公切线问题 讲义-2022届高三数学二轮微专题

公切线问题——通解通法 公切线问题可先假设直线方程与切点，再代入f(x)、f’(x)求解. 〖例1〗[长春市普通高中2021届高三质量检测（二）·节选]已知函数f(x)=ax2，g(x)=lnx，若曲线y=f(x)与y=g(x)有两条公切线，求a的取值范围. 解：设一条公切线与f(x)的交点为，与g(x)的交点为， 对f(x)=ax2，有f’(x)=2ax，∴， 对g(x)=lnx，有g’(x)=，∴， 两切线方程对比系数后得， 由②式得， 将③代入①得，即x1=2x2(1-lnx2)………………④， 将④代入①中并整理得，即， ∵f(x)与g(x)有两条公切线 ∴有两实根 令F(x)=4x2(1-lnx)(x>0)， ∴F’(x)=4x-8xlnx=4x(1-2lnx)(x>0) ∴F’(x)<0的解为x>， ∴F(x)max=F(x)极大=F()=2e>0 ∴F(x)=<2e时，=F(x)有两解 ∴<2e 当x→0时，x2→0，1-lnx→+∞，∴f(x→0)→0； 当x→+∞时，x2→+∞，1-lnx→-∞，∴f(x→0)→-∞； ∴当F(x)∈(0,2e)时，=F(x)有两解，即∈(0,2e)， ∴实数a的取值范围为. 我的笔记：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 〖例2〗[2016全国Ⅱ卷]若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=______________. 解：对于y=lnx+2，y’=，设直线与其切点为(x1,lnx1+2)， ∴l切:y= ，即k=，b=， 对于y= ln(x+1)，y’=，设直线与其切点为(x2,ln(x2+1))， ∴l切:y= ，即k=，b=， 将x1消去得b=1-lnk；将x2消去得b=-lnk-1+k； 联立解得k=2，b=1-ln2 . 我的笔记：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 〖例3〗若曲线y=lnx与曲线y=x2+2x+a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是__________. 解：对于y=lnx，y’= (x>0)，设切点为(x1,lnx1)， ∴l切:y= ， 对于y=x2+2x+a(x<0)，y’=2x+2，设切点为， ∴l切:y=， ∴对比系数可得， 由①得x1= ………………③， 将②整理得a=，将③代入其中得a=， 令F(x)=x2-ln(2x+2)-1(x∈(-1,0))，∴得a=F(x)有解 ∴F’(x)=2x- (x∈(-1,0))， 由函数特征知y1=2x与y2=均在(-1,0)上单调递增 ∵F’(x)在定义域内单调递增 ∴F’(x)max=F’(0)= <0 ∴F’(x)<0在定义域内恒成立 ∴F(x)在(-1,0)上单调递减 ∴F(x)min=F(0)=-ln2-1=-ln2e 当x→-1时，F(x)→+∞，所以F(x)的值域为(-ln2e,+∞) ∴实数a的取值范围为. 我的笔记：_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 总结一下，这类问题就是“设而不求”，即假设切点坐标，再根据切点处切线斜率分别写出切线方程，通过对比系数得出关于y=kx+b中k、b的关系，再根据题目得出具体关系，一般消去所假设两个切点中的一个的量，剩下的主元的取值范围即为新函数的定义域，再根据所得函数对题目进行求解. 一般步骤： 对于y=f(x)，有y’=f’(x)，设切点为(x1,f(x1))，有l切:y=f’(x1)x-[f’(x1)-1]f(x1)； 对于y=g(x)，有y’=g’(x)，设切点为(x2,g(x2))，有l切:y=g’(x2)x-[g’(x2)-1]g(x2)； ∴对比系数得 . 之后再根据题目需要进行转化. 【课后作业】 1.[2019年全国Ⅱ卷·节选]已知函数f(x)=lnx，设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx