =CD+CF=CD+AB, (2)如图2，延长ED,AB交于点F, E B D 图2 :EC⊥BC, LECD=90°， ∴∠ABD=∠DBF=∠ECD=90°， :AD是中线， :BD=CD, :∠BDF=∠CDE, .△BDF≌△CDE(ASA), .BF CE=3,ED=DF, 6/44 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AF=AB+BF=1+3=4, :∠ADE=90°，DF=ED, AD是EF的垂直平分线， .AE=AF=4 5.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=8, AD=5,求边AC的取值范围.小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E, 使DE=AD，,连接BE,请根据小琪的方法思考： 图1 图2 (1)由己知和作图能得到△EDB≌△ADC,依据是」 A.SSS B.SAS C.AAS (2)由“三角形的三边关系“可求得边AC的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形之中. 【感悟方法】 (3)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于点F,AC=BF.试说明：AE=EF. 【详解】解：(1)延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, :点D是BC的中点， ∴BD=CD,且∠ADC=∠EDB(对顶角相等)， 在△EDB,△ADC中， AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD .△EDB≌△ADC(SAS), 故选：B; (2)由(1)可得△EDB≌△ADC(SAS), .AD ED=5,AC=EB,AE =10, 在△ABE中，AE-AB<BE<AE+AB, 2<AC<18, 故答案为：2<AC<18: 7/44 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图所示，延长AD至点G,使得AD=GD,连接BG, D G :点D是BC的中点， BD=CD,且∠ADC=∠GDB, 在AADC,△GDB中， AD=GD ∠ADC=∠GDB, CD=BD :△ADC≌AGDB(SAS), .AC=BG,∠G=∠DAC, :AC BF, :BG=BF, ∴.∠G=∠BFG, :∠BFG=LAFE, .∠G=∠AFE=LDAC, EA EF. 6.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法. B 图(1) 图(2) (1)如图(1)，AD是ABC的中线.且AB>AC.延长AD至点E.使ED=AD.连接BE.求证： ADC≌EDB. (2)如图(2)，AD是ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB,LBAC=LBCA,求证：AE=2AD 【详解】(1)证明：：AD是ABC的中线 :DB=CD, 8/44 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△ADC和△EDB中， AD=DE ∠ADC=∠BDE, CD=BD AADC≌△EDB(SAS; (2)证明：延长AD至M,使DM=AD,连接CM, B D C E:AD是ABC的中线， M 图(2) :DB=CD, :∠ADB=∠MDC,AD=DM, △ABD≌△MCD(SAS), MC=AB,∠B=∠MCD, AB=CE, :CM=CE, :∠BAC=∠BCA, :LB+LBAC=LACB+∠MCD, 即∠ACM=∠ACE,且AC=AC,CM=CE, △ACM≌AACE(SAS, :AE=AM, AM =2AD, :AE=2AD. 7综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，△ABC中，若AB=6,AC=4, 点D为BC边上的中点，试求中线AD的取值范围. 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD, 9/44 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 连接BE,如图1.请根据小明同学的方法思考： B D 图1 (1)由己知条件和作辅助线，能得到ADC≌EDB,理由是_ A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS (2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线AD的取值范围为-· 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角 形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中. 【解决问题】 (3)如图2，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，已知AM平分∠BAD,且AM⊥DM,垂足为M, 若AD=5,CD=3,试求AB的长度， M 图2 【详解】解：(1)：AD是BC边上的中线， .CD=BD, 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE, AD=DE △ADC≌aEDB(SAS), 故选：A (2)AB-BE<AE AB+BE,6-4<AE<6+4, 2<AE<10, 1 :D=24E, .1<AD<5, 故答案为：I<AD<5; 10/44 专题02 构造全等三角形的常用方法 题型一：利用“倍长中线法”构造全等三角形 题型二：利用“截长补短法”构造全等三角形 题型三：倍长中线法+婆罗摩笈多模型 【题型一】利用“倍长中线法”构造全等三角形 方法指导： 条件：如图，为的中线 关键词：中线、中点 策略：延长中线至 ，使得，连接 结论： 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． (2)如图2，是的中线，且，求证：． 2.【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图，在中，，求出边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围，从而得到AD的取值范围： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 解：________ 3.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明． “”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作）， （_________ ） （中点定义） （_________ ）， （2）探究得出的取值范围是_____； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 4.（1）阅读理解：如图①，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为 ； （2）如图②，在中，，，是的中线，，，且，求的长； 5.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，是边上的中线，若，，求边的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，请根据小琪的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．SSS    B．SAS    C．AAS （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是_____________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，．试说明：． 6.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 7.综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 8．【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 9.我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 10．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 11．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【题型二】利用“截长补短法”构造全等三角形 方法指导 适用范围：证明线段的和差关系，如></m> 策略:①截长：在长边上截取一边等于一短边，证剩下的短边等于另一短边 ②补短：延长其中一短边使延长线等于另一短边，证延长之后的边等于长边 12．（23-24八年级上·安徽·单元测试）“截长补短”的方法适用于求证线段的和差倍分关系．“截长”：指在长线段中截取一段等于已知线段；“补短”：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程．已知：如图，中，，，求证：． 13.已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 14．（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    【题型三】倍长中线法+婆罗摩笈多模型 15.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长到M，使得 ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是　 　； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明． 16.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，在中，点在上，且，过点作交于点．若，求证：平分． 思路分析：当题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑用倍长法构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解题思路： 思路1：考虑倍长，如图②，延长至点，使，连接； 思路2：考虑倍长，如图③，延长至点，使，连接． (1)请挑选其中一种解题思路，给出证明． (2)如图，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，已知，求的长． 17.下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日星期五，今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则BC边上的中线AD的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长AD至点E，使，连接BE，可证得，进而可求得中线AD的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边AB，AC为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是______； (2)图1中，的取值范围是______； (3)求图2中的长． 18.下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 2024年10月11日  星期五今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则边上的中线的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点．使，连接，可证得，进而可求得中线的取值范围． 该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边，为边分别向外作等腰和等腰，其中，，．是的中点，连接，．当时，求的长． 任务： (1)图1中与的数量关系是__________． (2)图1中，的取值范围是__________． (3)求图2中的长． 19.（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______，中线的取值范围是______； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以，为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系． 20．【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 21．已知和都是等腰直角三角形，，连接，交于点F．    (1)如图1，当时，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，若此时，F为BE中点，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $