第二章 第11节 利用导数研究函数的单调性（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第11节 利用导数研究函数的单调性 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 利用导数研究函数的单调性 1.利用导数判断或证明函数的单调性，是高考考查的热点内容，主要考 1.结合实例，借助几何直观了解函 发展逻辑推理和数学运算素养. 查利用导数讨论函数的单调性， 数的单调性与导数的关系」 2.利用导数求函数的单调区间，提升逻利用导数确定函数的单调区间、 2.能利用导数研究函数的单调性. 辑推理和数学运算素养. 3.会求函数的单调区间（其中多项 己知函数的单调性求参数的取值 3.已知函数的单调性求参数的取值范范围等，考查转化与化归、分类讨 式函数不超过三次) 围，提升逻辑推理和数学运算素养 论、数形结合等思想方法，题型主 要以解答题为主，属于中高档题 夯实>必备知识 对应学生用书P61 教材夯实强基固本 必备知识 1.函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在区间(a,b)内可导： (1)若f(x)>0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数； (2)若f(x)<0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数； A.函数f(x)在区间（一3,0）上是减函数 (3)若f(x)=0,则f(x)在区间(a,b)上是常数函数 B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减函数 2.求函数单调区间的步骤 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 (1)求定义域. D.函数f(x)在区间（一3,2）上是单调函数 (2)求导 解析：A[当x∈（一3,0）时，f'(x)<0,则f(x)在 (一3,0)上是减函数，其他判断均不正确.] (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求 2.函数f(x)=1十x-sinx在(0,2π)上的单调情 单调递减区间. 况是 重要线论 A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 1.f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递 解析：A[在(0,2π)上有f(x)=1-cosx>0,所 增（或递减）的充分不必要条件. 以f(x)在(0,2π)上单调递增.] 2.若f(x)可导且f(x)=0不恒成立，则f'(x)≥0 3.(2024·和平区模拟)已知f(x)是定义在R上的函 (或f(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增（或递 数，它的图像上任意一点P(x。,y)处的切线方程 减)的充要条件. 为y=(x6+x。-2)x+(y-x8-x6+2x),那么 函数f(x)的单调递减区间为 ( 自主诊断 A.(-2,1) B.(-1,2) ◆[思考辨析] C.(-∞，-2) D.(1,+o∞) 解析：A[由图像上任意一点P(x。,y)处的切线 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” 方程为y=(x日十x0-2)x十(yo-x8-x十2x), 知f(x)的导数为f'(x)=x2十x-2, (1)f(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. 令f'(x)<0,解得：-2<x<1.门 4.(教材改编)函数f(x)-x一lnx的单调递减区间 (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图像 为 就越“平缓” ( 解析：函数的定义域是(0，十∞)，且f(x)=1一1 (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0,则 f(x)在此区间内为常数函数， ( =二1，令f(x)<0,得0<x<1,故f(x)的单调 (4)f(x)在(a,b)上单调递增与(a,b)是f(x)的单 递减区间为(0,1). 调递增区间意义不一样。 ( 答案：(0,1) [答案](1)×(2)×(3)/(4)/ 5.已知f(x)=x3-a.x在[1，十o∞)上是增函数，则a ◆[小题查验] 的最大值是 解析：f(.x)=3.x-a≥0，即a≤3x, 1.(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f'(x) 又：x∈[1，十o∞)，.a≤3，即a的最大值是3. 的图像，则下列判断中正确的是 ( 答案：3 ·76· 第二章函数、导数及其应用 跃升>关键能力 对应学生用书P62 层级突破素养提升 专点1利用导数判断或证明函数的单调性（重难点） ①当1<a<2时，若x∈(-1，a2-2a),则f(x)>0, [典例]已知函数f(x)=2lnx+1. f(x)在(-1，a2-2a)内是增函数； (1)若f(x)≤2.x十c,求c的取值范围； 若x∈(a2-2a,0),则f(x)<0,f(x)在(a2-2a,0)内 (2)设a>0,讨论函数g(x)=f）-fa的单 是减函数 x-a 若x∈(0，十∞)，则f(x)>0,f(x)在(0，十∞)内是增 调性. 函数 [解](1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)， ②当a=2时，f'(x)≥0，f'(x)=0成立当且仅当x f(x)≤2.x+c→f(x)-2x-c≤0→ =0,f(x)在(-1，十∞)内是增函数. 2lnx+1-2.x-c≤0(*)， ③当a>2时，若x∈(-1,0)，则f(.x)>0,f(x)在 设h(x)=2lnx+1-2x-c(x>0), (一1,0)内是增函数； 则有h'(x)=2-2=2(1-x) 若x∈(0，a2-2a),则f'(x)<0,f(x)在(0，a2- x 2a)内是减函数； 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 若x∈(a2-2a,十o∞)，则f(.x)>0,f(x)在(a2 当0<x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 2a,十∞)内是增函数. 所以当x=1时，函数h(x)有最大值， 专点2利用导数求函数的单调区间（重难点） 即h(x)mmx=h(1)=2ln1+1-2×1-c=-1-c, 要想不等式()在(0，十∞)上恒成立， [典例] 已知函数fx)=子+-lnx-是，其中a 只需h(x)mx≤0→-1-c≤0→c≥-1. ∈R,且曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直 (2)g(x)=2nx+1-(21ma+D_21mx-1na x-a x-a 于直线) (x>0且x≠a), (1)求a的值； 因此g'(x)=2(x-a-lnx+xlna) (2)求函数f(x)的单调区间. x(x-a) 设m(.x)=2(.x-a-xlnx十xlna), [解对)求学得了)=-兰-白 则有m'(x)=2(lna-lnx), 当x>a时，lnx>lna,所以m'(.x)<0,m(x)单调 由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线y=2x, 递减， 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x) 知f(1)=-是-a=-2,解得a= 单调递减； 当0<x<a时，lnx<lna,所以m'(x)>0,m(x)单 @)1知x)=片+名-nx-受 调递增， 则fx)=-4x-5 因此有m(x)<m(a)=0,即g'(x)<0,所以g(x) 4.x2 单调递减， 令f'(x)=0,解得x=-1或x=5, 所以函数g(x)在区间(0，a)和(a,十oo)上单调递 因x=一1不在f(x)的定义域(0，十∞)内，故 减，没有递增区间 舍去 当x∈(0,5)时，f(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减 方法指导 函数；当x∈(5，+o∞)时，f(x)>0,故f(x)在 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (5,十∞)内为增函数. (1)求f(x): 方法指导 (2)确认f'(x)在(a,b)内的符号； 利用导数求函数单调区间的方法 (3)下结论：f(x)>0时为增函数；f(x)<0时为减 (1)当导函数不等式可解时，解不等式f(x)>0或 函数. f'(x)<0求出单调区间. 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意 (2)当方程f'(x)=0可解时，解出方程的实根，依 依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定 :跟踪训练 各区间f(x)的符号，从而确定单调区间. (3)若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据 讨论函数f(.x)=1n(x+1)-a(a>1)的单 f'(x)结构特征，利用图像与性质确定f'(x)的 调性， 符号，从而确定单调区间. 解：f(x)的定义域为（一1，十∞），f（x) 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区 =[x-(a2-2a)] 间之间不能用并集“U”及“或”连接，只能用“，” (x+1)(x+a)2 “和”字隔开. 77 高考总复习人教数学B版（新教材） !跟踪训练 2.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知函数f(x)=e 十ex+|xl.则下面结论正确的是 已知函数f(x)=ln(e+1)-ax(a>0). A.f(x)是奇函数 (1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a的值； B.f(x)在[0，+∞)上为增函数 (2)求函数y=f(x)的单调区间. 解：(1)函数f(x)的定义域为R. C若x≠0.则+）e+2 由已知得f(x)= D.若f(x-1)<f(-1),则0<x<2 e+1-a. 解析：BCD[对于A选项，函数f(x)=e十er十 ,函数y=f(x)的导函数是奇函数， |x的定义域为R, f(-)=-f(),即 e f(-x)=e *+e"+-xl=e *+e*+lxl e+1a= 十a, e+1 =f(x),则函数y=f(x)为偶函数，A选项错误； 解得a= 对于B选项，当x≥0时，f(x)=e十eI+x, 则f'(.x)=e-ex+1≥1， (2)由(1)f(.x)=e 1 所以，函数y=f(x)在[0，十∞)上为增函数，B选 '+1-a=1 e+1-a. 项正确； ①当a≥1时，f'(.x)<0恒成立， 对于C选项，当x>0时，由基本不等式可得x十之 .a∈[1，十o∞)时，函数y=f(x)在R上单调递减. ②当0<a<1时，由f(.x)>0得(1-a)(e+1)> ≥2…-2 1,即e>-1+己a解得>1n。 由于函数y=f(x)在[0，十∞)上为增函数，此时 由f'(x)<0得(1-a)(e+1)<1, f(+Pf2)=c+e+2>e+2. 即e<-1+已a解得x<n产a 由于函数y=x十】为奇函数，当x<0时，一x一1≥ a∈01)时，函数y=fx)在(n“a+∞上 …=+》(--)e+2 单调递增，在〔，h”a)上单润递减。 综上所迷，当x≠0时，f十)>6+2.C选项 正确； 春点3 函数单调性的简单应用 对于D选项，由于函数y=f(x)为偶函数，由f(x ◆[命题角度1]比较大小或解不等式（重难点） -1)<f(-1),得f(1.x-1)<f(1), 1.已知实数a,b,c∈(0,1)，且a=2023e22,b= 由于函数y=f(x)在[0，十o∞)上为增函数，则|x一1 2024e5224,c=2025e205,则 ( <1,解得0<x<2,D选项正确.] A.a<b<c B.b<c<a 解题技法 C.c<a<b D.c<b<a 构造法解f(x)与f'(x)共存问题 解析：D[由a=2023e8-2023,b=2024e-2024,c= (1)对于不等式f'(.x)+g'(x)>0(或<0)，构造函 2025e2晒，得g=g%.-e20g_ e205 数F(x)=f(x)十g(x). a-2023'b-2024'c-2025' (2)对于不等式f'(x)-g(x)>0(或<0)，构造函 令f)->0,则/(x=D,当0<a 数F(x)=f(x)-g(x. T 特别地，对于不等式f'(x)>k(或<k)(k≠0)， <1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0, 构造函数F(x)=f(x)一kx. (3)对于不等式f'(.x)g(x)+f(.x)g(x)>0(或< 于是函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上 0),构造函数F(x)=f(x)g(x). 单调递增，则f(2023)<f(2024)<f(2025), (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或< 为隔用6言兰序o 0.为查重菱F)-g0 <f(b)<f(c),又a,b,c∈(0,1)， (5)对于不等式xf'(x)+f(x)>0(或<0)，构造 所以c<b<a.] 函数F(x)=xf(x). ·78· 第二章函数、导数及其应用 (6)对于不等式xf(.x)-f(x)>0(或<0)，构造 (2)因为f(x)在(-∞，十o∞)上是增函数， 函数F(x)=fx)(x≠0). 所以f'(x)=3.x2-a≥0在(-∞，十∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立. (7)对于xf(x)十nf(x)>0型，构造F(x)= 因为3x≥0，所以只需a≤0， x"f(x),则F'(x)=x"-1[xf'(x)十nf(x)](注 又因为a=0时，f(x)=3x2≥0，f(x)=x3-1在 意对x"1的符号进行讨论)，特别地，当n=1 R上是增函数，所以a≤0，即a的取值范围 时，xf'(x)十f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则 为(-∞，0]. F'(x)=xf(x)+f(x)>0. [子题1]函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，十∞) (8)对于xf(x)-nf(x)>0(x≠0)型，构造F(x) 上为增函数，求a的取值范围. =f,则F(x)=f')-nf）(注意对 解：因为f(x)=3.x2-a,且f(x)在区间(1，十∞) x” 上为增函数，所以f(x)≥0在(1，十∞)上恒成立， x+1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时， 即3x2-a≥0在(1，十o∞)上恒成立， xf()-f(x)>0,构造F(x)=fC,则 所以a≤3x2在(1，十o∞)上恒成立，所以a≤3， 即a的取值范围为(-o∞，3]. F'(x)=f'x)fx)0. [子题2]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1)上 (9)对于不等式f(x)+f(x)>0(或<0)，构造函 为减函数，试求a的取值范围. 解：由f(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立，得 数F(x)=ef(x). a≥3x2在(-1,1)上恒成立. (10)对于不等式f(x)-f(x)>0(或<0)，构造函 因为-1<x<1,所以3.x2<3,所以a≥3. 数F(x)=f(.a) 即当a的取值范围为[3，十o∞)时，f(x)在（一1,1） 上为减函数 ◆[命题角度2]已知函数的单调性求参数的取值 [子题3]函数f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为 范围（迁移点）》 (-1,1),求a的值. [母题]已知函数f(x)=x3-a.x-1. 解：由母题可知，f(x)的单调递减区间为 (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值 8a,3@a=1,即4=3. 33 3 范围. [子题4]函数f(x)不变，若f(x)在区间(-1,1)上 [破题关键点](1)讨论f(x)的符号是正的还是 不单调，求a的取值范围. 负的； 解：f(x)=x3-ax-1,∴.f'(x)=3x2-a. (2)转化为f(x)≥0在(-∞，十∞)上恒成立： [解](1)f(x)=3.x2-a. 由f)=0,得x=士a≥0. ①当a≤0时，f'(x)≥0， ,f(x)在区间(-1,1)上不单调， 所以f(x)在（一∞，十∞）上为增函数. 0<√3@<1，得0<a<3, ②当a>0时，令3x2-a=0,得x=士3a 3 39 即a的取值范围为(0,3). 当x>@或<-3@时，f(x)>0: 规律总结 3 3 已知函数单调性，求参数范围的两个方法 当-a<<@时f(x)<0. 3 (1)利用集合间的包含关系处理：y-f(x)在(a,b) 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. 国光)在(，-+小上为 (2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递 画纸在(-上为西数 增，则f(x)≥0；若函数单调递减，则f(x)≤ 0”来求解. 综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数； 易错警示：f(x)为增函数的充要条件是对任意 +j 的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一 当a>0时，f(x)在 -o,- 非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子 为增函数，在 上为减函数 中的等号不能省略，否则漏解， ·79·