第2章 2.10 函数模型的应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数模型应用，通过对比不同函数增长特征、实际问题建模与求解，系统构建“模型选择-参数计算-实际应用”的解题体系，发展数学眼光与建模思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|函数增长速度比较（指数>二次>对数）、数据特征选模型（二次函数先减后增）、指数衰减应用（射线测厚）|从函数概念到模型特征，再到实际问题中的参数求解与最值分析，形成“概念-特征-应用”逻辑链| |能力提升练|2题|碳14衰变计算（指数模型）、进步率与退步率比较（指数运算）|强化实际情境中数学语言表达，深化函数模型在跨学科问题中的迁移应用|

课时冲关15　函数模型的应用 [基础巩固练] 一、单选题 1．已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是(　　) A．a　　 B．b C．c　　 D．d 解析：D　[在运动时间足够长时，指数函数f4(x)＝2x增长速度大于二次函数f1(x)＝x2的增长速度，大于二次根式函数f2(x)＝的增长速度大于对数函数f3(x)＝log2x的增长速度， 所以运动在最前面的物体一定是d.] 2．溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是(　　) A．[7.25,7.55] B．[7.25,7.45] C．[7.25,7.35] D．[7.35,7.45] 解析：D　[依题意，令pH1＝－lg[1×10－7.45]＝7.45，pH2＝－lg[1×10－7.35]＝7.35，因此，正常人体血液的pH值的范围是[7.35,7.45]．] 3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D． 解析：B　[由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合．] 4．射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρ μ t，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 2≈0.693 1，结果精确到0.001)(　　) A．0.110 B．0.112 C．0.114 D．0.116 解析：C　[由射线测厚技术原理公式得＝I0e－7.6×0.8μ，所以＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114.] 二、多选题 5．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的判断正确的是(　　) A．在前3小时内，每小时的产量逐步增加 B．在前3小时内，每小时的产量逐步减少 C．最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同 D．最后2小时内，该车间没有生产该产品 解析：BD　[由该车间5个小时某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，得前3小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确．] 6．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　) A．若k∈(－1,0)，则这期间人口数呈下降趋势 B．若k∈(－1,0)，则这期间人口数呈摆动变化 C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3 D．当k＝－，Pn≤P0时，n的最小值为3 解析：AC　[当k∈(－1,0)时，P0>0,0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n是关于n的减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝，Pn＝P0n≥2P0，所以n≥2，所以n≥ (n∈N)，∈(2,3)，所以n的最小值为3，故C正确；当k＝－，Pn＝P0n≤P0，所以n≤，所以n≥ (n∈N)，＝∈(1,2)，所以n的最小值为2，故D不正确．] 三、填空题 7．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表： 时间t 60 100 180 种植成本Q 116 84 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求得西红柿种植成本最低时的上市天数是________，最低种植成本是________元/100 kg. 解析：因为随着时间t的增加，种植成本Q先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本Q与上市时间t的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得解得所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 答案：120　80 8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)． 解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2， ∴D＝at－t2＝－2＋a2， ∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值． 答案：a2 四、解答题 9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． (1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式； (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2； 当4<x≤20时，设v＝ax＋b，a≠0 显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减， 由已知得解得 所以v＝－x＋. 故函数v＝ (2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0<x≤4时，f(x)单调递增， 故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5. 所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5. 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)． (1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 解：(1)由题意可列方程组 两式相除，解得 (2)由题意可列不等式≤0.5， 所以，即t≥8，解得t≥32. 故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． [能力提升练] 11．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0· (N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48) 解析：∵N＝N0·，∴当T＝5 730时，N＝N0·2－1＝N0， ∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的. 由题意可知＞，两边同时取以2为底的对数得：log2＞log2，∴＞＝≈－1.2，∴T＜6 876， ∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间． 答案：　6 876 12．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1＋1%)365＝1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1－1%)365＝0.99365，一年后“进步”的是“退步”的＝365≈1 481倍．如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1 000倍需要经过的时间大约是________天(四舍五入精确)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 解析：设经过x天“进步”的是“退步”的1 000倍， 则1 000×(1－0.2)x＝1.2x，即x＝1 000，故x＝1 000＝＝≈≈17. 答案：17 学科网（北京）股份有限公司 $