第14讲 双曲线（知识详解+9典例+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第14讲 双曲线（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：双曲线的定义 知识点02：双曲线的标准方程及其推导过程 知识点03：双曲线的几何性质 知识点04：双曲线定义的应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：双曲线定义的理解 题型02：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型03：求双曲线的标准方程 题型04：双曲线的焦点坐标与焦距 题型05：双曲线的范围、对称性 题型06：双曲线的顶点、实轴、虚轴 题型07：已知方程求双曲线的渐近线 题型08：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型09：根据离心率求双曲线的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【例1】已知动点满足，其中，判断动点的轨迹，并说明理由。 【知识点02】双曲线的标准方程及其推导过程 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 【例2】已知双曲线焦点为，且双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值为6，求双曲线的标准方程。 【知识点03】双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝± y＝± 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 【例3】求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 【知识点04】双曲线定义的应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝ (e>1)时，这个点的轨迹是双曲线． 【例4】已知双曲线，点在双曲线上，且，求的值。 【题型01】双曲线定义的理解 【典例1-1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【变式1-1】（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【变式1-2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 【变式1-3】(多选)已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 【题型02】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【典例2-1】（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式2-1】设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________． 【变式2-2】（多选）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【变式2-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【题型03】求双曲线的标准方程 【典例3-1】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 【变式3-3】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 【题型04】双曲线的焦点坐标与焦距 【典例4-1】（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）双曲线的焦距为______. 【变式4-2】（24-25高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的焦距为，则的值为______． 【变式4-3】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【题型05】双曲线的范围、对称性 【典例5-1】在双曲线中，的取值范围是______． 【变式5-1】已知双曲线与椭圆共焦点，则的值为_______________，设为双曲线的一个焦点，是上任意一点，则的取值范围是_______________. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【变式5-3】（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【题型06】双曲线的顶点、实轴、虚轴 【典例6-1】（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【变式6-3】求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型07】已知方程求双曲线的渐近线 【典例7-1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二下·四川成都·期末）双曲线的渐近线方程为______． 【变式7-2】（多选）（25-26高二上·江西九江·期末）设双曲线：，则（   ） A．的虚轴长为1 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【变式7-3】设双曲线，，是其两个焦点，点P在双曲线右支上.若， (1)求双曲线的渐近线方程. (2)求的面积. 【题型08】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【典例8-1】（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【变式8-1】（多选）（24-25高二下·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【变式8-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【变式8-3】已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 【题型9】根据离心率求双曲线的标准方程 【典例9-1】已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为______. 【变式9-3】（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____． （2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____． （3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____． 知识点01双曲线核心定义（必背） 1. 文字定义 平面内与两个定点（焦点）的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹为双曲线。 2. 符号定义（核心公式） 设焦距，定值常数为，则双曲线上任意动点满足： 3. 定义取值辨析（易错点） ① ：轨迹为线段的垂直平分线； ② ：轨迹为两条以焦点为端点的射线； ③ ：无轨迹（违背三角形三边关系）； ④ 无绝对值： 仅对应双曲线右支， 仅对应左支。 知识点02双曲线标准方程（必考） 统一核心关系式：（与椭圆严格区分） 1. 焦点在x轴上 标准方程： 焦点坐标： 对称轴：x轴、y轴、原点中心对称 2. 焦点在y轴上 标准方程： 焦点坐标： 3. 方程判定技巧 看正项变量定焦点位置：项为正，焦点在x轴；项为正，焦点在y轴。 知识点03双曲线完整几何性质 以核心模型 为例 1. 取值范围 ，y可取任意实数 2. 顶点与轴长 顶点坐标： 实轴长：，虚轴长： 3. 渐近线（双曲线独有核心考点） 渐近线方程： 快速求法：将标准方程右侧1改为0，化简即可得到渐近线。 4. 离心率 公式： 推导变形： 性质：离心率越大，双曲线开口越开阔；越接近1，开口越狭窄。 知识点04双曲线核心应用结论 1. 焦点距离最值结论 双曲线上任意一点到对应焦点的最小距离：，无最大值。 （定义求值题必须验证该范围，排除增根） 2. 焦点三角形常用结论 设点为双曲线上任意一点，，则焦点三角形面积： 3. 定义核心解题思路 利用整体代换，求解动点焦点距、轨迹方程、参数取值，无需单独求解点坐标。 知识点05高频易错点总结（考场避坑） 1. 公式混淆：双曲线，椭圆，切忌记反； 2. 定义遗漏：必须满足，不满足则无双曲线轨迹； 3. 范围忽略：求解焦点距离后，必须验证，舍去不合理增根； 4. 渐近线记错：焦点在y轴的双曲线，渐近线为，切勿通用公式； 5. 正负区分：标准方程中，正项对应焦点所在轴，负项对应虚轴。 一、单选题 1．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 5．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 10．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 11．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 三、填空题 12．（25-26高二上·四川泸州·期末）双曲线的实轴长为_______________． 13．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 16．（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 17.已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 18．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 双曲线（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：双曲线的定义 知识点02：双曲线的标准方程及其推导过程 知识点03：双曲线的几何性质 知识点04：双曲线定义的应用 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：双曲线定义的理解 题型02：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型03：求双曲线的标准方程 题型04：双曲线的焦点坐标与焦距 题型05：双曲线的范围、对称性 题型06：双曲线的顶点、实轴、虚轴 题型07：已知方程求双曲线的渐近线 题型08：求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型09：根据离心率求双曲线的标准方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意点： (1)常数要小于两个定点的距离． (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 【例1】已知动点满足，其中，判断动点的轨迹，并说明理由。 解：由题意得：定点间距，定值。 满足条件：，符合双曲线定义的取值要求。 因此动点的轨迹是以为焦点的双曲线。 结论：轨迹为双曲线。 【知识点02】双曲线的标准方程及其推导过程 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 注意点： (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 【例2】已知双曲线焦点为，且双曲线上一点到两焦点距离差的绝对值为6，求双曲线的标准方程。 解：1. 定参数：由题意得，焦距 2. 求： 3. 定焦点位置：焦点在轴上，代入标准方程： 结论：双曲线标准方程为。 【知识点03】双曲线的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝± y＝± 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 注意点： (1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 【例3】求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 解：由方程得：，即 1. 实轴长：，虚轴长： 2. 求： 3. 焦点坐标： 4. 离心率： 5. 渐近线方程： 结论：实轴长4，虚轴长，焦点，离心率2，渐近线。 【知识点04】双曲线定义的应用 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝ (e>1)时，这个点的轨迹是双曲线． 【例4】已知双曲线，点在双曲线上，且，求的值。 解：1. 提取参数：，由双曲线定义得： 2. 代入已知： 解得： 或 3. 范围取舍（关键得分点）： 双曲线上任意一点到焦点的距离最小值为，，。 ，不符合实际，舍去。 结论：。 【题型01】双曲线定义的理解 【典例1-1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可知，，再代入求解即可． 【详解】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ， ， 则． 故选：B． 【变式1-1】（25-26高二上·宁夏·期末）已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（    ） A．10 B．2 C．2或10 D．14 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以，所以， 由双曲线的定义可得，即， 可得或， 又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，， 所以或. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 【答案】6 【分析】先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【详解】双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6 【变式1-3】(多选)已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 【答案】BC 【分析】利用双曲线定义即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知， 即，解得或； 故选：BC. 【题型02】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【典例2-1】（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【分析】由双曲线定义可得，从而求出，得到，求出答案. 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 【变式2-1】设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________． 【答案】 【分析】由利用双曲线的定义，得到，利用余弦定理，求得，得到，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 因为是该双曲线上一点，且，可得， 即， 在中，可得， 可得， 所以的面积为. 故答案为：. 【变式2-2】（多选）已知左、右焦点分别是，的双曲线上有一点（，），且，则（    ） A． B． C．的面积为31 D．的周长为 【答案】AD 【分析】根据同角正弦函数与余弦函数关系即可判断出A答案；根据题意可知a、b、c的值，再根据双曲线定义即可判断出B答案；将A、B中的信息带入三角形的面积公式即可判断C答案，根据定义计算出的取值即可得出D答案. 【详解】由题知，，则．因为在第一象限，所以． 在中，因为，所以，A正确； 且，可得，B错误； 所以，C错误； 因为，所以， 故的周长为，D正确． 故选：AD. 【变式2-3】（2025高二上·全国·专题练习）已知点分别是双曲线的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题利用双曲线的定义求解线段长，进一步求焦点三角形的面积. 【详解】由，可知. 又，所以边上的高 所以. 【题型03】求双曲线的标准方程 【典例3-1】（24-25高三上·河北·期中）已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目信息可求出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又因为离心率为， 即，解得， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式3-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点坐标为，则双曲线的标准方程为____________. 【答案】 【分析】根据题目条件求出代入即可求出标准方程. 【详解】 ，代入由右焦点得，， 代入，故， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再结合焦点在轴上即可求出答案； （2）设双曲线的方程为，利用待定系数法即可求出答案. 【详解】（1）依题意可得，所以， 又焦点在x轴上，所以椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 依题意得， 解得，， 所以所求双曲线的标准方程为. 【题型04】双曲线的焦点坐标与焦距 【典例4-1】（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 故选：A 【变式4-1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）双曲线的焦距为______. 【答案】8 【分析】根据双曲线方程即可求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以双曲线的焦距为8. 故答案为：8. 【变式4-2】（24-25高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的焦距为，则的值为______． 【答案】 【分析】根据双曲线的焦距可求得的值. 【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，则，，， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 【题型05】双曲线的范围、对称性 【典例5-1】在双曲线中，的取值范围是______． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 【变式5-1】已知双曲线与椭圆共焦点，则的值为_______________，设为双曲线的一个焦点，是上任意一点，则的取值范围是_______________. 【答案】 【分析】第一空：根据双曲线的半焦距的平方等于椭圆的半焦距的平方，解方程即可求出的值； 第二空：设，不妨设，求出的表达式，利用双曲线的范围求出的取值范围. 【详解】解析、，所以； 设，不妨设，所以 因为或，所以，故填、； 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的半焦距公式，考查了双曲线的范围，考查了数学运算能力. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期末）已知曲线上存在四个点，使四边形是正方形，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，根据对称性可求出，将点坐标代入方程可得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】设， 由题意及对称性可得， 则， 即，即， 由曲线的方程可得， 关于的方程需在上有解， 易知，即时，有解， 因为，所以，解得，即或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：.    【变式5-3】（24-25高三上·江苏镇江·阶段检测）双曲线的右焦点，过原点的直线与相交于P，Q两点，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得，由双曲线的定义及对称性可得，由此可求，进而可得的面积． 【详解】因为双曲线，所以，设左焦点为， 由题意可知，关于原点对称，所以， 由双曲线的对称性可得， 由双曲线的定义可得， 所以，可得， 又， 所以， 所以的面积为． 故选：B． 【题型06】双曲线的顶点、实轴、虚轴 【典例6-1】（25-26高二上·广西百色·期末）双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·山西晋城·期末）已知双曲线：，则双曲线的虚轴长与实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得双曲线的标准方程，通过标准方程即可求得实轴长和虚轴长，进而可求虚轴长与实轴长之比. 【详解】由题意得双曲线的标准方程为， 则虚轴长为，实轴长为， 所以其虚轴长与实轴长之比为， 故选：A. 【变式6-2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 【变式6-3】求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标. (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. (2)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. (3)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. (4)实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. 【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得的值和焦点的位置，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】（1）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. （2）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. （3）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. （4）解：由双曲线的方程，可化为， 此时双曲线的焦点在轴上，且，所以， 可得双曲线的实轴长为，虚轴的长为，顶点的坐标和. 【题型07】已知方程求双曲线的渐近线 【典例7-1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率求出的值，即可写出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高二下·四川成都·期末）双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【详解】令得：， 所以双曲线的渐近线方程为. 【变式7-2】（多选）（25-26高二上·江西九江·期末）设双曲线：，则（   ） A．的虚轴长为1 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据虚轴、焦距、离心率、渐近线的定义逐一求出. 【详解】双曲线的标准方程为，则，，， 对于A， 虚轴长为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，离心率为，故C错误； 对于D，的渐近线方程为，即，故D正确. 故选：ABD 【变式7-3】设双曲线，，是其两个焦点，点P在双曲线右支上.若， (1)求双曲线的渐近线方程. (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，进而求解即可； （2）由余弦定理结合双曲线的定义求得，然后由三角形面积公式得结论． 【详解】（1）由双曲线，则，故， 即，则双曲线的渐近线方程为. （2）由（1）知，，则， 由双曲线定义得， 两边平方得①， 由余弦定理得， 即②， ②①得：， 所以． 【题型08】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【典例8-1】（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线：，则双曲线的离心率为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】使用双曲线的离心率计算公式求解. 【详解】由题意知，双曲线的离心率为：. 【变式8-1】（多选）（24-25高二下·陕西·期末）已知双曲线：，则（     ） A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线的斜率为 【答案】ABD 【详解】由双曲线，得， 即， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为，离心率， 渐近线的斜率为，故A正确，B正确，C错误，D正确． 【变式8-2】（26-27高三·全国·一轮复习）已知分别为双曲线 的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，则双曲线的离心率的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由题意可得，，， 所以，当且仅当， 即时取等号，所以， 因为，， 所以，所以． 【变式8-3】已知为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，，若，求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】 【分析】思路一：设直线的倾斜角为，则，将离心率表示成的函数即可；思路二：设，根据条件求出，将离心率表示成的函数即可；思路三：由四边形为矩形，得出，设代入双曲线方程，结合离心率公式得出，再由得出该双曲线的离心率的取值范围. 【详解】解法1：如图，设直线的倾斜角为，则． 由，可得，结合余弦定理可得，， 利用双曲线的对称性以及双曲线的定义可知， ， 由于，所以． 解法2：设，由，得， 结合三角函数的定义可得，， 利用双曲线的对称性及双曲线的定义，可得， 则双曲线的离心率． 由于直线，，则，所以， 故． 解法三：设直线的倾斜角为，则，所以， 设双曲线的左焦点为，设点在第一象限内，连接， 由根据双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以，所以， 则，代入双曲线方程可得， 所以，所以， 解得，由 可得， 所以，所以，即. 【题型9】根据离心率求双曲线的标准方程 【典例9-1】已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解. 【详解】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线经过点， 所以，解得． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 【变式9-1】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据焦点到渐近线的距离为1列出等式，求出，然后结合离心率求出，进而可得到双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线方程为（）， 所以渐近线方程为，即. 因为焦点到一条渐近线的距离为1 ，则有， 化简解得，又离心率，所以. 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【变式9-2】已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为______. 【答案】 【分析】根据点到直线的距离为1，结合离心率及的关系即可求解. 【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为，焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又，结合，可得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 【变式9-3】（1）若双曲线过点，离心率，则其标准方程为_____． （2）若双曲线过点，渐近线方程是，则其标准方程为_____． （3）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，则其标准方程为_____． 【答案】 【分析】（1）讨论双曲线的焦点在轴还是在轴上，设出双曲线的方程，即可列出等式解出答案. （2）由渐近线即可设出双曲线的方程，将点坐标代入即可解出答案. （3）由共渐近线，直接设出双曲线的方程，将点点坐标代入即可解出答案. 【详解】（1）由，设，则，． 设所求双曲线的方程为①或②， 把代入①，得，与矛盾，舍去； 把代入②，得． ∴所求双曲线的标准方程为． （2）由渐近线方程，可设所求双曲线的方程为①， 将点的坐标代入①式，得， ∴所求双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为， 点在双曲线上， ∴，即， ∴双曲线的标准方程为． 故答案为：；；. 【点睛】与双曲线有共同渐近线的双曲线系方程可设为 或 知识点01双曲线核心定义（必背） 1. 文字定义 平面内与两个定点（焦点）的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹为双曲线。 2. 符号定义（核心公式） 设焦距，定值常数为，则双曲线上任意动点满足： 3. 定义取值辨析（易错点） ① ：轨迹为线段的垂直平分线； ② ：轨迹为两条以焦点为端点的射线； ③ ：无轨迹（违背三角形三边关系）； ④ 无绝对值： 仅对应双曲线右支， 仅对应左支。 知识点02双曲线标准方程（必考） 统一核心关系式：（与椭圆严格区分） 1. 焦点在x轴上 标准方程： 焦点坐标： 对称轴：x轴、y轴、原点中心对称 2. 焦点在y轴上 标准方程： 焦点坐标： 3. 方程判定技巧 看正项变量定焦点位置：项为正，焦点在x轴；项为正，焦点在y轴。 知识点03双曲线完整几何性质 以核心模型 为例 1. 取值范围 ，y可取任意实数 2. 顶点与轴长 顶点坐标： 实轴长：，虚轴长： 3. 渐近线（双曲线独有核心考点） 渐近线方程： 快速求法：将标准方程右侧1改为0，化简即可得到渐近线。 4. 离心率 公式： 推导变形： 性质：离心率越大，双曲线开口越开阔；越接近1，开口越狭窄。 知识点04双曲线核心应用结论 1. 焦点距离最值结论 双曲线上任意一点到对应焦点的最小距离：，无最大值。 （定义求值题必须验证该范围，排除增根） 2. 焦点三角形常用结论 设点为双曲线上任意一点，，则焦点三角形面积： 3. 定义核心解题思路 利用整体代换，求解动点焦点距、轨迹方程、参数取值，无需单独求解点坐标。 知识点05高频易错点总结（考场避坑） 1. 公式混淆：双曲线，椭圆，切忌记反； 2. 定义遗漏：必须满足，不满足则无双曲线轨迹； 3. 范围忽略：求解焦点距离后，必须验证，舍去不合理增根； 4. 渐近线记错：焦点在y轴的双曲线，渐近线为，切勿通用公式； 5. 正负区分：标准方程中，正项对应焦点所在轴，负项对应虚轴。 一、单选题 1．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程可得，即可求出焦距. 【详解】由题意知，可得，则, 所以双曲线的焦距为. 故选：D. 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 3．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】由点在双曲线上代入解得，确定双曲线的方程即可得到虚轴长为. 【详解】由点在双曲线上，得，解得， 即双曲线方程为，则的虚轴长为． 故选：A． 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据双曲线方程依次求出离心率，实轴长，虚轴长，焦距，进而判断. 【详解】对于双曲线，，，则， 离心率为，实轴长为8，虚轴长为6，焦距为10； 对于双曲线，得，，， 离心率为，实轴长为，虚轴长为，焦距为10. 故选：D. 5．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线方程为，则， 所以双曲线的离心率为. 6．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，由此可得双曲线的右焦点，得到，解得，再根据渐近线方程公式计算. 【详解】由椭圆，易知其右焦点坐标为， ∴双曲线的右焦点为，则，得到. ∴该双曲线的渐近线方程为. 故选：A 7．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直关系推出，再由焦点到直线的距离推出，即可代入的关系式求出从而求得双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以 ， 又C的焦点到l的距离为，所以，所以， 因为，所以，故C的标准方程为． 8．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 二、多选题 9．（25-26高二下·山西朔州·期中）设双曲线，则（    ） A．C的虚轴长为4 B．C的焦距为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BCD 【详解】由双曲线，即，则. 对于A，虚轴长为，故A错误； 对于B，焦距为，故B正确； 对于C，离心率为，故C正确； 对于D，渐近线方程为，即，故D正确. 10．（25-26高二上·云南曲靖·期末）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为C上的一点，则（   ） A．C的虚轴长为 B． C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】AB 【分析】利用双曲线的性质逐个选项分析求解即可. 【详解】由，得，可得的虚轴长为，故A正确， 由双曲线的定义得，故B正确， 而的离心率为，故C错误， 而渐近线方程为，故D错误. 故选：AB 11．（25-26高二下·云南玉溪·期末）已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．双曲线的方程为 C． D．双曲线的渐近线方程为 【答案】BD 【分析】先由焦距得的值，结合三角形面积求得点的纵坐标，再由直线的斜率求得点的横坐标，利用双曲线定义及的关系求得的值，再逐一验证各选项即可. 【详解】∵ 分别是双曲线的左、右焦点，， ∴ ，即. 设点，， ∵的面积为， ∴ ，即，解得. ∵ 直线的斜率为， ∴ ，代入，得，解得，即.    ∵ 在双曲线上，由双曲线定义得， 计算得，， ∴，即. 又， 对于A选项，双曲线离心率，故A错误. 对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确. 对于C选项，，故C错误. 对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川泸州·期末）双曲线的实轴长为_______________． 【答案】6 【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义求解即可. 【详解】由知，，所以， 所以实轴长. 故答案为：6. 13．（25-26高二下·重庆·阶段检测）双曲线的一个焦点为，则______． 【答案】 【详解】已知双曲线的一个焦点为，可知，， 所以，解得， 因为，所以. 14．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 【答案】 【分析】根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线方程为，求该双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、顶点和焦点坐标、离心率及渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】解：双曲线的方程可化为， 可得，所以，可得， 所以实轴长为，虚轴长为，焦距为， 顶点坐标为，焦点坐标为， 离心率，渐近线方程为． 16．（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出方程求出双曲线的标准方程； （2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论． 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． 17.已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解； （2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 18．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由点在上和即可求解； （2）由点在上和数量积运算即可求出点P，再由即可计算求解. 【详解】（1）设， 由题意可知，当时，， 由点在上可得，即， 又，所以， 所以的方程为. （2） 由（1）可知， 则， 由题得， 解得， 所以的面积. 19．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知双曲线C：，为双曲线C的两个焦点. (1)若双曲线C的离心率，求实数m的取值范围； (2)若，为双曲线C上一点，且，求的值. 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据离心率公式及关系，结合题意列式求解即可； （2）根据双曲线的定义及勾股定理列式求解即可. 【详解】（1）因为 ， 因为， 所以， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）当时，双曲线， 所以， 所以， 所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $