第二章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第12节 利用导数研究函数的极值、最值 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.借助函数的图像，了解函数在某 函数的极值与最值是高考的热点内 容，对极值的考查主要有2个命题角度： 点取得极值的必要条件和充分1.利用导数研究函数的极值，达 条件. ①判断极值的情况，②已知函数求极值. 成数学抽象和数学运算素养. 2.能利用导数求某些函数的极大2.利用导数研究函数的最值，提 考查函数最值时必定涉及函数的单调 性，还会涉及到方程和不等式.题型有大 值、极小值以及给定闭区间上函升逻辑推理和数学运算素养. 题也有小题且有一定难度.另外已知函 数的最大值、最小值（其中多项3.利用导数研究生活中的优化 式函数不超过三次). 数的极值（最值）情况求参数的取值范围 问题，发展数学建模和数学运 也是考查的热点内容，涉及函数的单调 3.体会导数与单调性、极值、最大 算素养 性时，往往需要进行分类讨论，这类题综 (小)值的关系 合性强，难度较大 夯实必备知识 对应学生用书P65 教材夯实强基固本 必备知识 4.利用导数求解实际问题中的优化问题 1.函数极值的概念 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称 之为优化问题.导数是解决生活中优化问题的有力 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,设x。∈D, 工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问 如果对于x。附近的任意不同于x。的x都有 题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问 (1)f(x)<f(x),则称x。为函数f(x)的一个极大值 题→优化问题的答案. 点，且f(x)在x。处取极大值； 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (2)f(x)>f(xo),则称xo为函数f(x)的一个极小值 (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质 点，且f(x)在x。处取极小值.极大值点与极小值 即可 点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值. (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出 2.可导函数的极值与导数之间的关系 比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质. 一般地，设函数f(x)在x。处可导，且f'(x。)=0. (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究 (1)如果对于x。左侧附近的任意x,都有f'(x)>0, 函数的性质. 对于x。右侧附近的任意x,都有f(x)<0,那么 重要结论 此时x。是f(x)的极大值点. 1.对于可导函数f(x),f'(x。)=0是函数f(x)在x (2)如果对于x。左侧附近的任意x,都有f'(x)<0, =x处有极值的必要不充分条件. 对于x。右侧附近的任意x,都有f(x)>0,那么 2.若函数f(x)在闭区间[a,b们上的图像连续不断，则 此时x。是f(x)的极小值点. f(x)在[a,b们上必有最大值与最小值. (3)如果f(x)在x。的左侧附近与右侧附近均为正号 3.若函数f(x)在闭区间[a,b]内是单调函数，则 (或均为负号)，则x。一定不是y=f(x)的极 f(x)一定在区间端点处取得最值 值点. 4.若函数f(x)在开区间(a,b)上的图像连续不断，且 3.函数的最值 有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最 (1)一般地，如果函数y=f(x)在定义域内的每一点 值点， 都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是 自主诊断 某个极值点；如果函数y=f(x)的定义域为 ◆[思考辨析] [a,b],函数y=f(x)在(a,b)内可导且存在最值， 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是 打“/”，错误的打“X” 极值点 (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. (2)求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 ( ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. (2)函数的极大值不一定比极小值大.( ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), (3)对可导函数f(x),f(.xo)=0是xo点为极值点 f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 的充要条件. () 是最小值，得出函数f(x)在[a,b]上的最值. (4)函数的极大值一定是函数的最大值.( ) ·80· 第二章函数、导数及其应用 (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值. 解析：C[y'=e十x·e, ( 令y=0,则x=-1, (6)函数f(x)=二在区间[-1,1]上有最值. ,x<-1时，y<0,x>-1时，y>0, ( x=一1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， 答案：(1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ x=-1时ym=-] (6)× ◆[小题查验] 4.(教材改编)函数y=x+2osx在区间[0，]上的 1.函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是 ( A.x=1 B.x=-1 最大值是 C.x=1或-1或0D.x=0 解析：C[f(x)=x4-2x2+3, 解析：y=1-2sin当x[0,君)时>0： ,由f(x)=4.x3-4x=4x(x十1)(x-1)=0,得 x=0或x=1或x=-1. 当x(管]时<0， 又当x<-1时，f(x)<0,当-1<x<0时，f'(x) 当x=时=吾+5。 >0,当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, .x=0,1,一1都是f(x)的极值，点.] 答案：若十 2.(教材改编)函数f(x)=a.x3十bx在x=1处有极 值-2，则a,b的值分别为 ) 5.从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四 A.1,-3 B.1,3 个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子 C.-1,3 D.-1,-3 容积的最大值为 cm'. 解析：A[f'(x)=3a.x2+b, 解析：设盒子容积为ycm3,盒子的高为xcm. ∴.f'(1)=3a+b=0.① 则y=(10-2x)(16-2x)x 又当x=1时有极值-2，.a十b=-2.② =4.x3-52x2+160x(0<x<5), 联立①②解得-1，经检验符合题意.] 1b=-3. .y=12.x2-104x+160. 3.函数y=xe的最小值是 ( 令y=0,得x=2或=9（含去 A.-1 B.-e .ymax=6×12×2=144(cm3), D.不存在 e 答案：144 跃升>关键能力 对应学生用书P66 层级突破素养提升 春点1) 利用导数研究函数的极值 ◆[命题角度2]利用导数求函数的极值（重难点） ◆[命题角度1]由函数图像判断其极值情况（基础点） 2.设a>≥0，函数)=合-a+1x+a(1+n. 1.设函数f(x)在R上可导，其 (1)求曲线y=f(x)在(2，f(2))处与直线y=-x 导函数为f'(.x),且函数y= 十1垂直的切线方程； (2)求函数f(x)的极值. (1-x)f'(x)的图像如图所 示，则下列结论中一定成立 解：1)由已知，得x>0,f()=x-(a+1)+ 的是 y=f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1， A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) 所以f(2)=1,即2-a+10+号=1， B.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(1) 所以a=0,此时f(2)=2-2=0, 故所求的切线方程为y=x一2. C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(一2)和极小值f(2) (2)f(x)=x-(a+1)+是 解析：D[由题图可知，当x<-2时，f(x)>0; =t2-a+1)x十a_(x-1)(x-a） 当-2<x<1时，f'(x)<0;当1<x<2时，f(x) ①当0<a<1时，若x∈(0，a),f(x)>0,函数f(x) <0;当x>2时，f(x)>0.由此可以得到函数 单调递增； 若x∈(a,1),f(x)<0,函数f(x)单调递减； f(x)在x=一2处取得极大值，在x=2处取得极 若x∈(1，十∞)，f(x)>0,函数f(x)单调递增. 小值.] ·81 高考总复习人教数学B版（新教材） 此时x=a是f(x)的极大值点，x=1是f(x)的极 故f(x)的极大值为 极小值为f 小位点，函数f)的板大值是fa)=-名0十 aln a, 若f()要存在3个点，则 极小位是f)=会 ②当4=1时，f(x)=二1)>0， 解 所以函数f(x)在定义域(0，十∞)上单调递增， 此时f(x)没有极值点，故无极值。 得a<-3.] ③当a>1时，若x∈(0,1)，f(x)>0,函数f(x)单调 4.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=alnx+ 递增； 若x∈(1，a),f(x)<0,函数f(x)单调递减； 么+二(a≠0)既有极大值也有极小值，则(） 若x∈(a,十o∞)，f'(x)>0,函数f(x)单调递增. A.bc0 B.ab 此时x=1是f(x)的极大值，点，x=a是f(x)的极 C.b2+8ac>0 D.ac<0 小值点，函数f(x)的极大值是f(1)=一 极小 解析：BCD[由题可知f(x)的定义域为(0， 值是fa)=-a2十alna,综上，当0<a<1时， 十m1=兰一是--，由画 数f(x)既有极大值也有极小值知f'(x)在(0，十 f(x)的极大位是-a+alna,板小值是- 1 o∞)上有两个不等实根，令h(x)=a.x2-bx-2c,则 当a=1时，f(x)没有极值； h(x)在(0，十∞)上有两个不等实根，所以 当a>1时，)的板大位定-号极小位是一d+ b2+8ac>0, A>0, b0 fb2+8ac>0, aln a. x1十x2>0,即 所以{ab>0, 方法指导 1x2>0, -2c>0, ac<0, 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤 a (1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导 所以b与a同号，c与a异号，故bc<0,所以A错 数f(x); 误，B、C、D正确.] (2)求方程f'(x)=0的根； 点2)利用导数研究函数的最值（重难点） (3)检查f'(x)在方程根的左右的值的符号，如果 [典例]已知函数f(.x)=xer,其中a≤0，e为自然 左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值， 对数的底数. 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小 (1)讨论函数f(x)的单调性； 值.如果左右符号相同，则此根处不是极值点. (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值. 易错警示：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极 [解](1)f(x)=2.xe+xae=x(a.x十2)e. 值，那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数，即 ①当a=0时，由f(x)>0,得x>0,由f'(x)<0, 在某区间上单调函数没有极值. 得x<0. ◆[命题角度3]已知极值（点），求参数的取值（重难点） 故函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，在（一o∞，0） 3.(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax十2存在3 上单调递减； 个零点，则a的取值范围是 ) 2 A.(-∞，-2) B.(-o∞，-3) ②当a<0时，由f'(x)>0,得0<x<- a C.(-4,-1) D.(-3,0) 解析：B[f(x)=x3+a.x十2，则f(.x)=3x2十a, 由f(x)<0,得x<0或x>-2 若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小 值，则a<0,令f(x)=3x2十a=0, 故函教了)在(0，一)上单调递增。 解得x=号 在(-0与(-十上单调递减。 1当e(子+j时， (2)①当a=0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其 最大值为f(1)=1; f(x)>0 ②当-2<a<0时，-名>1，f(x)在区同[01]上 (x)<0, 单调递增，其最大值是f(1)=e”; ·82· 第二章函数、导数及其应用 ③当a≤-2时，0<-2≤1，x=-2是函数f(x) 方米，且≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面 a 积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千 在区间[0,1]上唯一的极大值点，也就是最大值点， 元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元， 此时函数f(x)最大值是 设该容器的建造费用为y千元. 综上得当-2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值 是e; 当a≤-2时，f)在[0,1门上的最大位为名 方法指导 (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定 求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时，首先可判 义域； 断函数在[a,b]上的单调性，若函数在[a,b]上单调 (2)求该容器的建造费用最小时的r. 递增或单调递减，则f(a),f(b)一个为最大值，一 [思维导引门(1)建造费用=表面积×单价，用r 个为最小值.若函数在[a,b]上不单调，一般先求 把1表示出来，再由>≥2r得到r的取值范围，即函 [a,b]上f(x)的极值，再与f(a),f(b)比较，最大 数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造费用 的即为最大值，最小的即为最小值. 最小时的r. 易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐 [解](1)设容器的容积为V,由题意知 全：含参数时，要讨论参数的大小 3 V- 4 跟踪训练 V=r1+m2,又V-,故1= =80 3r2 已知函数f(x)=(x-k)e, (1)求f(x)的单调区间； 告=吉(9-小由于≥.周光号(9-小户2， (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解：(1)由f(x)=(x-k)e,得f(x)=(x-k十1)e, 整理得49≥5，故0<r≤2.所以建造费用y=2l 令f'(x)=0,得x=k-1. f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表： ×3+4=2rx(9-rX3+1rc (-o∞，k-1) k-1 (k-1,+©∞) 因此y=4x(c-2r2+160π，0<r≤2 六 f'(x) 0 十 (2)由(1)得y'=8x(c-2),-160r f(x) -es-1 8a2”(-22)0<≤2.由于>3. r2 所以f(x)的单调递减区间是（一∞，k一1）；单调递 所以c-2>0, 增区间是(k-1,十∞). (2)当k-1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单 当r3- 20 320 调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0) c-2 =0时，r=√-2 3 =-k.当0<k-1<1,即1<k<2时，由(1)知 20 f(x)在[0，k一1)上单调递减，在(k一1,1]上单调 令-2 =m,则m>0, 递增 所以y=8xc-2(,-m)(2+m+m2). 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)= -ek-1 ①当0<m<2,中c>号时，当r=m时y=0: 当k一1≥1，即k≥2时，函数f(.x)在[0,1]上单调 当r∈(0，m)时，y'<0;当r∈(m,2)时，y'>0. 递减， 所以r=m是函数y的极小值，点，也是最小值点 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-)e 综上可知，当k≤1时，f(x）mn=一k;当1<k< ②当m≥2，即3<<号时， 2时， 当r∈(0,2]时，y<0,函数单调递减， fx)n=-e1;当k≥2时，f(x）mn=f(1)=(1-k)e. 所以r=2是函数y的最小值点. 专点3)利用导数研究生活中的优化问题应用点) [典例]某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度， 综上所选，当3<（≤号度道资月最小时r=2: 长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两 320 端均为半球形，按照设计安求，容器的容积为立 当>号，建造资用凝小时，=√9 ·83 高考总复习人教数学B版（新教材） 方法指导 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 集为〔2小 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际 问题的数学模型，写出相应的函数关系式y 解析：ACD[图为f)-alhE+兰，所以fI) =f(x). (2)求导数f(x),解方程f'(x)=0. (3)判断使f'(x)=0的点是极大值点还是极小 2fx=-是所以f1)=a-2, 值点. 因此函数f(x)的图像在，点x=1处的切线方程为 (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题 y-2=(a-2)(x-1), 中作答，一般地，对于实际问题，若函数在给定 即(a-2)x-y-a十4=0，故A正确； 的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最 值点 当10时f()=2-是<0在60卡0上 :跟踪训练 恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点，故 (2024·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验 B错； 表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售 当a=1时，fx)=1-兰=2，由f(x)>0 价格x(单位：元/千克)满足关系式y=,”3十 得x>2;由f(x)<0得0<x<2, 10(x一6)2，其中3<x<6,a为常数.已知销售价格 为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。 所以函数f(x)=1nx十2在(0,2)上单调递减，在 (1)求a的值； (2,十∞)上单调递增； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格 x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润 因此fx)m=1n2+号=h2+1,即fx≥n2+1, 2 最大 故C正确； 解：(1)因为x=5时，y=11,所以%十10=11， 当4=-1时，f(x)=-1-号<0在x∈(0，十o0)上 即a=2. 恒成立， ②)由1)可知，该商品每日的销售量为y=23 所以函数f(x)在(0，十∞)上单调递减； 10(x一6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利 2x-1>0 9为f)=(-3儿23+10-60川 由f(2x-1)-f(x)>0可得 x>0 ,解得 2x-1x =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] x<1,故D正确.] =30(x-4)(x-6) 2.(多选)已知函数f(x)=+x一1，则下列结论正 于是当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： e 确的是 (3,4) 4 (4,6) A.函数f(x)存在两个不同的零点 f'(x) 十 0 一 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 C.当一e<k<0时，方程f(.x)=k有且只有两个 实根 由上表可得，x=4时，函数f(x)在区间(3,6)内的 极大值点，也是最大值点.所以，当x=4时，函数 D若x∈.+0)时，f)s号则1的最小值 f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售 价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得 为2 的利涧最大· 解析：ABC[A.f(x)=0→x2十x-1=0,解得x 专点4) 利用导数求解函数极值和最值的综 合问题（重难点） 一1士5，所以A正确： 2 1.(多选)(2024·山东省高三模拟)关于函数f(x)= B.f(x)=-2-x-2=-(x+10(x-2) e e anx十二，下列判断正确的是 ( 当f(x)>0时，-1<x<2,当f(x)<0时，x< A.函数f(x)的图像在点x=1处的切线方程为(a -1或x>2, -2)x-y-a+4=0 (一∞，一1)，(2，十∞)是函数的单调递减区间， B.x=2是函数f(x)的一个极值点 (一1,2)是函数的单调递增区间， 所以f(一1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大 C.当a=1时，f(x)≥ln2+1 值，所以B正确 D.当a=-1时，不等式f(2x-1)-f(x)>0的解 C.当x→十o∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值 是f(-1)=-e,再根据单调性可知，当-e<k<0 ·84· 第二章函数、导数及其应用 时，方程f(x)=k有且只有两个实根，所以C正确； 解题技法 D.由图像可知，t的最大值是2，所以不正确.] 解决函数极值、最值综合问题的策略 y (1)求极值、最值时，思维要规范，含参数时，要讨论 参数的大小 2 (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是 最值点，要通过比较才能下结论。 0 (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值 与端点值进行比较才能确定最值。 第13节 导数的综合应用 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.利用导数证明不等式，发展逻辑推 导数的综合应用是历年高考必考的 1.理解并掌握利用导数解决不等理和数学运算素养。 热点，试题难度较大，多以压轴题形式出 式的恒成立、能成立问题.2.利用导数研究不等式的恒成立、能成现，命题的热点主要有利用导数研究函 2.理解并掌握利用导数比较大立问题，提升逻辑推理和数学运算 数的单调性、极值、最值；利用导数研究 小、证明不等式 素养 不等式；利用导数研究方程的根（或函数 3.理解并掌握利用导数研究函数3.利用导数研究函数的零点问题，提的零点)等.体现了分类讨论、数形结合、 的零点问题 升直观想象、逻辑推理和数学运算函数与方程、转化与化归的数学思想的 素养 运用 第一课时利用导数证明不等式 专题概述 利用导数证明不等式是高考考查的重点和热点，常转化为函数的单调性、最值问题求证 跃升>关健能力 对应学生用书P69 层级突破素养提升 春点1 构造法证明一元不等式 [典例](2023·新课标I卷)已知函数f(x)=a(e十 令g'a)<0.则0Ka<竖：令ga)>0,则a> 2 a)-x. (1)讨论f(x)的单调性； 所以ga)在0上单，在（停+ (2)证明：当a>0时，f(x)>21na+ 2 [解](1)因为f(x)=a(e十a)-x,定义域为R, 所以f'(x)=ae-1, 巨=1n2>0,则g(a)>0恒成立， 当a≤0时，由于e>0,则ae'≤0，故f'(x)=ae 一1<0恒成立， 所以当a>0时f(x)>2na+号恒成立，证车。 所以f(x)在R上单调递减； 方法二：令h(.x)=e-x-1,则h'(x)=e-1, 当a>0时，令f'(x)=ae-1=0,解得x=-lna, 由于y=e在R上单调递增，所以h'(x)=e一1 当x<-lna时，f(x)<0,则f(x)在(-oo,-lna)上 在R上单调递增，又h'(0)=e°-1=0， 单调递减； 所以当x<0时，h'(x)<0;当x>0时，h'(x)>0; 当x>-lna时，f(x)>0,则f(x)在(-lna,+o∞)上 所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十o∞)上 单调递增； 单调递增，故h(x)≥h(0)=0,则e≥x十1，当且仅 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减； 当x=0时，等号成立， 当a>0时，f(x)在(-∞，一lna)上单调递减， 因为f(x)=a(e十a)-x=ae十a2-x=e+ha十 f(x)在(-lna,十o∞)上单调递增. a-x≥x+lna+1+a'-x, 当且仅当x十lna=0,即x=-lna时，等号成立， (2)证明：方法一：由(1)得，f(x)nin=f(-lna)=a (e ia+a)+In a=1+a2+In a, 所以要逆fx)>2na+2,即证x+lna+1+a 要证fx)>2lna+是，即证1ta+lha>2laa十 ->2na+是即证a2-合-lna>0, 3 多即送d-含-lha>0恒成主，令ga=a2 令ga)=d-号-lhaa>0,则Ra)=2a- a 合-haa>0,则go)=2a-上-2a。1 =2a2-1 a a a ·85·