课时冲关15 函数与方程，不等式之间的关系（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 课时冲关15函数与方程、不等式之间的关系 学生用书P294 [基础训练组] 1.下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是 ∴.方程f(x)=log|x|的解个数等价于y= f(x)与y=1ogx|图像的交点个数，由图像可 得它们有4个交点，故方程f(x)=logx的解 的个数为4.] 5.(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是 () A.In x=1-x B.e=1 C.2-x2=1g xl D.cos x=Ix+1 解析：ABD[对于A,设f(x)=lnx十x-1,易 知y=f(x)为增函数，又f(1)=0,故lnx=1 解析：C[A中函数没有零点，因此不能用二分 法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在 x有唯一解，符合：对于B,设g(x)=心-子，易 x轴下方没有图像.] （x2+2x-3,x≤0， 知y=g)为增画数，又g(侵)=6-2<0， 2.函数f(x)= 的零点个数为 {-2+lnx,x>0 g(1)=e-1>0,由函数零，点存在定理可得e'= 上有唯一解，符合；对于C,设h(x)=x2+g1 A.3 B.2 C.1 D.0 解析：B[当x≤0时，由f(x)=x2十2x一3= 2,易知y=h(x)为增函数，由h(1)=1-2<0, 0,得x1=1（舍去)，x2=-3;当x>0时，由 h(2)=2十lg2>0,由函数零点存在定理可得 h(x)=x2+lgx-2有唯一零点，又H(x)=2 f(x)=-2十lnx=0,得x=e,所以函数f(x)的 零点个数为2.门 x2-lg1x为偶函数，则2-x2=1gx有两个 解，不符合；对于D,因为cosx∈[一1,1]，|x 国数f(x)=nx二的零点所在的区间 +1≥1，当且仅当x=0时cosx=x|+1,即 osx=x十1有唯一解，符合.] A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 6.(2024·辽宁模拟)函数f(x)是定义在R上的 奇函数，且函数f(x一1)为偶函数，当x=[0,1] 解析：B[易知f(c)=nx二的定义域为(O 时，f(x)=√一x-2x,若g(x)=f(x)-x-b 十∞)，且在定义域上单调递增. 有三个零点，则实数b的取值集合是 () :f1)=-2<0,f2)=ln2-号>0， A.(2k-√2+1,2k+√2-1)，k∈Z f(1)·f(2)<0,根据零点存在性定理知 f代)=lh-号的零点所在的区间为1.2. C.(4k-√2+1,4k十√2-1)，k∈Z 4.(2024·玉溪市模拟)若定义在R上的偶函数 D.(-+)ez f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]时， 解析：C[由已知得，f(-x)=-f(x),f(x-1) f(x)=x,则方程f(x)=logx的解有() f(-x-1), A.2个B.3个C.4个D.多于4个 则f(x+1)=-f(-x-1)=-f(x-1) 解析：C[由f(x十2)=f(x)可得函数的周期 =f(1-x), 为2， 所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称，关 又函数为偶函数且当x∈[0,1]时，f(x)=x, 于原点对称，又f(x十2)=f(x十1)+1)= 故可作出函数f(x)的图像. -f((x+1)-1)=-f(x), ·419· 高考总复习人教数学B版（新教材） 进而有f(x十4)=一f(x十2)=f(x),所以得函 9.(2024·遂宁市模拟)已知f(x)是以2e为周期 数f(x)是以4为周期的周期函数. 的R上的奇函数，当x∈(0，e)时，f(x)=lnx, 由g(x)=f(x)一x一b有三个零点可知，函数 若在区间[-e,3e]上关于x的方程f(x)=k.x f(x)与函数y=x十b得图像有三个交点， 恰好有4个不同的解，则实数k的取值范围是 当直线y=x十b与函数f(x)图像在[0,1]上相 切时， 解析：由f(x)是以2e为周期的R上的奇函数， 由x+b=√一x2+2x,即2.x2+(2b-2)x+b2= 可得f(0)=0,f(-e)=f(2e-e)=f(e)= 0,故方程2.x2十(2b-2)x十b=0有两个相等得 -f(e), 实根 所以f(e)=0,f(3e)=0, 由△=0→(2b-2)2-4·2·b2=0,解得b=-1 当x∈(0，e)时，f(x)=lnx, 土√2， 可得x∈(-e,0)时，f(x)=-ln(-x), 当x∈[0,1]时，f(x)=√一x+2x,作出函数 作出函数f(x)在[一e,3e]上的图像， f(x)与函数y=x十b的图像如图： y -1+2 由图知当直线y=x十b与函数f(x)图像在[0， 1]上相切时，b=一1+√2， 由已知在区间[-e,3e]上关于x的方程f(x) 数形结合可得g(x)在[一2,2]上有三个零点 k.x,可得f(0)=0,当直线y=kx过(e,-1),可 时，实数b满足1-√2<b<-1十√2， 得k=一1 再根据函数f(x)的周期为4，可得所求的实数b的 e 范围为(4k-√2+1,4十2-1)，k∈Z.] 卣直线y=x过(3,1)，可得k一 1质数则脂数=儿 当直线y=x过(C),可得k。 +1的所有零点所构成的集合为 由图像和在区间[一e,3e]上关于x的方程f(x) 解析：由题意知f[f(x)]=-1,由f[f(x)门 =k.x恰好有4个不同的解，可得实数k的取值 fx)+1.fx)≤0：得函数y=ff(x)]+1 logz f(x),f(x)>0, 范（） 的零点就是使fx)=-2或f()=专的x值， 答案( 解f)=-2得x=-3或x=: 10.设函数f(x)= 1-x>0. 解f)=得x=-号或x=E。 (1)作出函数f(x)的图像； 从而函数y=f[f(x)]十1的零点构成的集合为 (2)当0a<b且a)=f时，求号+古的值： {32} (3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根，求 实数m的取值范围. 解：(1)如图所示. 8.已知函数f(x)=logx十x-b(a>0,且a≠1)， 当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x。∈ (n,n+1),n∈N+,则n= 解析：.2<a<3<b<4,.f(1)=log1+1-b =1-b<0,f(2)=1og2+2-b<0,f(3)= log。3+3-b, 2) 又.1og。3>1,-1<3-b<0, .f(3)>0,即f(2)f(3)<0,故x。∈(2,3)，即 n=2. 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，十∞)上是 答案：2 增函数. ·420· 第二章函数、导数及其应用 由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b且 13.(2024·榆林市模拟)直线y=x与函数f(x) -1=1-日+=2 (2,x>m, 的图像恰有三个公共点， a {x2+4x+2,x≤m (3)由函数f(x)的图像可知，当0<m<1时， 则实数m的取值范围是 方程f(x)=m有两个不相等的正根. 解析：直线y=x与射线y [能力提升组] =2(x>m)有一个交点 1山.已知函数f(x)=ex≤0， A(2,2),且与抛物线y=x In x,x>0, 十4x十2在(-∞，m]上的 g(x)=f(x)十x十a.若g(x)存在2个零点，则 部分有两个交点B、C 实数a的取值范围是 () 由∫yx v=x2+4x+2解得B 2 A.[-1,0) B.[0,+o∞) C.[-1,+∞) D.[1,+o∞) (-1,-1),C(-2,-2. 解析：C[画出函数f(x)的图像，y=e'在y 抛物线y=x2十4x十2在（-o∞，m]上的部 轴右侧的去掉，再画出直线y=一x,之后上下 分必须包含B、C两点，且点A(2,2)一定在射 移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数 线y=2(x>m)上，才能使y=f(x)图像与y =x有3个交点， 图像有两个交点， .实数m的取值范围是一1≤m<2. 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函 答案：[-1,2) 数的图像有两个交点，即方程f(x)=一x一a 14.已知函数f(x)=log4(4+1)+kx(k∈R)为偶 有两个解，也就是函数g(x)有两个零点， 函数. 此时满足一a≤1，即a≥-1.] (1)求k的值； 413 (2)若方程f(x)=log4(a·2一a)有且只有一 个根，求实数a的取值范围. 解：(1)f(x)为偶函数，.f(一x)=f(x), 即1og4(4+1)-kx=log1(4+1)+kx, 4-3-2-10 2341 即(2k+10x=0,6=-分 -3 (2)依题意有1og,f+1）-合x=1lcga·2-a -41 即4+1=(a·2-a)·2, 12.（多选)已知函数f(x)=x, x--10(x>1),g(x) 1a·2-a>0, 令t=2,则(1-a)t2+at+1=0(*), ÷一g>1的零点分别为则 只需其有一正根即可满足题意. ①当a=1时，t=-1,不合题意. ( ②(*)式有一正一负根t1,t2, A.x1=1g x2 B.1+1=1 ,△=a2-4(1-a)>0, 即 C.x1+x2<4 D.10<x1x2<200 1∠0 tit2=1-a 解析：ABD[因为函数y=10与y=1gx的 得a>1,经验证正根满足at-a>0,∴.a>1. 图象关于直线y=x对称y=(x>1)国 ③()式有相等两根，即△=0→a=士2√2-2， 象也关于直线y=x对称，设y-马(>1) 此时t=2(a-1)' 与y=10国象的交点为Ay产气(>1)与 若a=25-1D.则有t一2a2D<0,此时方程 (1-a)t2十at+1=0无正根，故a=2(W2-1) y=1gx图象的交点为B,则A(x1,10)与 舍去； B(x2lgx2)关于直线y=x对称，则x1=g 4=10.图为一105=0，所以车 若a=-2(2+1),则有1=2a2D>0, x1-1 =,则x1十=12，即1十1=1，因为 且a·2-a=a-D=a[2a-D-] =a(2-a>0, y-x>1)的图象与直线y=x的交点为 2(a-1) 因此a=-2(√2+1). (2,2),所以x1十x2>4,x1x2=x1·10,x1∈ 综上所述，a>1或a=-2-2√2. (1,2),则10<x1x2<200.] ·421·