拉格朗日中值定理形式题目解法 讲义-2022届高三数学二轮微专题

班级：____________ 姓名：____________ 座号：_____________ 拉格朗日中值定理形式题目解法——高中导数 拉格朗日中值定理（高等数学）： 如果函数f(x)满足以下条件： (1)f(x)在闭区间[a,b]上连续； (2)f(x)在开区间(a,b)内可导； 那么至少存在一点，使得成立. 注：本文只讨论这一形式的题目，即拉格朗日中值定理在高中命题中的应用。 【例1】[2020年全国Ⅱ卷文科·节选]已知函数f(x)=2lnx+1，设a>0，讨论函数的单调性.（直接+放缩） 解：由题意得g(x) ∴得g’(x) = (x>0) 即g’(x) = 令h(x)=lnx+1-x(x>0)（引入放缩） ∴可得h’(x) = (x>0) ∴h’(x)>0的解为0<x<1 ∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增 ∴h(x)max=h(x)极大=h(1)=0 ∴h(x)≤0在(0,+∞)上恒成立 ∵a>0 ∴ ∵(x-a)2≥0恒成立 ∴g’(x)<0恒成立 ∴g(x)在（0，+）上单调递减. 我的笔记：_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 【例2】[2018年全国Ⅰ卷理科·节选]已知函数f(x) = ，若f(x)存在两个极值点x1、x2，证明： < a-2 . （直接+放缩） 解:由题意得f’(x) = (x>0) ∵x1、x2为f(x)的两个极值点 ∴x1、x2分别对应-x2+ax-1=0的两个根 设0<x1<x2，有x1+x2=a，x1x2=1 ∴0<x1<1<x2<a，x1 = ∴ = =-2 ∴<a-2等价于<1，即2lnx2<x2 - ∴需证明2lnx2<x2 - 令h(x)=(x>1) （引入放缩） ∴h’(x)=<0恒成立 ∴h(x)在（1，+∞）上单调递减 ∴h(x)max=h(1)=0 ∵x>1 ∴h(x)<h(x)max=0 ∴<0，即2lnx< . ∵ ∴2lnx2<，即<1得证. ∴<a-2得证. 我的笔记：_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 【例3】[陕西咸阳2021一模]设函数f(x)=xex，g(x) = ，设对于任意的x1、x2∈[1,e]，都有恒成立，求实数m的取值范围.（同构） 解:有等价于g(x1) - g(x2) > ， 即等价于 令h(x)=g(x)+ 若需要成立，则需要函数h(x)在区间[1,e]上单调递减成立. 由题意得g(x)= ∴h(x) = ，h’(x) = ∵h(x)在[1,e]上单调递减 ∴在[1,e]上恒成立 ∴得m+1≥(1-x)ex 令，有 ∵x∈[1,e] ∴恒成立 ∴ ∵m+1≥(1-x)ex ∴m+1≥ ∴m+1≥0 ∴实数m的取值范围为 . 我的笔记：_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 主编说： 其实这些题目都有一个共同点，即看似复杂，实则“高起点、低落点”，许多考生被表象所迷惑，认为太难了，“不是我的菜”，匆匆扫一眼题目就已经从心理上放弃了，虽会手头上挣扎一下，但打心底就认为自己做不出了，于是会出现“考时懵圈、考后大悟”的现象。 所谓“都是假象”，应对方法其实很简单，就是一句话：不畏难，迎难而上，题中的一切都是最好的安排！ 〖练习〗（兼解法补充） [2021江西重点中学盟校联考·节选]已知f(x)=lnx，设0<x1<x2，f’(x)为f(x)的导函数，试比较与f’(x1)+f’(x2)的大