【一线教师精品】高二数学北师大版选修2-2同步精练：第3章 导数应用 (3份打包)

1.函数f(x)＝x·ln x在(0,6)上是(　　)． A．单调增函数 B．在 上是减少的，在 上是增加的 C．单调减函数 D．在 上是增加的，在 上是减少的 2．当x＞0时，f(x)＝x＋ ，则f(x)的单调递减区间是(　　)． A．(2，＋∞) B．(0,2) C．( ，＋∞) D．(0， ) 3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是增函数(　　)． A． B．(π，2π) C． D．(2π，3π) 4．下列命题成立的是(　　)． A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)＞0 B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数 5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有(　　)． A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b) 6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)． A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1) 7．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的范围为________． 8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为__________． 9．求证：方程x－ sin x＝0只有一个根x＝0.[来源:学科网ZXXK] 10．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2： (1)若a＝ ，求f(x)的单调区间； (2)若x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围． 参考答案 1.答案：B　解析：f′(x)＝(x·ln x)′＝(x)′ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1， ∴当0＜x＜ 时，f′(x)＜0；当 ＜x＜6时，f′(x)＞0，[来源:学|科|网] ∴f(x)＝xln x在 上是减少的，在 上是增加的． 2.答案：D　解析：f′(x)＝1－ ，令f′(x)＝1－ ＜0，得 且x≠0，又x＞0，∴0＜x＜ ，∴函数f(x)的单调递减区间为(0， )． 3.答案：B　解析：y′＝－xsin x，∵y＝xcos x－sin x是增函数， ∴y′＞0.∵x＞0，∴sin x＜0，而sin x在(π，2π)内小于0，∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)内是增函数． 4.答案：B　解析：若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内单调与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．[来源:Zxxk.Com] 5.答案：B　解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0且x＞0，f(x)≥0， ∴f′(x)≤ ，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)． 6.答案：B　解析：由(x－1)f′(x)≥0，得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减或恒为常数．故f(0)＋f(2)≥2f(1)． 7.答案：a≥1　解析：由已知a＞ 在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g(x)＝ ， ∴g′(x)＝ ＜0(x＞1)， ∴g(x)＝ 在区间(1，＋∞)内单调递减， ∴g(x)＜g(1)． ∵g(1)＝1， ∴ ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a≥1. 8.答案：(－∞，2]　解析：令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 9.答案：证明：设f(x)＝x－ sin x，x∈(－∞，＋∞)， 则f′(x)＝1－ cos x＞0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 而当x＝0时，f(x)＝0， ∴方程x－ sin x＝0有唯一的根x＝0. 10.解：(1)a＝ 时，f(x)＝x(ex－1)－ x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a. 若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而