课时冲关18 利用导数研究函数的单调性（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 课时冲关18 利用导数研究函数的单调性 学生用书P299 [基础训练组] 由于x1+x2>x1→g(x1十x2)<g(x1)→ 1.函数y=(3-x2)e的单调递增区间是( A.(-∞，0) B.(0,+∞) f(x1十x2)<f1)· x1十x2 C.(-∞，-3)和(1，十o∞)D.(-3,1) 解析：D[y'=-2xe+(3-x2)e=e(-x2-2x 同理，f(十)<f(x),相加得f(x十 x1十x2 +3), x2)<f(x1)十f(x2),故①正确； 由y>0→x2十2x-3<0→-3<x<1,.函数 取f(x)=1,它符合题意，但是④并不成立，综 y=(3-x2)e的单调递增区间是(-3,1).] 上一定成立的有①②③.] 2.已知函数f(x)=合x十ax十4，则a>0”是 5.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知函数f(x) 的定义域为(0，十o∞)，导函数为f(x),xf(x) “f(x)在R上单调递增”的 -f)=nx,且f(),则 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B.fx)在x=上处取得极大值 e 解析：A[fx)=受2+a,当a≥0时fx) C.0<f(1)<1 ≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递 D.f(x)在(0，十∞)单调递增 增”的充分不必要条件.门 解析：ACD[函数f(x)的定义域为(0，十o∞)， 3(2024·宣城市模拟)若函数f)=号 导函数为f(x),xf'(x)-f(x)=xlnx, 即满足f(x)-fx_lhx 2a.x2一(a一2)x十5恰好有三个单调区间，则实 x 数a的取值范围为 In a A.-1≤a≤2 B.-2≤a≤1 C.a>2或a<-1 D.a>1或a<-2 解析：D[若函数f(x)有3个单调区间， 可设f巴2-合nx+b为常数)， 则f'(x)=4x2-4ax-(a-2)有2个零点， i()-dn':tbr. 故△=16a2-16(a-2)>0,解得a>1或a<-2.] 4.(2024·沙坪坝区模拟)定义在(0，十∞)上的函 e 数f(x)的导函数为f(x),且f(x)<f工，则 iK0-dnt 对任意x1、x2∈(0，十∞)，x1≠x2,下列不等式 中一定成立的有 () ∴f1)=,满足0<f1)<1,C正确： ①f(x1十x2)<f(x1)+f(x2); @f)+fu)f)+f: f)=2z+lnx+号-2nz+1≥ ③f(2)<2f(1); 0,且仅有r()=0 ④f(x1x2)<f(x1)f(x2). B错误，A、D正确.] A.①②③ B.②④ C.②③ D.③ 6.(2022·新高考1卷.7)设a=0.1e1,0=日c 解析：A[由已知g(x)=f四，则g(x) =-ln0.9,则 ( x A.a<b<c B.c<b<a f(x)z-f(a)<0. C.c<a<6 D.a<c<b 故g(x)在(0，十o∞)单调递减， 解析：C[令a=xc,b=1产xc=-ln1-x), 故(x1-x2)[g(x1)-g(x2)]<0,展开即为②； DIn a-In b=x+In x-[In x-In(1-x)]=x 由于2>1，故g(2)<g(1),故③正确； +ln(1-x), ·428· 第二章函数、导数及其应用 令y=x+1n1-x),xe(0,0.1]y=1-1-Z 故51≤4<1， 一x∠0， 一1一x 结合题意可得实数a的取值范围是 所以y≤0，所以lna-lnb≤0，所以b>a. ②a-c=y=xe+ln(1-x),x∈(0,0.1]，令y 答案 [ =xe"+In(1-x), 别y=e+e-己+e旦， 10.(2024·齐齐哈尔市模拟)已知函数f(x)= 1-x nx一1+，且曲线y=fx)在点1，f0)处的 令k(.x)=(1+x)(1-x)e-1,所以k'(x)=(1 -x2-2x)e>0, 切线与y轴垂直， (1)求函数f(x)的单调区间： 所以k(x)>k(0)>0,所以y>0, (2)若f(x)>ax在0<x<1时恒成立，求实数 所以a-c>0,所以a>c.综上b>a>c.] a的取值范围. 7.已知函数f(x)=-x3十3.x十a,若存在三个互 不相等的实数m,n,p,使得f(m)=f(n)= 解：1)f(x)的定义域为(0，十o∞)，f(x)= x f(p)=2024,则实数a的取值范围是 解析：f(x)=-3x2+3, ,y=f)在点1f》处的 当x<-1或x>1时，f(x)<0,当-1<x<1 切线与y轴垂直， 时，f(x)>0, 所以函数f(x)在（一∞，一1）和(1，十∞)上都 f(1)=0,即k=1,f(x)=x1 2 是递减，在(-1,1)上递增， .当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x) 所以f(x)的极小值为f(一1)=a一2，f(x)的 >0, 极大值为f(1)=2十a, .函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递 由题态名2203：年释2020<203 增区间为(1，十∞). 所以实数a的取值范围是(2022,2026). (2)f)=nx-1+子：f)>ar对0<x 答案：(2022,2026) <1恒成立，a<f四在0,1)上恒成立， 8.函数f(x)= sint的单调递增区间 x 2+cos x 是 设g()=四_lh-1+0<<1),则 x t 解析：由导函数 f'()(2+cos a)cos r-sin (-sin) g'(x)=1-ln+1-2-2x-xlnx-2 x (2+cos x)2 令h(x)=2x-xlnx-2(0<x<1),则 2P03号>0，得c0>-号，所以26x 2cos x+1 2π h'(.x)=2-lnx-1=1-lnx>0, 3 .h(x)在(0,1)上单调递增，.h(x)<h(1)=0, <<2kx+红(k∈)，即画教(x)的单调递 g'(x)<0,.g(x)在(0,1)上单调递减， ∴g(x)>g(1)=0,.a≤0. 增区间是(kx-2x+} [能力提升组] 11.(2024·荆州市模拟)若函数f(x)=mlnx+ 答案：(2-号2kx+）∈z x2一mx在区间(0，十∞)内单调递增.则实数 m的取值范围为 9.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x)=a A.[0,8] +(1+a)在(0，十o∞)上单调递增，则a的取值范 B.(0,8] 围是 C.(-o∞，0]U[8,+o∞) 解析：由函数的解析式可得f(x)=alna十(1 D.(-o∞，0)U(8,+∞) 十a)ln(1+a)≥0在区间(0，+o∞)上恒成立， 则1+a)yIn1+a)≥-a1na,即(+a≥ 解析：A [f(x)=m+2x-m= a lna在区间(0，十∞)上恒成立， 2x-m+m,若f(x)在(0，十o∞)恒成立，则 In(1+a) 2x2-m.x十m≥0在(0，十∞)恒成立，即m(x In a -1)≤2x2在(0，十∞)恒成立， 知ln(1+a)>0, @z∈0，D时，只需m≥2在(0,1D恒成主 故na+1)≥-lha·即a(a+1)≥1， 10<a<1, 10a<1, ◆p)-2器x∈(0.1)，则D) ·429 高考总复习人教数学B版（新教材） 4x(x-1)-2x2_-2x(x-2） (.x-1)2 (x-1)2 <0,故力(x)在 解析：设F(x)=f()- 2t, (0,1)递减，x→0时，(x)→0，x→1时，(x) →-∞，故p(x)<0,m≥0. 则Fr(x)=rx)- ②x=1时，m∈R. :fx)号F)=f)-<0, ③x∈(1，+o∞)时，只需m≤ 7在1，十∞)恒成立， 2x ∴.函数F(x)在R上单调递减， 令q(x)= 2x2 x=1'x∈(1，十∞)，则g(x)= 而)<看+号即x)-号f- .F(x2)<F(1),∴x2>1,x∈(-∞，-1) 4x(x-1)-2x_2x(x-2) U(1,+∞). (x-1)2 (x-1)2· 答案：(-∞，-1)U(1,十∞) 令g(x)>0,解得x>2,令q(x)<0,解得x<2, 故g(x)在(1,2)递减，在(2，十o∞)递增， I4.已知函数f)=之。a∈R 故q(x)的最小值是q(2)=8,故n≤8. (1)求函数f(x)的单调区间： 综上，n∈[0,8].] (2)若f(x)在(1,2)上是单调函数，求实数a 12.(多选)若定义域为(0，十∞)的函数f(x)的导 的取值范围， 函数f(x)满足x'(x)+1>0,且f(1)=1, 解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠a},f'(x)= 则下列结论中成立的是 () x(x-2a) A.f(e)>0 (.x-a)2 ①当a=0时，f(x)=x(x≠0)，f'(x)=1, 2 则x∈（一∞，0），(0，十∞)时，f(x)为增函数； ②当a>0时，由f(x)>0,得x>2a或x<0, C.Hx∈(1，e),f(x)>0 由于此时0<a<2a,所以x>2a时，f(x)为增 D.31,e)-f)+2×0 函数，x<0时，f(x)为增函数； 由f'(x)<0,得0<x<2a,考虑定义域，当0< 解析：ABC[根据题意，若定义域为(0，十∞) x<a时，f(x)为减函数，a<x<2a时，f(x)为 的函数f(x)的导函数f(x)满足xf'(x)十1 减函数； >0,则有f(x)+1>0,则有(f(x)+1nx)'> ③当a<0时，由f'(x)>0,得x>0或x<2a, 由于此时2a<a<0,所以当x<2a时，f(x)为 0,设g(x)=f(x)+lnx,则g'(x)=f(x)+ 增函数，x>0时，f(x)为增函数. 1>0,则g(x)在(0，十∞)上为增函数，依次 由f'(x)<0得，2a<x<0,考虑定义域，当2a <x<a,f(x)为减函数，a<x<0时，f(x)为 分析选项：对于A,e>1,则g(e)>g(1),即 减函数. f(e)+lne>l,则有f(e)>0,A成立；对于B, 综上，当a=0时，函数f(x)的单调增区间为 <1,则g(日)水1,则f(日) (-∞，0)，(0，十∞). +ln= e 当a>0时，函数f(x)的单调增区间为（一∞， ()1<1,即有（日）2，故B成立：对 0),(2a,十∞)，单调减区间为(0，a),(a,2a). 当a<0时，函数f(x)的单调增区间为（一o∞， 于C,g(x)在(1，e)上为增函数，且g(1)=1,则 2a),(0,十∞)，单调减区间为(2a,a),(a,0). 有f(x)+lnx>1,则f(.x)>1-lnx,又当1 (2)①当a≤0时，由(1)可得，f(x)在(1,2)上 <x<e时，0<1nx<1,则f(x)>0,符合题 单调递增，且x∈(1,2)时，x卡a. 意；对于D,当x∈(1，e)时，有x>1>1>0, @当0<2a<1时，即0<a≤2时，由D可得， f(x)在(2a,十∞)上单调递增，即在(1,2)上单 此时有gx)>()即f)+a>f》 调递增，且x∈(1,2)时，x≠a. +1n(),变形可得fx)-f)+2nx> ③当1<2a<2时，即号<a<1时，由(1)可得， f(x)在(1,2)上不具有单调性，不合题意. 0,又当1<x<e时，0<lnx<1,则f(x) ④当2a≥2，即a≥1时，由(1)可得，f(x)在(0，a), f(日)十2>0恒成立，不特合题意.] (a,2a)为减函数，同时需注意a氏(1,2)，满足这样 的条件时f(x)在(1,2)单调递减，所以此时a=1 13.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x) 或a≥2. 的导数rx号，则不等式G)<号+号的解 综上所遂，实数a的取位范国是(-，]U 集为 {1}U[2,+o∞). ·430·