课时冲关18 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

点N(m,m)之间距离的平方小于或 等于2，动点M在函数y=lnx的 图像上，动，点N在直线y=x的图 像上，问题转化为求直线y=x上的 动点到曲线y=lnx的最小距离， 由y=lnx,得y=1=1,解得x 1,.曲线上，点M(1,0)到直线y=x 的距离最小，最小距离d受根据 题意，要使g()≤2，则g(x)= 1 ,此时N恰好为垂足，由k= =-1,解得m=2] 13.解析：易得曲线不过原点，设切点为 (xo,（xo十a)e'),则切线斜率为 f(x。)=(x。十a十1)e'0,可得切线 方程为y-（x十a)e=(x0十a十 1)e(x-xo),又切线过原点，可得 -(x十a)e6=-x(xo十a十1) e0,化简得x号十ax一a=0(*),又 切线有两条，即*方程有两不等实 根，由判别式△=a十4a>0,得a< -4,或a0. 答案：（一∞，-4）U(0,十∞) 14.解：(1)方程7x一4y一12=0可化为 y=4x-3. 1 当x=2时，y=2.又f(x)=a 6 , 于是 2a-2= 7 解得8故f)=x- x (2)设P(x0,yo)为曲线上任一点， 3 由y=1十，知曲线在点P(, y)处的切线方程为 31 y-=（1十）(x-x。), 0 3 令x=0,得y=-6 从而得切线与直线x=0的交，点坐 标为(0，一) 61 令y=x,得y=x=2z0, 从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2x。,2xo). 所以点P(x0,yo)处的切线与直线x =0,y=x所围成的三角形的面积 为s-引 2x0=6. 故曲线y=f(x)上任一点处的切线 与直线x=0,y=x所围成的三角 形的面积为定值，且此定值为6. 课时冲关18 1.D2.A3.D4.A5.ACD6.C 参考答案 7.解析：f(x)=-3.x十3，当x<-1 g(x)= 1-Inz 1 2 或x1时，f(x)<0,当-1<x1 时，f(x)>0, 2x-xln x-2 所以函数f(x)在（一∞，一1）和(1， 十∞)上都是递减，在（一1,1）上 令h(x)=2x-xlnx-2(0<x<1), 递增， 则h'(x)=2-lnx-1 所以f(x)的极小值为f(-1)=a =1-lnx>0, 2,f(x)的极大值为f(1)=2十a, h(x)在(0,1)上单调递增，.h(x) 由题意a二≤？024，解得2022<a <h(1)=0, 1a+2>2024, g(x)<0,∴g(x)在(0,1)上单调 <2026, 递减， 所以实数a的取值范围是 ∴.g(x)g(1)=0,∴.a0. (2022,2026). 11.A [f(x)=”+2x-m 答案：(2022,2026) x 解析：由导函数f(x) =2x2-m.x十m (2-cos x)cos x-sin (-sin x) (2十c0sx) 若f(x)在(0，十∞)恒成立，则2x 2c0sx+1>0,得cosx> 一m.x十m≥0在(0，十∞)恒成立， (2+cos z)2 2 即m(x-1)≤2x在(0，十o∞) 恒成立， 所以2kπ一 2<x<2kπ 2π(k∈ Z),即函数(x)的单调递增区间是 ①x∈(0,1)时，只需m≥2 在 (0,1)恒成立， (2-受2kx+)k∈ 3 2x 答案：(2-，2+) 令p()=z∈(0,1，则 (k∈Z) p'(x) 4x(x-1)-2x2 9.解析：由函数的解析式可得(x)= (x-1) alna十(1十a)·ln(1十a)≥0在区 2z(z-2<0,故p(x)在(0,1)递 间(0，十∞)上恒成立， (x-1)2 则(1十a)1n(1十a)≥-alna, 减，x→0时，p(x)→0，x→1时， 即（）≥a在区 In a p(x)-∞，故p(x)<0,m≥0. ②x=1时，m∈R. (0,十∞)上恒成立， ③x∈(1，十∞)时，只需m≤2 在 故（告）=≥ In a 1n(1+a),由a+ (1,十∞)恒成立， 1∈(1,2)， 令q(x)=2x -x∈(1，十oo), 知ln(1十a)>0, 故ha+1)≥-lna'即{a(a+1)≥1， 则g()=4(x-1)-2z 0<a<1, 0a<1, （x-1)9 故5,1≤a<1, -2(x-2) (x-1)2 2 令g(x)>0,解得x>2,令g(x)< 结合题意可得实数a的取值范围 0,解得x2, 故q(x)在(1,2)递减，在(2，十∞) 递增， 故q(x)的最小值是q(2)=8,故m≤8. 综上，m∈[0,8].] 10.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)， 12.ABC[根据题意，若定义域为(0， x2,y= x)=二立= 十∞)的函数f(x)的导函数f(x) 满足xf(x)十1>0，则有∫(x)十 f(x)在点(1，f(1)处的切线与y 1 >0,则有(f(x)十lnx)'>0,设 轴垂直， x ∴f(1)=0,即k=1,.f(x) g(x)=f(x)十lnx,则g'(x)= =21 z2, f()+1>0,则g()在(0，十∞) x 上为增函数，依次分析选项：对于 .当0<x1时，f(x)<0,当x A,e>1,则g(e)g(1),即f(e)十 1时，f(x)>0, lne>1,则有f(e)>0,A成立；对 ∴函数f(x)的单调递减区间为(0， 1),单调递增区间为(1，十∞). 于B, <1，则（日） <g(1),则 (2)f(x)=lnx-1+1 “f(x)八 1<1,即 ax对0<x<1恒成立，a<f 有f(日)<2，故B成立：对于C, 在(0,1)上恒成立， g(x)在(1，e)上为增函数，且g(1) 设g(x)=四=lnx-1+1 (0 1,则有fx)十nx>1,则f(x)>1 xx lnx,又当1xe时，0lnx1, <x<1),则 则f(x)>0,符合题意；对于D,当 ·489· 高考总复习人教数学B版（新教 x(1，e)时，有x>>1>0,此 2 时有g)>g(）即x)+h> f()十（）变移可得) f(）+2h>0,又当1K<e时， 0n1,则fx)-f(）十2>0 恒成立，不符合题意.] 13.解析：设F(x)=f(x)-之x, 则FP(a)=fa)- ·f)K,F'(x=fz 2<0, ∴，函数F(x)在R上单调递减， 而fx)<号+合中)-号 <f)-合， .F(x2)<F(1),x2>1,x∈ (-∞，-1)U(1,十∞). 答案：(-∞，-1)U(1,十∞) 14.解：(1)f(x)的定义域为{xx≠a, f'(x)=(z-2a) (-a)2 ①当a=0时，f(x)=x(x≠0)， f(x)=1, 则x∈（一o∞，0），(0，十∞)时，f(x) 为增函数； ②当a>0时，由f(x)>0,得x> 2a或x<0, 由于此时0<a<2a,所以x>2a 时，f(x)为增函数，x<0时，f(x) 为增函数； 由f'(x)0,得0x2a,考虑定 义域，当0<x<a时，f(x)为减函 数，a<x<2a时，f(x)为减函数； ③当a<0时，由f(x)0,得x>0 或x<2a,由于此时2a<a<0,所以 当x<2a时，f(x)为增函数，x>0 时，f(x)为增函数. 由f'(x)<0,得2a<x<0,考虑定 义域，当2a<xa,f(x)为减函数， a<x0时，f(x)为减函数. 综上，当a=0时，函数f(x)的单调 增区间为（一∞，0），(0，十∞). 当a>0时，函数f(x)的单调增区 间为(-∞，0)，(2a,十∞)，单调减 区间为(0，a),(a,2a). 当a<0时，函数f(x)的单调增区 间为（一o∞，2a),(0,十∞），单调减 区间为(2a,a),(a,0). (2)①当a≤0时，由(1)可得，f(x) 在(1,2)上单调递增，且x∈(1,2) 时，x卡a. ②当0<2a<1时，即0<a≤号时， 由(1)可得，f(x)在(2a,十∞)上单 调递增，即在(1,2)上单调递增，且 x∈(1,2)时，x≠a. ③当1<2a<2时，即2<a<1时， 由(1)可得，f(x)在(1,2)上不具有 单调性，不合题意 材) ④当2a≥2，即a≥1时，由(1)可得， f(x)在(0，a),(a,2a)为减函数，同时 (合，十∞）上遥增，即)在x= 需注意a任(1,2)，满足这样的条件时 f(x)在(1,2)单调递减，所以此时a= 处有极小值 a 1或a≥2.综上所述，实数a的取值范 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞) 图是(，2]U1U[2,+∞) 上没有极值，点； 当a>0时，f(x)在(0，十∞)上有一 课时冲关19 个极值，点. 1.D2.A (2)函数f(x)在x=1处取得 3.C[由题意可知f(x)=ae-1≥ 极值， x f(1)=a一1=0，则a=1,从而 0在区间(1,2)上恒成立，即a≥ f(x)=x-1-Inx. 因此f(x)≥bx-2, (),设g(x)=e,则在 即1十1-血≥6， x∈(1,2)上恒有g(x)=(x十1)e>0, 所以g(x)mm=g(1)=e,则 1 令g(x)=1+1-lhx g())m =,即a≥e.] 则g'(x)=lnx-2 4.A 5.AC 6.AC 由g'(x)≥0，得x≥e2, 7.解析：令f(x)=3x 则g(x)在(0，e2)上单调递减，在 -3=0,得x=士1，可 (e2,十oo)上单调递增， 得极大值为f(一1)= g(x)m=g(e2)=1- 2,极小值为f(1)= 。,故实数b的 2,如图，观察得一2<a <2时恰有三个不同的公共，点，故a 策大位是1-日 的取值范围是（一2,2）. 11.B [f'(x)=-2x+a+ 2 答案：(-2,2) 8.解析：y=一3x2十27 =-2x2十ax+2 =-3(x十3)(x-3), 当0<x<3时，y>0: 要使函数f(x)=一x2十ax十2lnx在 当x>3时，y<0. (1,2)上有最大值， 故当x=3时，该商品的年利润最大 则函数f(x)=一x2十ax十2lnx在 答案：3 (1,2)上有极大值， 9.解析：f(x)的定义域为(0，十∞)， 即方程一2x十a.x十2=0有两个不 f(x)= 1-ax-b,由f(1)=0,得 等实根，且较大根在区间(1,2) b=1-a. {X)士a:士20解得0 1-2×22+a·2+2<0, .f(x)= 1 -ax十a-1 <a<3. 12.B[由题意，f(x)=3x2+2x-a, =-ax2+1十a.x-x 则f(一1)f(1)0,即(1-a)(5 a)<0, =-（ax+1)(x-1) 解得1<a<5. 当a=1时，函数f(x)=x3十x2-x ①若a≥0，当0<x<1时，f(x)> 一4在区间（一1,1）恰有一个极 0,f(x)单调递增；当x>1时，f'(x) 值，点， <0,f(x)单调递减， 所以x=1是f(x)的极大值点. 当a=5时，函数f(x)=x十x2 5x-4在区间（一1,1）没有一个极 ②若a<0,由f(x)=0,得x=1或 值点.] 1 x=- 13.解析：f(x)=2(alna-ex)至少要 a 因为x=1是f(x)的极大值点，所以 有两个零点x=x1和x=x2,我们 -1>1,解得-1<a<0.综合①② 对其求导，f"(x)=2a(lna)2-2e. (1)若a>1,则(x在R上单调递 得实数a的取值范围是a>一1. 增，此时若∫”(x)=0,则f(x)在 答案：a>-1 （一∞，x。)上单调递减，在(x0, 10.解：(1)f(x)的定义域为(0，十o∞) 十o∞)上单调递增，此时若有x=x1 f(z)=a- 1=ax-1 和x=x2分别是函数f(x)=2a- ex2(a>0且a≠1)的极小值，点和极 当a≤0时，f(x)≤0在(0，十∞) 大值，点，则x1>x2,不符合题意. 上恒成立，函数f(x)在(0，十∞)上 (2)若0<a<1,则'(x)在R上单 单调递减.所以f(x)在(0，十∞)上 调递减，此时若f(xo)=0,则f'(x) 没有极值点. 在（一o,x。)上单调递增，在(x。, 当a>0时，由f(x)>0,得x>1 十∞)上单调递减，且x。= 所以f()在(0，日）上递减，在 1og.na此时若有x=西和t =x2分别是函数f(x)=2a-ex2 ·490·第二章函数、导数及其应用 课时冲关18利用导数研究 ⑧错题序号： @错因分析： 函数的单调性 [基础训练组] ③.f(2x)<2x1f(1): 1.函数y=(3一x2)ex的单调递增区间是 ④f(x1x2)<f(x1)f(x2). A.①②③ B.②④ A.(-∞，0) C.②③ D.③ B.(0,十∞) 5.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知函数 C.(-∞，-3)和(1，十∞) f(x)的定义域为(0，十∞)，导函数为f(x), D.(-3,1) xf)-fx)=n,且f),则 2.已知丽数f)-名+ar+4,则a>0是 “f(x)在R上单调递增”的 Af()=0 A.充分不必要条件 B.f(x)在x=1处取得极大值 e B.必要不充分条件 C.0<f(1)<1 C.充要条件 D.f(x)在(0，十∞)单调递增 D.既不充分也不必要条件 6.(2022·新高考I卷，7)设a=0.1e0.1,b= 3.(2024·宣城市模拟)若函数f(x)=号r c=-ln0.9,则 1 () 2a.x2-(a-2)x十5恰好有三个单调区间， A.a<b<c B.c<b<a 则实数a的取值范围为 C.c<a<b D.a<c<b A.-1≤a≤2 B.-2≤a≤1 7.已知函数f(x)=-x3十3.x十a,若存在三个 C.a>2或a<-1 D.a>1或a<-2 互不相等的实数m,n,p,使得f(m)=f(n) 4.(2024·沙坪坝区模拟)定义在(0，+∞)上 =f(p)=2024,则实数a的取值范围 的函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)< 是 f）,则对任意1、x2∈(0，十∞)，≠x2 8.函数f(x）=2十c0s元 sinx的单调递增区间 下列不等式中一定成立的有 是 ①f(x1+x2)<f(x1)+f(x2); 9.(2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数f(x) =a+(1十a)x在(0，十∞)上单调递增，则a ②f(1)+f(x2)<2f(1)+f(x2): 的取值范围是 ·299· 高考总复习人教数学B版（新教材） [答题栏]10.(2024·齐齐哈尔市模拟)已知函数f()=1n.x 12.(多选)若定义域为(0，十∞)的函数f(x) 1 -1+且曲线y=fx)在点(1f)处 的导函数f(x)满足xf(x)+1>0,且 f(1)=1,则下列结论中成立的是() 2 的切线与y轴垂直. A.f(e)>0 3 (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)>ax在0<x<1时恒成立，求 3)2 实数a的取值范围. C.Hx∈(1，e),f(x)>0 .5 6 D.3xe1ef）-f(日)+2<0 13.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且 --11 12 f(x)的导数f(x)<2,则不等式(r2)< 苦+的部张为 14.已知函数f()=2 ,a∈R. x-a (1)求函数f(.x)的单调区间： (2)若f(x)在(1,2)上是单调函数，求实数 a的取值范围。 [能力提升组] 11.(2024·荆州市模拟)若函数f(x)=mlnx 十x2一m.x在区间(0，十∞)内单调递增.则 实数m的取值范围为 () A.[0,8] B.(0,8] C.(-∞，0]U[8,+∞) D.(-∞，0)U(8,+∞) ·300·