课时冲关10 函数的奇偶性与周期性（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 课时冲关10 函数的奇偶性与周期性 学生用书P286 [基础训练组] C.偶函数，在（一∞，0）上递增，在(0，十∞)上递增 1.(2024·呼和浩特市模拟)下列函数中，既是偶 D.偶函数，在（一∞，0）上递减，在(0，十∞)上 函数又在（一∞，0）上单调递减的函数是( 递减 A.y=-x3 B.y=2 解析：B [根据题意，g(x)=f) C.y=x-2 D.y=logs(-x) 解析：B[选项A,函数是奇函数，不满足条件； 选项B,函数是偶函数，当x<0时，y=2= 其定义域关于原点对称 ,x<0, 2 是减函数，满足条件；选项C,函数 是偶函数，当x<0时，y=二是增函数，不 设x>0,则-x<0,g(-x)=- (-x 满足条件；选项D,函数的定义域为（一©∞，0）， 一g):设x<0,则-x>0,g(-x)=(-x 不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条 件.] 是=一6)，故g)务寺a数又g) 2.已知定义在R上的偶函数f(x),满足f(x一1) x2在区间(0，十∞)上递减，则g(x)在（一∞，0）上 是奇函数，且当x∈[0,1]时，f(x)=x-1,则 也递减.门 f(1)+f(2)+…+f(2023)= () 4.(2022·全国乙卷，12)已知函数f(x),g(x)的 A.-1 B.0C.1 D.1012 定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x) 解析：C[因为f(x)是偶函数，所以f(x)= f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2 f(-x), 因为f(x一1)是奇函数， 对称，g(2)=4,则登f(k) ( 所以f(x-1)=-f(-x-1), A.-21 B.-22 又因为f(-x-1)=f(x+1), C.-23 D.-24 所以f(x-1)=-f(x+1), 解析：D[若y-g(x)的图像关于直线x=2对 即f(x)=-f(x十2)， 称，则g(2-x)=g(2十x),因为f(x)十g(2一 所以f(x+2)=-f(x十4)， x)=5,所以f(-x)+g(2十x)=5,故f(-x) 所以f(x)=f(x+4). =f(x),f(x)为偶函数.由g(2)=4,f(0)+ 又当x∈[0,1]时，f(x)=x-1, g(2)=5,得f(0)=1.由g(x)-f(x-4)=7, 所以f(0)=-1,f(1)=0,f(2)=1,f(3)=0, 得g(2-x)=f(-x-2)+7,代入f(x)+g(2 f(4)=-1, -x)=5,得f(x)+f(-x-2)=-2,f(x)关 因为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 于点（一1，-1）中心对称，所以f(1)= 所以f(1)+f(2)+·+f(2023)=505×0+ f(-1)=-1.由f(x)十f(-x-2)=-2, f(1)+f(2)+f(3)=1.] f(-x)=f(x),得f(x)十f(x+2)=-2,所以 3.(2024·保定市模拟)己知函数f(x)= f(x+2)+f(x+4)=-2,故f(x+4)=f(x), >0设x=2.则8红是（） f(x)周期为4.由f(0)十f(2)=-2,得f(2)=-3, {-1,x<0, 又f(3)=f(-1)=f(1)=-1,所以 A.奇函数，在（一∞，0）上递增，在(0，十∞)上 递增 F)=6f1)+6r2)+53)+5f4)=11 B.奇函数，在（一∞，0）上递减，在(0，十∞)上递减 ×(-1)+5×1+6×(-3)=-24.] ·406· 第二章函数、导数及其应用 5.已知函数：R→R,对任意满足x十y十之=0的实数 x2+2x+1,x>0, xy,之，均有f(x3)十f(y)+(x)=3.xyz,则 7.若函数f(x)={a,x=0, 为奇函数，则 (g(2x),x<0 a= ,f(g(-2))= A.f(0)=0 解析：由题意a=f(0)=0,g(2x)=f(x), B.f(2023)=2024 所以g(-2)=f(-1)=-f(1)=-4, C.f(.x)是奇函数 所以f(g(-2))=f(-4)=-f(4)=-25. D.f(x)是周期函数 答案：0-25 解析：AC[由f(x3)+f(y)+f(z)=3xyz, 8.(2024·惠州市模拟)已知函数f(x)=2一2， 令x=y=x=0,则f(0)+f(0)+f(0)=0, 则不等式f(2.x+1)十f1)≥0的解集是 解析：根据题意，有f(一x)=2x一2=一(2- 即f(0)·[1+2f2(0)]=0,因为1+2(0)≥1， 2)=一f(x),则函数f(x)为奇函数，又函数 所以f(0)=0,故A正确； f(x)在R上为增函数， 令x=0,z=-y,则f(0)+f(y)+(-y)=0, f(2x+1)+f(1)≥0等价于f(2x+1)≥ 即(y)+f(-y)=0,即f(-y)=-f(y), -f1),即f(2.x+1)≥f(-1),所以2x+1≥-1， 所以f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x),所 解得x≥-1，即不等式的解集为[-1，十∞). 以函数f(x)是奇函数，故C正确； 答案：[-1，十∞) 9.若f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x一2) 令y==,剥)+2r(2)是2。 为偶函数，f(2x一1)为奇函数，则f(2023)= 由AC选项，不妨设f(x)=x, 解析：根据题意，f(x)是定义在R上的函数， 则x)=,f(合-2，满足f 由f(x-2)为偶函数，有f(x一2)=f(一x一 2),即f(x)=f(-x-4),由f(2x-1)为奇函 +2时（小， 数， 即f(x-1)为奇函数，有f(x-1)=-f(-x-1), 而B、D选项不满足f(x)=x,故BD错误.] 即f(x)=-f(-x-2),且f(-1)=0, 6.(2024·安庆市模拟)定义在R上的奇函数 综合得f(-x-4)=一f(一x-2), f(x)满足：f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0 变形可得f(x十2)=一f(x), 时，f(x)=2-1,则f(1og220)等于( ∴.f(x+4)=-f(x+2)=f(x), A.是 故f(x)是周期为4的周期函数， 则f(2023)=f(4×505+3)=f(3)=f(-1) c- =0. 答案：0 解析：D[,f(x十1)=f(x-1),.函数f(x) 10.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它 是周期为2的周期函数， 的图像关于直线x=1对称. 又.1og232>1og220>log216,∴.4<1og220<5, (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数： (2)若f(x)=√元(0<x≤1)，求x∈[-5，-4] ÷f1og,20)=f1og20-0=fg） 时，函数f(x)的解析式. =-f(-1og) 解：(1)证明：由函数f(x)的图像关于直线x= 1对称， 又x∈（-1,0)时，f(x)=2-1, 有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x十2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， .-log.) 故有f(-x)=-f(x).故f(x十2)=-f(x). 从而f(x十4)=-f(x十2)=f(x), =-号f1og20)=.] 即f(x)是周期为4的周期函数， ·407· 高考总复习人教数学B版（新教材）》 (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数， 解析：因为函数f(x)是偶函数， 有f(0)=0. x∈[-1,0)时，-x∈(0,1]，f(x)=-f(-x)= 所以fa})=f-n)=fa)=fn. -√J-x. 故x∈[-1,0]时，f(x)=-√-x 则有fn)+f(血)<2f。 x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1,0]， 即2f(lnt)<2f(1), f(x)=f(.x+4)=--x-4. 等价于f(lnt)<f(1),因为函数f(x)在区间[0， 从而，x∈[-5，一4]时，函数f(x) 十∞)上是单调增画数，所以lnt<1,解得君 =-√/-x-4. [能力提升组] <t<e. 11.(2023·新高考I卷，11)已知函数f(x)的定 答案（日小 义域为R,f(xy)=yf(x)十xf(y),则 ( 14.设f(x)是(-∞，十o∞)上的奇函数，f(x+2) A.f(0)=0 =一f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x. B.f(1)=0 (1)求f(π)的值； C.f(x)是偶函数 (2)当一4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所 D.x=0为f(x)的极小值点 围成图形的面积； 解析：ABC[对于A,令x=y=0,则f(0)= (3)写出(-∞，十∞)内函数f(x)的单调 0×f(0)十0×f(0),则f(0)=0,故A正确； 对于B,令x=y=1,则f1)=1×f1)+1×f1), 区间. 则f(1)=0,故B正确； 解：(1)由f(x十2)=-f(x),得 对于C,令x=y=-1,则f(1)=(-1)2× f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) f(-1)+(-1)2×f(-1),则f(-1)=0, =f(x), 再令y=-1,则f(-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1), .f(x)是以4为周期的周期函数. 即f(一x)=f(x),故C正确； .f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4) 对于D,当x=0时，f(0)=y2f(0),无极值.故 D错误.] =-f(4-元)=-（4-x)=x-4. (2)由f(x)是奇函数与f(x十2)=-f(x), 12.(2024·佛山市模拟)已知f(x)=2+是为奇 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 函数，g(x)=bx-1og2(4十1)为偶函数，则 即f(1+x)=f(1-x). f(ab)= ( 号 从而可知函数y=f(x)的图像关于直线x=1 对称. 又当0≤x≤1时，f(x)=x,且f(x)的图像关 解析：D[根据题意f)=2+是为奇函数， 于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示. 则有f(-x)+f(x)=0, 即2+产)）十(2+)0，年得a=-1. 因为g(x)=b.x-1og2（4十1)为偶函数，则 g(x）=g(-x), 即bx-log2(4+1)=b(-x)-1og2(4+1), 解得b=1,则ab=-1,f(ab)=f(-1)=21 设当一4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的 图形面积为S,则S=4S△aB=4× 13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区 (合×2x1)=4 间[0，十∞)上是单调增函数.如果实数t满足 (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1] fa)+n)大21时，那么：的取值范周 (k∈Z), 是 单调递减区间为[4k+1,4k十3](k∈Z). ·408·