课时冲关7 均值不等式及其应用（教用版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

课时冲关7均值 学生用书 「基础训练组] 1.(多选)下列命题不正确的是 A.若x≠kπ，k∈Z,则sinx+ sin,≥1 1 B.若a<0,则a十4≥-4 a C.若a>0,b>0,则lga+lgb≥2/1ga·lgb D.若x>0,y>0,则 x十y 解析：ABC[当sinx=1时，1+1=-2<4，所以 A不正确；若a<0,则a十4≤-4，B不正确：因 a 为lga,lgb可以小于零，C不正确；若x>0,y >0,则(.x2+y2)(x+y)2≥2.xy·4xy=8x2y2, +y≥2x义，当且仅当x=y>0时取 化为2 x十y 等号，D正确.门 2.已知0<x<1,则x(3一3x)取得最大值时x的 值为 ( A号 C.3 D.号 解析：B[,0<x<1,.1-x>0. x(3-3)=3x1-x)≤3+)-）=3 2 4 当x=1-x,即x=号时取等号.] 3.(2024·广东模拟)已知正实数y清足x+】 十y十1=5，则x十y的最小值与最大值的和为 y ( A.6 B.5 C.4 D.3 解析：B[因为正实教x心满足x十}十y十 =5,所以u+(+y++)=5x+. 所以5(x十y)=(x十y)2+义+工+2≥(x十 y y)2+4,当且仅当x=y时等号成立，所以(x十 y)2-5(x十y)十4≤0，解得1≤x十y≤4，所以x 十y的最小值与最大值的和为5.] 4.下列使用均值不等式求最小值的过程，正确 的是 () A.若a,bR,则2+2≥22.=2 a b B若0.则由+之，+D…本-1 1 1知x十的最小值为1 ·397 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 不等式及其应用 P281 C若0，则+≥-…是- D.若xy=1,则x2十y2≥2xy|=2 解析：D[对于A,a≠0，b≠0，当a>0.b>0 时+8≥28 2·=2,当且仅当么=公时 等号成立当a<00时，+后≥2日·号 6 a =2,当且仅当么=么时等号成立，当a,b异号 b 时，-(。+6长-2。·马6=-2，当且 仅当-合=一名，即=-a时学号成立，故A a +1=x+1+ 错误；对于B,当x>0,则由x十1 有-1≥2c+10…有-1=1，当且收当 1 x十1=中：显然等号不成立，故错误：对于C 若x<0,则x+是=-（-x+)长-2 x·=-4,当且仅当-x=47即x= W 一2时等号成立，故C错误；对于D,若xy=1, 则x2十y≥2xy|=2,当且仅当x=y=1或x =y=一1时等号成立，故D正确.门] 5.(2024·宿州模拟)若圆C:x2+y2-4x-2y+1 =0关于直线l:ax+by-2=0(a>0,b>0)对 称，则}+云的最小值为 ( A.1 B.5 C.42D.4 解析：D[圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为 (2,1), 圆C关于直线l:ax十by=2对称，.圆心在l上， 2a+b=2a+合=1.又>0b>0 +2a+ B) 1 2 -=1+ b+2a+1 a b a b 2a b 会·要+2=4日+会的最小值为4幻 ≥22a6 高考总复习人教数学B版（新教材） 6.(多选)设正实数a,b满足a十b=1,则下列说法 正确的是 () A.Va西有最大值号 B日十公有最小值4 C.√a十√b有最大值√2 D。+公有最小值号 解析：ABC[由于a>0,b>0,由均值不等式得 1=a十b≥2√ab,当且仅当a=b时，等号成立， 西≤号长+--品2 因此V历有装大位分，十行有最小值4：6十 √b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+1=2，a2 +6=(a+b2-2a6=1-2ah≥1-号-号，所 以a+6有最大值E,。2+6有最小值号，故 选ABC.] 7.若函数f(x)=2x9(a<2)在区间1，十0) x-1 上的最小值为6，则实数a的值为 解析：由题意得f(x)=2-a x-1 =2(x-1)2+4(x-1)+2-a=2(x-1)+ x-1 名+4≥22x-10…写+4=a西+ x-1 4,当且仅当2(x-10-月，即x=1+2 /2-a 时，等号成立，所以2个-2面十4=6，即a=多 答案： 8当>1时，不等式x十≥恒成立，则实数 a的最大值为 解析：因为x>1,所以x-1>0.又x十 t-1=x -1十十1≥2+1=3，当且仅当x=2时等 号成立，所以a的最大值为3. 答案：3 9.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0), a>0,b>0,O为坐标原点，若A,B,C三点共 线，则+号的最小值是 ·39 解析：AB=OB-OA=(a-1,1), AC=OC-OA=(-b-1,2),A,B,C三点共 线，.AB与AC共线， .2(a-1)+b+1=0,即2a+b=1. :>0b>0+号-（日+号）2a+b)=4 +2+≥4十4=8，当且仅当会-号，即6 a十b 2a=合时等号成立. 答案：8 10.已知lg(3.x)+lgy=lg(x+y+1). (1)求xy的最小值； (2)求x+y的最小值 解：由lg(3.x)+lgy=lg(x+y+1) fx>0, 得{y>0, 3.xy=x+y+1. (1).x>0,y>0, .3xy=x+y+1≥2/xy+1, ∴.3xy-2/xy-1≥0， 即3(Wxy)2-2√xy-1≥0， .(3xy+1)(Wxy-1)≥0， ∴Wxy≥1，.xy≥1， 当且仅当x=y=1时，等号成立. xy的最小值为1. (2)x>0,y>0, x++1=3x3(告 .3(x+y)2-4(x+y)-4≥0， .[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0， x+y≥2， 当且仅当x=y=1时取等号， x十y的最小值为2. [能力提升组] 11.（多选)(2024·威海模拟)已知a>0,b>0,且 a+b=1,则 () A公+8≥号 B2>号 C.1og2a+log,b≥-2 D.√a+√b≤√2 8 解折.ABD[对于A选项，号产≥士 2 合→a+6≥正确： 对于B选项，由a十b=1且a>0,b>0可得，a -0=2a-1>-1,国北27>号正确： 对于C选项，a+b=1≥2√ab→ab≤1→ 4 1og,ab<1og子=2，错误： 对子D选项，≤乎店>6+6 2 ≤√2，正确.门 12.若正数a6满足}+-1，则，+的 最小值为 ( A.16 B.25 C.36 D.49 解析：A[因为a6≥0，+方-1，阶以a+0 =ab,所以4，十，16=46-1)+16(a-1 a=16-1 (a-1)(b-1) =4b+16a-20 ab-(a+b)+1 =4b+16a-20.又4b+16a =18+a)=16+a)(位+)=20+ 4侣+号)产20+4×2，·号=5，声里仅 3 =1,即a=2,b=3时取等 号.所以。+9≥36-20=1a.J 13.(2024·唐山模拟)在△ABC中，角A,B,C的 对边分别为a,b,c,AB边上的高为h,若c= 2h,则%+2的取值范围是 b a 解析：如图， h A a>0>0号+≥2，当a=6时号+取 得最小值2.又b+4=a十b a b ab :Zasi∠AcB=hd=-d+i-2a∠ACB: 1 ∴.ab= sn∠ACBa+6=t+2 abcos∠ACB: ch c2sin∠ACB+2 chcosa∠ACB sin∠ACB a b ch sin∠ACB =csin∠ACB+2hcos∠ACB 又c=2h; ·399 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 ,b+g=2hsin∠ACB+2hcos∠ACB a b h 2(sin∠ACB+cos∠ACB) =22sim∠ACB+x）K22. 4 2≤号+白≤2E.“号十台的取位范周是 a a [2,2√2]. 答案：[2,22 14.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖 等问题，因而减少碳排放具有深远的意义.为了 响应国家节能减排的号召，2024年某企业计划引 进新能源汽车生产设备.通过市场分析，全年投入 固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能 源汽车需另投入成本C(x)(单位：万元)，且C(x) 10.x2+100x,0<x<40, 501x+1000-4500,x≥40， 如果每辆车 的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当 年能全部销售完.（注：利润=销售额一成本） (1)求2024年的利润P(x)(万元)关于年产量 x(百辆)的函数关系式； (2)当2024年的年产量为多少百辆时，企业所 获利润最大？并求出最大利润. 10x2+100.x,0<x<40, 解：(1).C(x)= 501x+10000 4500,x≥40， .当0<x<40时，P(x)=500x-10x2-100x -2500=- 10.x2+400x-2500, 当x≥40时，P(x)=500x-501x 10000+ x 4500-2500=2000 x+10000 x 10x2+400.x-2500,0<x<40, 故P(x) 12000 x+10000y ,x≥40. (2)由(1)得P(x) -10.x2+400x-2500,0<x<40, 12000- x+10000 ,x≥40， 当0<x<40时，P(x)=-10(.x-20)2+1500, ∴.P(x)mx=P(20)=1500: 当x≥40时，P(x)=2000 x+10000} x 2000-2 /x×10000 =2000-200=1800, 当且仅当x=10000,即x=100时等号成立， 故P(x)max=P(100)=1800, .1800>1500,故当2023年的年产量为100 百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为 1800万元.