专题02 构造全等三角形的常用辅助线作法（高效培优专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题02 构造全等三角形的常用辅助线作法 作法一：利用“角平分线”构造全等三角形 作法二：利用“截长补短法”构造全等三角形 作法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形 作法一：利用“角平分线”构造全等三角形 1．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图，作CE⊥AB，CF⊥AD的延长线，垂足分别为E、F， ∴∠BEC＝∠DFC＝90°， ∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°， ∴∠ABC＝∠CDF， 在△CBE和△CDF中， ， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴FC＝EC， ∴点C在∠DAB的角平分线上． 2．如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，点D为BF上一点，满足∠ADC＝∠ABC，求证：DA＝DC． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：过点D作DG⊥CE，垂足为E，过点D作DH⊥AB，垂足为H， ∴∠DGC＝∠DHA＝90°， ∵BF平分∠ABE， ∴DG＝DH， ∵∠AMD＝∠CMB，∠ADC＝∠ABC， ∴180°﹣∠ADC﹣∠AMD＝180°﹣∠ABC﹣∠CMB， ∴∠DAH＝∠DCG， ∴△DGC≌△DHA（AAS）， ∴DA＝DC． 3．如图，已知∠MON＝120°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，且OA＜OB．连接AB，以AB为边，在∠MON内部作等边△ABC． （1）求证：点C在∠MON 的角平分线上； （2）连接OC，试探究OA、OB、OC的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）OA+OB＝OC．理由见解答过程． 【解答】（1）证明：过点C作CD⊥OM于点D，过点C作CF⊥ON于点F， ∴∠CDA＝∠CFB＝∠CFO＝90°， 在等边△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝BC， 在四边形CAOB中，∠MON＝120°， ∴∠OAC+∠OBC＝360°﹣∠ACB﹣∠MON＝180°， 又∠CAD+∠OAC＝180°， ∴∠CAD＝∠CBF， 在△CAD与△CBF中， ， ∴△CAD≌△CBF（AAS）， ∴CD＝CF， ∵CD⊥OM，CF⊥ON， ∴点C在∠MON 的角平分线上； （2）解：OA+OB＝OC．理由如下： 由（1）可知：点C在∠MON的角平分线上， ∵∠MON＝120°， ∴∠COF＝∠COD120°＝60°， ∵∠CDA＝∠CFO＝90°， ∴∠OCD＝∠OCF＝30°， ∴OFOC，ODOC， ∵△CAD≌△CBF（AAS）， ∴AD＝BF， ∴OA+OB＝OD﹣AD+OF+BFOC＝OC， 即OA+OB＝OC． 4．（1）如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为 　DB＝DC　 ； （2）如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间的数量关系； （3）如图3，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，求∠ACD的度数． 【答案】（1）DB＝DC； （2）DB＝DC，理由见解答； （3）110°． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∴DB⊥AB，DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DB＝DC； 故答案为：DB＝DC； （2）过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图2， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCF＝180°， ∴∠B＝∠DCF， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DB＝DC； （3）过D点作DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，如图3， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠DCF＝70°， ∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝180°﹣70°＝110°． 5．如图，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，垂足为点Q，连接AP． （1）若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数； （2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求线段AQ、CQ的长度（用含a，b，c的式子表示）． 【答案】（1）60°； （2）AQ，CQ． 【解答】解：（1）过点P作PE⊥BD，垂足为E，过点P作PF⊥BA，交BA的延长线于点F， ∵BP平分∠ABE， ∴PE＝PF， ∵CP平分∠ACE，PQ⊥AC， ∴PQ＝PE， ∴PQ＝PF， ∴AP平分∠CAF， ∵∠BAC＝60°， ∴∠FAC＝180°﹣∠BAC＝120°， ∴∠PAC∠FAC＝60°； （2）在Rt△AFP和Rt△AQP中， ， ∴Rt△AFP≌Rt△AQP（HL）， ∴AQ＝AF， 在Rt△CQP和Rt△CEP中， ， ∴Rt△CQP≌Rt△CEP（HL）， ∴CQ＝CE， 在Rt△BFP和Rt△BEP中， ， ∴Rt△BFP≌Rt△BEP（HL）， ∴BF＝BE， 设AQ＝AF＝x，则CQ＝CE＝AC﹣AQ＝b﹣x， ∴BF＝AB+AF＝c+x，BE＝BC+CE＝a+b﹣x， ∴c+x＝a+b﹣x， 解得：x， ∴AQ，CQ＝b． 6．如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D为BF上一点，∠ABC＝∠ADC （1）如图1，图中与∠DAB相等的角是　∠DCB　 ； （2）判断△ADC形状并证明； （3）如图2过点D作DH⊥AB于点H，若AH＝7，BH＝1，求线段CB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠ADC，∠BPC＝∠APD， ∴∠DAB＝∠DCB， 故答案为：∠DCB； （2）△ADC为等腰三角形， 理由如下：在射线BE上截取BH＝BA，连接DH， 在△ABD和△HBD中， ， ∴△ABD≌△HBD（SAS） ∴DA＝DH，∠DAB＝∠H， ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠H＝∠DCB， ∴DH＝DC， ∴DA＝DC，即△ADC为等腰三角形； （3）作DM⊥BE于M， 在△MBD和△HBD中， ， ∴△MBD≌△HBD（AAS）， ∴BM＝BH＝1，DM＝DH， 在△DAH和△DCM中， ， ∴△DAH≌△DCM（AAS） ∴CM＝AH＝7， ∴CB＝CM﹣BM＝7﹣1＝6． 7．已知：∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，E、F分别是边AB、AC上一点，且∠EDF＝60°，求证：DE＝DF． 方法1：（1）已知∠BAC＝120°，∠EDF＝60°，那么∠BAC+∠EDF＝ 　180°　 ． （2）要证DE＝DF，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道AD为∠BAC的平分线，可过D作辅助线，过D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N． （3）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法1外，还可以在角平分线AD两侧构造全等三角形，在射线AC上取AE′＝AE，连接DE′，并思考△DFE′是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 【答案】（1）180°； （2）补全图形，证明见解答； （3）补全图形，证明见解答． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝120°，∠EDF＝60°， ∴∠BAC+∠DEF＝120°+60°＝180°， 故答案为：180°． （2） 证明：如图1，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N， 则∠DME＝∠DNF＝90°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴DM＝DN， ∵∠MED+∠AFD＝360°﹣（∠BAC+∠DEF）＝180°，∠NFD+∠AFD＝180°， ∴∠MED＝∠NFD， 在△MED和△NFD中， ， ∴△MED≌△NFD（AAS）， ∴DE＝DF． （2）证明：如图2，在射线AC上取AE′＝AE，连接DE′， ∵∠DEA+∠AFD＝360°﹣（∠BAC+∠DEF）＝180°，∠DFE′+∠AFD＝180°， ∴∠DFE′＝∠DEA， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠DAE′＝∠DAE， 在△DAE′和△DAE中， ， ∴△DAE′≌△DAE（SAS）， ∴∠DE′A＝∠DEA，DE′＝DE， ∴∠DFE′＝∠DE′A， ∴DE′＝DF， ∴DE＝DF． 作法二：利用“截长补短法”构造全等三角形 1．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）在AB上取一点M，使得AM＝AH，连接DM， ∵， ∴△AHD≌△AMD（SAS）， ∴HD＝MD，∠AHD＝∠AMD， ∵HD＝DB， ∴DB＝MD， ∴∠DMB＝∠B， ∵∠AMD+∠DMB＝180°， ∴∠AHD+∠B＝180°， 即∠B与∠AHD互补． （2）由（1）∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD+∠B＝180°， ∵∠B+2∠DGA＝180°，∠AHD＝2∠DGA， ∴∠AMD＝2∠DGM， 又∵∠AMD＝∠DGM+∠GDM， ∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM，即∠DGM＝∠GDM， ∴MD＝MG， ∴HD＝MG， ∵AG＝AM+MG， ∴AG＝AH+HD． 2．BD是△ABC的角平分线，E在BC边上，连接DE，且DE＝AD． （1）求证：∠A与∠BED互补； （2）点F在AB边上，连接DF，若∠A+2∠DFB＝180°，探究线段BF、BE、DE之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BM＝BE． 在△BDE和△BDM中， ， ∴△BDE≌△BDM， ∴∠BED＝∠DMB，DE＝DM， ∵DA＝DE， ∴DA＝DM， ∴∠A＝∠DMA， ∵∠DMA+∠DMB＝180°， ∴∠A+∠DEB＝180°， 即：∠A与∠BED互补； （2）结论：BF＝BE+DE． 理由：由（1）：△BDE≌△BDM， ∴∠BED＝∠DMB，DE＝DM， ∵DA＝DE， ∴DA＝DM， ∴∠A＝∠DMA， ∵∠A+2∠DFB＝180°，∠DFM+∠DMA+∠FDM＝180°， ∴∠DFM＝∠FDM， ∴MF＝MD＝DE， ∴BF＝BM+MF＝BE+DE． 3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB＝50°， ∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°； 方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， 在△CDE和△CDM中， ， ∴△CDE≌△CDM（SAS）， ∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC， ∵GD＝DE， ∴GD＝MD， ∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°， ∴∠AEB＝∠DMF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBEABC， ∴∠BDM＝180°ABC﹣∠DMB＝180°ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°， ∴∠EDM＝100°， ∴∠EDC＝50°； （2）证明：∵∠A＝2∠BDF， ∴∠BDM＝2∠BDF， ∴∠FDM＝∠BDF， 在△DGF和△DMF中， ， ∴△DGF≌△DMF（SAS）， ∴GF＝MF， ∴CF＝CM+FM＝CE+GF． ∴CF＝FG+CE． 4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：AE+CD＝AC； （3）求证：OE＝OD． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC＝∠OAB∠BAC，∠OCD＝∠OCA∠ACB， 在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA） ＝180°（∠BAC+∠ACB）＝180°120°＝120°； （2）证明：∵∠AOC＝120°， ∴∠AOE＝∠DOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， 在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图， 在△AOE和△AOF中， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴∠AOE＝∠AOF， ∴∠AOF＝60°， ∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°， 又∠COD＝60°， ∴∠COD＝∠COF， 在△COD和△COF中， ， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴CD＝CF． 又∵AF＝AE， ∴AC＝AF+CF＝AE+CD， 即AE+CD＝AC； （3）证明：∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF， ∴OE＝OF，OF＝OD， ∴OE＝OD． 5．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC＝AB+BD； （2）如图④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠C＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）详见解析； （2）BE＝DC+CE，详见解析． 【解答】（1）证明：方法一， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD，AB＝AE， ∴△BAD≌△EAD（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD； 方法二： ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴AC＝AE＝AB+BE＝AB+BD； （2）解：BE＝DC+CE， 如图，在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF， ∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴2∠DAE+∠AED＝180°， ∵∠DAE+∠B＝90°， ∴2∠DAE+2∠B＝180°， ∴∠AED＝2∠B， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AED＝∠C， ∵∠BED＝∠AEB+∠AED＝∠CDE+∠C， ∴∠AEB＝∠CDE， 在△AEF和△EDC中， EF＝DC，∠AEF＝∠EDC，AE＝ED， ∴△AEF≌△EDC（SAS）， ∴AF＝EC，∠AFE＝∠C＝2∠B， ∵∠AFE＝∠B+∠BAF， ∴∠B＝∠BAF， ∴BF＝AF， ∴BF＝CE， ∵BE＝BF+EF， ∴BE＝DC+CE． 6．问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为 　45°　 ； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）∠A＝∠C，理由见解析； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由见解析； ②45°； （3）∠AEB的度数为90°α或90°α． 【解答】解：（1）∠A＝∠C； 理由：∵∠C+∠AEC+∠CDE＝180°，∠A+∠ABC+∠ADB＝180°， 又∵∠ABC＝∠AEC＝a，∠ADB＝∠CDE， ∴∠A＝∠C； （2）①BF＝BE，BF⊥BE，理由如下： 由（1）知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝90°＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝90°， 即∠FBE＝90°， ∴BF⊥BE； ②∵△ABF≌△CBE， ∴BF＝BE， ∴∠ABF＝∠CBE， ∴∠FBE＝∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝45°， 故答案为：45°； （3）∠AEB＝90°α或90°α，理由如下： 当点D在线段BC上时，如图3，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF， 由（1）知：∠A＝∠C， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝α， 即∠FBE＝α， ∴∠AEB＝∠EFB90°α； 当点D在CB的延长线上时，在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF，如图4， 由（1）知：∠BAF＝∠ECB， 在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE， 又∵∠ABC＝a＝∠ABF+∠FBC， ∴∠CBE+∠FBC＝α， 即∠FBE＝α， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠AEB＝180°﹣∠BEF＝180°90°α， 综上所述，∠AEB的度数为90°α或90°α． 作法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形 1．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD的取值范围． 【答案】1＜BD＜5． 【解答】解：如图所示，延长BD到E，使DE＝BD，连接AE， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE＝BC， 在△ABE中，有AB﹣AE＜BE＜AB+AE， 即2＜2BD＜10， ∴1＜BD＜5． 2．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图1，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，求AB的取值范围．方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明△ECD≌△ABD，并直接写出AB的取值范围； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM． 【答案】方法一：见解答过程；9＜AB＜19；方法二：见解答过程；9＜AB＜19； （2）证明见解答过程． 【解答】解：方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE，如图1①所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（SAS）， ∴EC＝AB， ∵AC＝5，AD＝7， ∴AE＝AD+DE＝2AD＝14， 在△ACE中，由三角形三边之间的关系得：AE﹣AC＜EC＜AE+AC， ∴14﹣5＜EC＜14+5， 即9＜EC＜19， ∵EC＝AB， ∴AB的取值范围是：9＜AB＜19； 方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E，如图1②所示： ∴∠DCE＝∠B，∠E＝∠BAD， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ECD和△ABD中， ， ∴△ECD≌△ABD（AAS）， ∴EC＝AB， ∵AC＝5，AD＝7， ∴AE＝AD+DE＝2AD＝14， 在△ACE中，由三角形三边之间的关系得：AE﹣AC＜EC＜AE+AC， ∴14﹣5＜EC＜14+5， 即9＜EC＜19， ∵EC＝AB， ∴AB的取值范围是：9＜AB＜19； （2）证明：延长BM到H，使MH＝MB，连接GH，DH，BD，如图2所示： ∵点M为EF的中点， ∴FM＝EM， 在△FMH和△EMB中， ， ∴△FMH≌△EMB（SAS）， ∴FH＝BE，∠FHM＝∠EBM， ∴FH∥BC， ∴∠CFH＝∠C， 在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠DFH+∠CFH＝180°， ∴∠A＝∠DFH， ∵AB＝BE，BE＝FH， ∴AB＝FH， 在△ABD和△FHD中， ， ∴△ABD≌△FHD（SAS）， ∴BD＝HD， ∵HM＝BM， ∴DM⊥BM． 3．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围． （1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 　C　 ． A．AAS B．SSS C．SAS D．HL （2）BC边上的中线AD的取值范围是 　4＜AD＜11　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC． 【拓展提升】 如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　4　 ． 【答案】【问题情境】（1）C；（2）4＜AD＜11； 【初步运用】证明见解答过程； 【拓展提升】4． 【解答】【问题情境】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：C； （2）解：△ABC中，若AB＝15，AC＝7， 由（1）可知：△ADC≌△EDB， ∴AC＝DE＝7， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD 在△ABE中，由三角形三边之间的关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即15﹣7＜2AD＜15+7， ∴8＜2AD＜22， ∴4＜AD＜11， ∴BC边上的中线AD的取值范围是：4＜AD＜11， 故答案为：4＜AD＜11； 【初步运用】证明：延长AD到H，使DH＝AD，连接BH，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDH和△CDA中， ， ∴△BDH≌△CDA（SAS）， ∴BH＝AC，∠H＝∠EAF， ∵∠EAF＝∠EFA，∠EFA＝∠BFH， ∴∠H＝∠BFH， ∴BF＝BH， ∴BF＝AC； 【拓展提升】解：延长HE到K，使EK＝EG，连接BK，如图3所示： 设AF＝a， ∵AB＝15， ∴BF＝AB﹣AF＝15﹣a， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵EF∥AD， ∴∠AFG＝∠FAD，∠G＝∠CAD， ∴∠AFG＝∠G， ∴AG＝AF＝a， ∵AC＝7， ∴CG＝AC+AG＝7+a， ∵点E为边BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEK和△CEG中， ， ∴△BEK≌△CEG（SAS）， ∴BK＝CG＝7+a，∠K＝∠G， ∵∠AFG＝∠G，∠AFG＝∠BFK， ∴∠K＝∠BFK， ∴BF＝BK， ∴15﹣a＝7+a， 解得：a＝4， ∴AF＝a＝4． 故答案为：4． 4．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　B　 ． A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL （2）求得AD的取值范围是 　C　 ． A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， ∵在△ADC和△MDB中 ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． 5．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　SAS　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　1＜AD＜7　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（SAS）； （2）由题意可得：AC＝BE＝6， ∴8﹣6＜AE＜8+6， ∴2＜2AD＜14， ∴1＜AD＜7． （3）延长AD交EC于点F，如图： ∵∠B＝90°，CE⊥BC， ∴∠ABC＝∠DCF 在△ABD和△FCD中． ∴△ABD≌△FCD（ASA）， ∴CF＝BA＝3，AD＝DF， ∴AE＝FE， ∴AE＝CE+CF＝9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 构造全等三角形的常用辅助线作法 作法一：利用“角平分线”构造全等三角形 作法二：利用“截长补短法”构造全等三角形 作法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形 作法一：利用“角平分线”构造全等三角形 1．如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 2．如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，点D为BF上一点，满足∠ADC＝∠ABC，求证：DA＝DC． 3．如图，已知∠MON＝120°，点A在射线OM上，点B在射线ON上，且OA＜OB．连接AB，以AB为边，在∠MON内部作等边△ABC． （1）求证：点C在∠MON 的角平分线上； （2）连接OC，试探究OA、OB、OC的数量关系，并证明你的结论． 4．（1）如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为 　 　 ； （2）如图2，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°．当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间的数量关系； （3）如图3，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，求∠ACD的度数． 5．如图，BP，CP分别是△ABC的一个内角及一个外角的平分线，PQ⊥AC，垂足为点Q，连接AP． （1）若∠BAC＝60°，求∠PAC的度数； （2）设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求线段AQ、CQ的长度（用含a，b，c的式子表示）． 6．如图，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D为BF上一点，∠ABC＝∠ADC （1）如图1，图中与∠DAB相等的角是　 　 ； （2）判断△ADC形状并证明； （3）如图2过点D作DH⊥AB于点H，若AH＝7，BH＝1，求线段CB的长． 7．已知：∠BAC＝120°，AD为∠BAC的平分线，E、F分别是边AB、AC上一点，且∠EDF＝60°，求证：DE＝DF． 方法1：（1）已知∠BAC＝120°，∠EDF＝60°，那么∠BAC+∠EDF＝ 　 　 ． （2）要证DE＝DF，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道AD为∠BAC的平分线，可过D作辅助线，过D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N． （3）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法1外，还可以在角平分线AD两侧构造全等三角形，在射线AC上取AE′＝AE，连接DE′，并思考△DFE′是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 作法二：利用“截长补短法”构造全等三角形 1．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 2．BD是△ABC的角平分线，E在BC边上，连接DE，且DE＝AD． （1）求证：∠A与∠BED互补； （2）点F在AB边上，连接DF，若∠A+2∠DFB＝180°，探究线段BF、BE、DE之间满足的等量关系，并加以证明． 3．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数； （2）求证：CF＝FG+CE． 4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：AE+CD＝AC； （3）求证：OE＝OD． 5．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC＝AB+BD； （2）如图④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠C＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明． 6．问题情境： 已知：射线AB和射线CB相交于点B．点D在射线CB上，作射线AD，在射线AD上取一点E，连接CE，使∠AEC＝∠ABC． 任务一：当点D在线段CB上时， （1）如图1，请写出∠A与∠C的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当∠AEC＝∠ABC＝90°，AB＝CB时，连接BE．在射线AD上取一点F，使AF＝CE，连接BF． ①判断BF与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； ②∠AEB的度数为 　 　 ； 任务二：当点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合）． （3）如图3，当AB＝CB，∠AEC＝∠ABC＝α（90°＜α＜180°），且AF＝CE时，请直接写出∠AEB的度数（用含α的式子表示）． 作法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形 1．如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD的取值范围． 2．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． 如图1，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，求AB的取值范围．方法一：延长AD到E使DE＝AD，连接CE；方法二：过点C作AB的平行线交AD的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明△ECD≌△ABD，并直接写出AB的取值范围； （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD＝DF，M为EF的中点，求证：DM⊥BM． 3．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围． （1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 　 　 ． A．AAS B．SSS C．SAS D．HL （2）BC边上的中线AD的取值范围是 　 　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC． 【拓展提升】 如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　 　 ． 4．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 　 　 ． A．SSS　　　　　　B．SAS　　　　　　C．AAS　　　　　　　　D．HL （2）求得AD的取值范围是 　 　 ． A．6＜AD＜8　　　B．6≤AD≤8　　C．1＜AD＜7　　D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 5．【问题提出】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程． （1）求证：△ADC≌△EDB． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD， ∵D是BC的中点（已知）， ∴CD＝BD（中点定义）， 在△ADC和△EDB中， ∵， ∴△ADC≌△EDB（ 　 　 ）． （2）探究得出AD的取值范围是 　 　 ； 【问题解决】 如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝6，且∠ADE＝90°，求AE的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$