课时冲关16 函数模型及应用（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材）》 课时冲关16 学生用 [基础训练组] 1.(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个 水口的进、出水速度如图甲、乙所示，某天0点 到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下 4个论断，则一定正确的是 进水量 出水量 蓄水量 时间 时间0123456时间 丙 A.0点到3点只进水不出水 B.3点到4点不进水只出水 C.3点到4点总蓄水量降低 D.4点到6点不进水不出水 解析：AC[由甲、乙两图知，进水速度是出水 速度的号，所以0点到3点不出水，A正确：3点 到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄 水量降低，B错，C正确；4点到6点也可能两个 进水口进水，一个出水口出水，D错.门 2.在某物理实验中，测量得变量x和变量y的几 组数据，如下表： 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 0.01 0.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是 A.y=2 B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x 解析：D[根据x=0.50,y=-0.99,代入计 算，可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计 算，可以排除B、C;将各数据代入函数y log2x,可知满足题意.] 3.(2024·云南德宏高一统考期末)“学如逆水行 舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”源于《增 广贤文》，《增广贤文》是勉励人们专心学习的，每天 进步一点点，前进不止一小点.我们可以把式子(1 十1%)3中的1%看作是每天的“进步”率，一年后 的值是1.013；而把式子(1一1%)3中的1%看作 是每天的“退步”率，一年后的值是0.995.照此计 算，大约经过多少天“进步”后的值是“退步”后的值 的10倍？（参考数据：lg1.01≈0.00432，lg0.99 ≈-0.00436) A.100天B.108天C.115天D.124天 解析：C[假设经过n天，“进步”后的值是“退 步”后的值的10倍， 则可得(1十1%)"=10(1-1%)”， 所以1.01) 0.99 =10,所以n=1g1.01-1g0.99 0.00432-(-0.00436) ≈115， 即经过115天，“进步”后的值是“退步”后的值 的10倍. 4.(2024·广东广州模拟)如 图，一高为H且装满水的 鱼缸，其底部装有一排水小 孔，当小孔打开时，水从孔 中匀速流出，水流完所用时 间为T.若鱼缸水深为h ·42 函数模型及应用 P296 时，水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图像 大致是 ☑ 9 B 解析：B[函数h=f(t)是关于t的减函数，故 排除C、D,一开始，h随着时间的变化，变化较 快，当水面变化到一半高度附近时，h变化变慢， 之后，h变化再变快，故对应的图像为B.] 5.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质 含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含 量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含 量减少子，则使产品达到市场要求的过滤次数可 以为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）() A.6 B.9 C.8 D.7 解析：C[设经过n次过滤，产品达到市场要 、2 3 ≤-lg20,即n(1g2-ln3)≤-(1+lg2),即n 1十1g2。≈7.4，所以选BC.] 21g3-1g2 6.(2024·山西校联考)净水机通过分级过滤的方 式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中的核 心零件是多层式结构的PP棉滤芯（聚丙烯熔喷 滤芯)，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种 大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉 号的大颗粒杂质，过滤前水巾大颗粒杂质含量 为60mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质 含量不超过2mg/L,则PP棉滤芯层数最少为 (参考数据：l1g2≈0.30,1g3≈0.48) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：C[由题意得，经n层滤芯过滤后水中大 颗粒杂质含量为601- )-0× (s∈N, 则60× (得)2.得0x 所以1g30+1e(号)》 ≤0，即1g10+1g3+n(1g2 +1g3-1g10)≤0，所以1+0.48+(0.78-1)n ≤0，解得m≥什n∈N,所以n的最小值为7.] 7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步 里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过 3km但不超过8km时，超过部分按每千米 2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米 2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元. 现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出 租车行驶了 km. 解析：设出租车行驶xkm时，付费y元， ,8,0<x3 则y=8+2.15(x-3)+1,3<x≤8 (8+2.15×5+2.85(.x-8)+1,x>8 由y=22.6,解得x=9. 答案：9 2 8.某人根据经验绘制了从12月21 日至1月8日自己种植的西红柿 30 的销售量y(千克)随时间x(天》 变化的函数图像如图所示，则此 10 人在12月26日大约卖出了西红o士10i19庆 柿 千克. 解析：前10天满足一次函数关系，设为y=kx十 b,将点(1,10)和，点(10,30)代入函数解析式得 {0二十。解得=20 30=10k+b, 、0,所以y0 9 十四则当=6时y=1g9 9 答案1g 9.(2024·东城区模拟)某种物质在时刻t(min) 的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=ar 十24(a,r为常数).在t=0min和t=1min测 得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L, 那么在t=4min时，该物质的浓度为 mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最 小的整数t的值为 .(参考数据：lg2≈ 0.3010) 解析：根据条件：ar°+24=124，ar十24=64， ∴.a=100,r= .M)=1o(号 2 +24, ∴M4)=10(号)+24=26.56. 由100 +24<24.001得 <(0.1)5, <leo.1D.s(）】 .t[1g2-(1-lg2)]<-5. .t(21g2-1)<-5,代入1g2≈0.301，得 -0.398t<-5,解得t>12.5..最小的整数t 的值是13. 答案：26.5613 10.如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a,BC=b(a >b).在AB、AD、CD、CB 上分别截取AE、AH、CG、 CF都等于x,当x为何值 时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大 面积. 解：设四边形EFGH的面积为S, 由题意得SH=Sm=2r, S△BER=SADHG= 2(a-x)·(b-x 由此得S-ab 2+2a-xw- =-2x+(a+bx=-2x-a+D)+a+N 4 81 函数的定义域为{x0<x≤b},因为a>b>0, 所以06<生中若”中<6.p4动， 4 x=十也时面积S取得最大值a士b) 4 8 若0+中>b,即a>3b时，画数S=-2(x-a+） 4 4 +a十b》在(0，b]上是增函数，因此，当x=b 8 时，面积S取得最大值ab一b2. ·428 第二章函数、导数及其应用 综上可知，若a≤3b,当x=a十也时，四边形 4 EFGH的面积取得最大位a吉》；若a>3b. 当x-b时，四边形EFGH的面积取得最大值 ab-b-. [能力提升组] 11.在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛 中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某 时刻开始的15分钟内的速度w(x)与时间x的 关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0， x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的 图像是 ) 1v() 120 88 6101215x u(x) u(x) 18个 0 6101215元 0 6101215元 A B 1u(x) ↑u(x) 188 18 202…… 20… 0 6101215x 0 6101215元 解析：D[由题意可得，当x∈[0,6]时，翼人 做匀加速运动，()=80十智，“速度差画数” 4(x)=4 3x. 当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度 v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x) 160-80=80. 当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开 始下降，v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x) =10.x一20.当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运 动，“速度差函数”u(.x)=160一60=100，结合 所给的图像.] 12.(多选)边际函数是经济学中一个基本概念，在 国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有 十分广泛的应用，函数f(x)的边际函数 Mf(x)定义为Mf(x)=f(x十1)-f(x).某公 司每月最多生产75台报警系统装置，生产x 台(x∈N")的收入函数R(x)=3000.x-20x (单位：元)，其成本函数C(x)=500x十4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函 数为P(x),则以下说法正确的是 A.P(x)取得最大值时每月产量为63台 B.边际利润函数的表达式为MP(x)=2480 40x(x∈N*) C.利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不 具有相同的最大值 D.边际利润函数MP(x)说明随着产量的增 加，每台利润与前一台利润差额在减少 解析：BCD[对于A选项，P(x)=R(x) C(x)=-20x2+2500x-4000, 二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直 线x=2500=62.5, 40 高考总复习人教数学B版（新教材） 因为x∈N*,所以，P(.x)取得最大值时每月产 量为63台或62台，A错误； 对于B选项，MP(x)=P(x十1)一P(x) [-20(x+1)+2500(x+1)-4000]-(-20x +2500.x-4000)=2480-40x(x∈N*),B正 确；对于C选项，P(x)mx=P(62)=P(63) 74120,因为函数MP(x)=2480一40x为减 函数，则MP(x)mw=MP(1)=2440,C正确； 对于D选项，因为函数MP(x)=2480一40x 为减函数，说明边际利润函数MP(x)随着产 量的增加，每台利润与前一台利涧差额在减 少，D正确. 13.(2024·海淀区模拟)某人第一天8：00从A地 开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从 B地出发，沿原路6小时后返回A地.则在此 过程中，以下说法中 ①一定存在某个位置E,两天经过此地的时刻 相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同； ③一定存在某一段路程EF(不含A、B),两天 在此段内的平均速度相同. (以上速度不考虑方向) 正确说法的序号是 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地 的路程，则是一个不减的函数，设函数(t)表 示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增 的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都 是[0,6]，值域相同.同一坐标系画出s(t)、1(t) 的图像，必有一个交点，即两天中在此刻经过 此点（如图1)，故①正确； ②画出两天的速度（自变量为时间t)函数图像 并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一 个总在另一个下方，在交，点处时刻，他们的速 度相等（如图2），故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t)上一点作平 行于t,5轴的矩形，如果四个顶，点都在曲线上， 则意味着速度的绝对值相等，（对角线就是割 线，斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线 都能成功，图3显示可以，函数模型就是两个 一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模 型为（这里假定时间t∈(0,6），AB之间距离为 2t,1∈(0,2) 4),s(t)= 3 1 1-21∈[2,6) 3t+4,t∈(0,1) l(t)= (1-6),1∈[1,6)在这个图像上 经计算，找不到这样的矩形，故③错误， ∴.正确的说法是①②. 图1 图3 图4 答案：①② 14.(2024·江西南昌南昌二中校联考模拟预测) 定义：如果函数y=-f(x)和y=g(x)的图像上 分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 y=f(x)和y=g(x)具有C关系. ·424 (1)判断函数f(x)=log2(8x)和g(x)=log1x是 否具有C关系； (2)若函数f(x)=a√x-1和g(x)=一x-1 不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)=xe和g(x)=msin x(m≤ 0)在区间(0，π)上具有C关系，求实数m的取 值范围. 解：(1)f(x)与g(x)是具有C关系，理由如下： 根据定义，若f(x)与g(x)具有C关系，则在 f(x)与g(x)的定义域的交集上存在x,使得 f(x)十g(x)=0,因为f(x)=log2(8x),g(x) =log号x,x>0,所以f(x)+g(x)=log2(8x) +logix=log2 8+log2x-log2x=logz+3, 令f(x)十g(x)=0,即1og2x十3=0，解得x= 8,所以f(x)与g(x)具有C关系. (2)令p(x)=f(x)十g（x),因为f(x)=a x-1,g(x)=-x-1,所以(x)=a√x-1-x -1(x≥1)，令t=√x-1(t≥0)，则x=t2+1,故 y=p(x)=at-(t2+1)-1=-t2+at-2,因 为f(x)与g(x)不具有C关系，所以o(x)在 [0,十∞)上恒为负或恒为正，又因为y=一t 十at-2开口向下，所以y=-t2+at-2在[0， +o∞)上恒为负，即-t2十at-2<0在[0，+∞) 上恒成立，当t=0时，-t2十at-2=-2<0显 然成立； 当>0时，a<1十2在[0，十o0)上恒成立，因 为+2>≥2=2E,当且仅当1=名，即 1=厄时，等号成立，所以(+) =2√2，所 以a<2√2，综上：a<2√2，即a∈(-∞，2√2). (3)因为f(x)=xe和g(x)=mnsin x(m<0),令 h(x)=f(x)+g(x),h (x)=xe"+msin x, 因为f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，所以 h(x)在(0，π)上存在零，点，因为h'(x)=(x十1) e十n cos x,当-1≤m≤0且x∈(0，π)时，因 为(x+1)e>1,|m cos x|<|m|≤1，所以 h'(x)>0,所以h(x)在(0，π)上单调递增，则 h(x)>h(0)=0,此时h(x)在(0，π)上不存在零 ,点，不满足题意； 当m<-1时，显然当x∈[受时， h'(x)>0, 当x∈(0，)时，因为(x)在0，受)上单调 递增，且(0)=1+m<0,h（经)= (受+1e>0,故()在(0，受)上存在唯- 零点，设为a,则h'(a)=0, 所以当x∈(0，a,(x)<0,当x∈a,2 N(x)>0:又当x∈[受x时，()>0，所以 h(x)在(0，a)上单调递减，在(a,π)上单调递 增，h(x)在(0，π)上存在唯一极小值点a,因为 h(0)=0,所以h(a)<0,又因为h(π)=πe" 0,所以h(x)在(0，π)上存在唯一零点B,所以 函数f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系，综上：m <-1,即m∈(-o∞，-1).