第08讲 直线的方程（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选择性必修第一册）

第08讲 直线的方程（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：求直线的点斜式方程 知识点02：直线的斜截式方程 知识点03：直线的两点式方程 知识点04：直线的截距式方程 知识点05：直线的一般式方程 知识点06：利用一般式解决直线的平行与垂直问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：利用点斜式求直线方程 题型02：利用斜截式求直线方程 题型03：利用两点式求直线方程 题型04：利用截距式求直线方程 题型05：直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型06：由一般式方程判断直线的平行、垂直 题型07：由两条直线平行、垂直求方程 题型08：直线过定点问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】求直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【例1】已知直线过点，斜率，求该直线的点斜式方程。 解：由题可知： 代入点斜式公式： 整理得直线点斜式方程： . 【知识点02】直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【例2】已知直线斜率为，与轴交于点，求直线的斜截式方程。 解：由题可知：斜率，轴截距 代入斜截式公式：. 【知识点03】直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【例3】求过点、的直线两点式方程。 解：由题可知： 代入两点式公式： 化简得： 【知识点04】直线的截距式方程 我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【例4】已知直线在轴截距为，轴截距为，求直线的截距式方程。 解：由题可知： 代入截距式公式： 整理得： 【知识点05】直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 【例5】将直线方程化为一般式方程。 解：展开去括号： 移项整理为标准形式： 【知识点06】利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例6】已知直线，，若，求实数的值。 解：由题得： 根据两直线垂直条件： 代入数值： 计算解得： 【题型01】利用点斜式求直线方程 【典例1-1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行关系确定直线斜率为，再结合轴截距为得到直线过点，最后用点斜式求出直线方程. 【详解】已知直线，变形为，斜率为， 因为所求直线与平行，所以斜率也为， 又因为题干说所求直线在轴上的截距为，说明直线过点； 由点斜式可直接写出所求直线为：，化简可得：. 故选：A 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标，并求出直线的斜率，可得出线段的垂直平分线所在直线的斜率，结合点斜式方程可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知线段的中点为，， 故线段的垂直平分线所在直线的斜率为， 因此线段的垂直平分线方程为，即. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 【题型02】利用斜截式求直线方程 【典例2-1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜截式方程直接下结论即可. 【详解】由题意知，该直线的斜截式方程为. 故选：B 【变式2-2】倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为______. 【答案】 【分析】由倾斜角求出直线斜率，得到直线的斜截式方程. 【详解】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 【变式2-3】已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【分析】求出直线的斜率及其在轴上的截距，即可得出直线的斜截式方程. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 【题型03】利用两点式求直线方程 【典例3-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的两点式方程可得答案. 【详解】由题意可知，直线的两点式方程为，即为. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】由直线的方向向量求出点坐标，再由两点式计算直线的方程. 【详解】由题知，解得，即， 将两点坐标代入直线的两点式方程可得， 即． 故答案为：. 【变式3-3】求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 【题型04】利用截距式求直线方程 【典例4-1】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分“截距为”和“截距不为”两种情况，分别设直线方程，再代入点求出对应方程. 【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 【变式4-2】（25-26高二上·湖北·期中）直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 【答案】或 【分析】分截距为0和不为0两种情况讨论求解.在截距不为0的情况下，利用直线的截距式求解. 【详解】当轴、轴上的截距为0时，直线过，又过，则， 的方程为，即； 当轴、轴上的截距不为0时，直线在轴、轴上的截距互为相反数， 设直线的方程为，又过，， ，设直线的方程为，即. 综上可知，直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式4-3】（1）求在轴上的截距分别是的直线方程； （2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【答案】（1）.；（2）或. 【分析】（1）利用直线方程的截距式即得； （2）分截距为0，不为0讨论即求. 【详解】（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为， 化简得. （2）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线的方程为. 又因为过点， 所以，解得. 所以直线的方程为，即. 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 【题型05】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【典例5-1】（25-26高二上·江西上饶·期末）直线：的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一般式方程转化为斜截式方程可得斜率. 【详解】将直线一般式方程转化为斜截式方程得到. 所以斜率为. 故选：C. 【变式5-1】（多选）（24-25高二下·湖南永州·期末）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 【变式5-2】（25-26高二上·山东淄博·期中）直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为_________. 【答案】或 【分析】讨论截距是否为0，设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，设直线为，则，即，此时， 当截距不为0时，设直线为，则，此时， 综上，直线为或. 故答案为：或 【变式5-3】（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【详解】（1）由题意可知直线的方程为，即， 直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 【题型06】由一般式方程判断直线的平行、垂直 【典例6-1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】与直线平行的直线方程可设为，且， 将代入直线可得. 所以过点且与直线平行的直线方程为，即， 故选：A 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·广西南宁·期中）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线过点 B．直线与直线平行 C．直线在轴上的截距为2 D．直线与直线垂直 【答案】ABD 【分析】根据截距的定义即可求解AC,根据平行和垂直满足的系数关系即可求解BD. 【详解】选项A．当时，，所以直线过点，故选项A正确. 选项B.直线，直线，故选项B正确. 选项C.直线过点，直线在轴上的截距为，故C不正确. 选项D.由，可得直线与垂直，故选项D正确. 故选：ABD 【变式6-2】（2026高二·全国·专题练习）直线与直线的位置关系是__________.（填“相交”“平行”或“重合”）. 【答案】平行 【分析】由直线一般方程对应系数的比例关系判断直线的位置关系. 【详解】∵，∴两直线的位置关系是平行. 故答案为：平行. 【变式6-3】判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 【题型07】由两条直线平行、垂直求方程 【典例7-1】（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 【变式7-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 【变式7-2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据截距的概念和两直线平行的性质，设出直线方程，根据截距求出参数，求出结果即可. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 在轴上的截距为5，即当时，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【变式7-3】（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线平行得到斜率，点斜式即可得解； （2）根据直线垂直，得到斜率，即可求解. 【详解】（1）∵四边形为平行四边形，∴.∴. ∴直线的方程为，即. （2）∵，∴. ∴直线的方程为，即. 【题型08】直线过定点问题 【典例8-1】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程，直接求出所过定点坐标即可. 【详解】直线，即，对任意实数，当时，恒成立， 所以点的坐标. 故选：A 【变式8-1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【变式8-2】（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 【变式8-3】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或者 【分析】（1）通过即可求证； （2）通过截距为0和不为0两类情况求解即可. 【详解】（1）即 令解得 直线过定点 （2）当直线横截距等于纵截距为0时 直线过原点  斜率 此时直线方程为即 当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为： 直线过点，代入方程得   直线的方程为：，即直线的方程为： 综上所述直线的方程为或者 知识点01直线方程五种形式汇总 本节核心为直线的五种标准方程形式，各形式拥有专属适用场景与限制条件，是解析几何直线运算的基础，所有公式均适配微软Office公式编辑器。 1. 点斜式方程 标准公式： 适用条件：直线存在斜率，不垂直于轴 核心用途：已知直线定点和斜率，快速列写直线方程，是所有直线方程的基础形式。 2. 斜截式方程 标准公式： 参数含义：为直线斜率，为直线在轴上的截距 适用条件：直线存在斜率，不垂直于轴 核心用途：快速判断直线斜率、纵截距，常用于函数单调性、直线位置分析。 3. 两点式方程 标准公式： 适用条件：且，直线不垂直于轴、轴 核心用途：已知直线任意两个定点，直接列写直线方程。 4. 截距式方程 标准公式： 参数含义：为轴截距，为轴截距 适用条件：，直线不过原点、不垂直于坐标轴 核心用途：快速求解与坐标轴围成的三角形面积、截距相关问题。 5. 一般式方程 标准公式：（不同时为0） 适用条件：平面内所有直线，无限制条件 核心用途：统一直线方程形式，是判断直线平行、垂直、交点、距离的通用标准形式，所有直线方程均可化为一般式。 知识点02特殊直线方程补充（易错点梳理） 1. 垂直于轴（平行于轴）的直线：，无斜率，不能用点斜式、斜截式、两点式、截距式 2. 垂直于轴（平行于轴）的直线：，斜率，不能用截距式 3. 过原点的直线：横、纵截距均为0，不可用截距式，可使用点斜式、斜截式、一般式 知识点03直线一般式的核心性质（高频考点） 设直线一般式： 1. 当时，直线斜率，纵截距 2. 当时，直线垂直轴，方程为 3. 当时，直线平行轴，方程为 知识点04两直线平行与垂直判定（一般式专属结论） 设， 1. 两直线平行（不重合） 判定条件： 且 核心逻辑：系数成比例，常数不成比例，避免直线重合 2. 两直线垂直 判定条件： 核心逻辑：对应系数乘积和为0，无重合情况，判定简单、适用所有直线 知识点05方程互化核心思路（解题通用步骤） 1. 任意形式方程一般式：去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式（优先化为正数） 2. 一般式斜截式：移项解出，快速得到斜率和截距 3. 已知截距优先用截距式，已知定点斜率优先用点斜式，已知两点优先用两点式，所有求值、位置判断问题最终统一用一般式求解 知识点06本节高频易错总结 1. 忽略各方程的适用限制条件，盲目套用公式导致出错 2. 两直线平行判定遗漏“不重合”条件，误将重合直线判定为平行 3. 垂直坐标轴的直线无法使用含斜率的方程形式，只能用一般式或竖、横直线专属方程 4. 截距是数值而非线段长度，截距可正、可负、可为0 一、单选题 1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率的关系求倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为且， 则，故. 故选：A 2．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据直线在轴上的截距，即当时，求出的值即可. 【详解】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 3．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线斜截式方程得到斜率，再结合倾斜角的取值范围，利用斜率与倾斜角的正切关系求解. 【详解】已知直线的斜截式方程为，因此直线的斜率. 由直线斜率与倾斜角的关系， 可得， 结合，解得. 4．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出与已知直线平行的直线方程，再代入点即可求出； 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上，所以， 所以与直线平行的直线方程为. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 6．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线方程得到，由，即可求解. 【详解】由， 可得， 因为方程对恒成立， 所以可得：， 解得，， 所以直线系方程：经过的定点是， 故选：C 7．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定边的中点坐标，及的形状，再由边的垂直平分线过两点，然后根据两点式计算方程即可. 【详解】因为边的中点为且， 所以为等腰直角三角形． 所以边的垂直平分线过， 故由两点式方程得， 即． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为 B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 【答案】AD 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算可得A；考虑斜率不存在的情况可得B；由截距定义可得C；借助斜率公式计算可得D. 【详解】对于A：过两点的直线的斜率， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：过点斜率不存在时，方程为，故B错误； 对于C：直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D：因为，， 则，所以三点共线，故D正确. 故选：AD 10．（25-26高二上·四川绵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 【答案】BC 【分析】根据直线方程的几种形式及其限制条件逐一分析. 【详解】对于A，直线表示过点，且斜率为的直线，故A错误； 对于B，即，因为m的取值范围是，所以，解得，即直线过定点，故B正确； 对于C，平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示，故C正确； 对于D，根据点斜式可知经过点且斜率为的直线l的方程为，即，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分在两坐标轴上的截距都为和都不为两种情况讨论，利用待定系数法计算可得. 【详解】①若直线在两坐标轴上的截距都为，可设其方程为， 由直线经过点可得，，解得， 故直线的方程为，即. ②若直线的在两坐标轴上的截距都不为，可设其方程为， 由直线经过点可得，，解得， 故直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 故选：CD 三、填空题 12．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距是_________． 【答案】 【详解】由，令，得． 13．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 【答案】 【分析】求出中点坐标，利用两点式求直线方程. 【详解】设中点，则，即， 所以边上的中线所在的直线方程为， 整理得， 故答案为：. 14．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 四、解答题 15．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，求出即可； （2）设所求直线方程为，求出即可. 【详解】（1）设所求直线的方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为； （2）设所求直线方程为， 代入点，则有，解得， 所以所求直线方程为． 16．（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出BC的斜率，从而可求BC边的高的斜率，由此利用点斜式方程能求出BC边的高所在直线的方程． （2）利用中点坐标公式求出，，由此能求出过点M且平行于边的直线方程． 【详解】（1）因为，所以， 所以边上的高所在直线的斜率为，又， 所以边上的高所在直线的方程为， 即； （2）因为，且点是线段的中点， 所以，即， 又，所以， 又因为直线经过点且平行于直线，所以， 所以直线的方程为，即． 17．（2025高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点式和截距式求解直线方程即可； （2）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； （3）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由两点式得边所在直线方程为，即. 由截距式得边所在直线方程为，即. （2）设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. （3）因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 18．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 19．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【详解】（1）直线的方程为，则，因此直线恒过定点. （2）如图1，若直线不经过第四象限，则. （3）由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 直线的方程（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：求直线的点斜式方程 知识点02：直线的斜截式方程 知识点03：直线的两点式方程 知识点04：直线的截距式方程 知识点05：直线的一般式方程 知识点06：利用一般式解决直线的平行与垂直问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：利用点斜式求直线方程 题型02：利用斜截式求直线方程 题型03：利用两点式求直线方程 题型04：利用截距式求直线方程 题型05：直线一般式方程与其他形式之间的互化 题型06：由一般式方程判断直线的平行、垂直 题型07：由两条直线平行、垂直求方程 题型08：直线过定点问题 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】求直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【例1】已知直线过点，斜率，求该直线的点斜式方程。 【知识点02】直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【例2】已知直线斜率为，与轴交于点，求直线的斜截式方程。 【知识点03】直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【例3】求过点、的直线两点式方程。 【知识点04】直线的截距式方程 我们把方程叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【例4】已知直线在轴截距为，轴截距为，求直线的截距式方程。 【知识点05】直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 【例5】将直线方程化为一般式方程。 【知识点06】利用一般式解决直线的平行与垂直问题 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 【例6】已知直线，，若，求实数的值。 【题型01】利用点斜式求直线方程 【典例1-1】（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·广东清远·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点、，则线段的垂直平分线方程为________． 【变式1-3】（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【题型02】利用斜截式求直线方程 【典例2-1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）直线斜率为，在轴的截距是5的斜截式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为______. 【变式2-3】已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【题型03】利用两点式求直线方程 【典例3-1】（25-26高二上·河南南阳·期中）过点和的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）经过两点的直线的方向向量为，则直线的方程为______． 【变式3-3】求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【题型04】利用截距式求直线方程 【典例4-1】（25-26高二上·四川泸州·阶段检测）过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·河北雄安·期末）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·湖北·期中）直线过点，且在轴、轴上的截距互为相反数，则直线的方程为________. 【变式4-3】（1）求在轴上的截距分别是的直线方程； （2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程. 【题型05】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【典例5-1】（25-26高二上·江西上饶·期末）直线：的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）（24-25高二下·湖南永州·期末）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·山东淄博·期中）直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为_________. 【变式5-3】（25-26高二上·江西景德镇·期末）根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． (1)的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； (2)经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【题型06】由一般式方程判断直线的平行、垂直 【典例6-1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）过点且与直线平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）（24-25高二上·广西南宁·期中）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线过点 B．直线与直线平行 C．直线在轴上的截距为2 D．直线与直线垂直 【变式6-2】（2026高二·全国·专题练习）直线与直线的位置关系是__________.（填“相交”“平行”或“重合”）. 【变式6-3】判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【题型07】由两条直线平行、垂直求方程 【典例7-1】（25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【变式7-3】（25-26高二上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形中，边所在直线方程为，点.    (1)求直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【题型08】直线过定点问题 【典例8-1】（25-26高二上·广西玉林·期末）直线一定经过点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【变式8-3】（24-25高二上·浙江温州·期中）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)求过点且横截距与纵截距相等的直线方程. 知识点01直线方程五种形式汇总 本节核心为直线的五种标准方程形式，各形式拥有专属适用场景与限制条件，是解析几何直线运算的基础，所有公式均适配微软Office公式编辑器。 1. 点斜式方程 标准公式： 适用条件：直线存在斜率，不垂直于轴 核心用途：已知直线定点和斜率，快速列写直线方程，是所有直线方程的基础形式。 2. 斜截式方程 标准公式： 参数含义：为直线斜率，为直线在轴上的截距 适用条件：直线存在斜率，不垂直于轴 核心用途：快速判断直线斜率、纵截距，常用于函数单调性、直线位置分析。 3. 两点式方程 标准公式： 适用条件：且，直线不垂直于轴、轴 核心用途：已知直线任意两个定点，直接列写直线方程。 4. 截距式方程 标准公式： 参数含义：为轴截距，为轴截距 适用条件：，直线不过原点、不垂直于坐标轴 核心用途：快速求解与坐标轴围成的三角形面积、截距相关问题。 5. 一般式方程 标准公式：（不同时为0） 适用条件：平面内所有直线，无限制条件 核心用途：统一直线方程形式，是判断直线平行、垂直、交点、距离的通用标准形式，所有直线方程均可化为一般式。 知识点02特殊直线方程补充（易错点梳理） 1. 垂直于轴（平行于轴）的直线：，无斜率，不能用点斜式、斜截式、两点式、截距式 2. 垂直于轴（平行于轴）的直线：，斜率，不能用截距式 3. 过原点的直线：横、纵截距均为0，不可用截距式，可使用点斜式、斜截式、一般式 知识点03直线一般式的核心性质（高频考点） 设直线一般式： 1. 当时，直线斜率，纵截距 2. 当时，直线垂直轴，方程为 3. 当时，直线平行轴，方程为 知识点04两直线平行与垂直判定（一般式专属结论） 设， 1. 两直线平行（不重合） 判定条件： 且 核心逻辑：系数成比例，常数不成比例，避免直线重合 2. 两直线垂直 判定条件： 核心逻辑：对应系数乘积和为0，无重合情况，判定简单、适用所有直线 知识点05方程互化核心思路（解题通用步骤） 1. 任意形式方程一般式：去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准形式（优先化为正数） 2. 一般式斜截式：移项解出，快速得到斜率和截距 3. 已知截距优先用截距式，已知定点斜率优先用点斜式，已知两点优先用两点式，所有求值、位置判断问题最终统一用一般式求解 知识点06本节高频易错总结 1. 忽略各方程的适用限制条件，盲目套用公式导致出错 2. 两直线平行判定遗漏“不重合”条件，误将重合直线判定为平行 3. 垂直坐标轴的直线无法使用含斜率的方程形式，只能用一般式或竖、横直线专属方程 4. 截距是数值而非线段长度，截距可正、可负、可为0 一、单选题 1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 6．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）平面直角坐标系中的直线系方程：经过的定点是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，则边的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为 B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 10．（25-26高二上·四川绵阳·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线可以表示过点的所有直线 B．直线过定点 C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示 D．经过点且斜率为的直线l的方程为 11．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可能为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距是_________． 13．（25-26高二上·福建漳州·期末）已知的顶点坐标为，，，则边上的中线所在的直线方程为_____. 14．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 四、解答题 15．（25-26高二上·云南玉溪·期中）根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．已知直线． (1)经过点且与直线平行的直线； (2)经过点且与直线垂直的直线． 16．（25-26高二上·四川南充·期末）已知的三个顶点． (1)求边上的高所在直线的方程： (2)若点是线段的中点，直线经过点且平行于直线，求直线的方程． 17．（2025高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 18．（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 19．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知直线：. (1)求直线所过的定点A的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $