第2章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“利用导数研究函数的极值、最值”专题，依据新课标要求梳理了极值概念、导数与极值关系、闭区间最值求法及实际优化问题四大核心考点，结合考情分析明确“已知解析式求极值最值”“已知极值点求参数”占比超60%的高频考查方向，归纳选择、填空、解答题三类常考题型。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养提升”的备考设计，如以2023全国乙卷“函数存在3个零点求参数范围”为例，详解导数法判断极值正负的逻辑推理过程，结合“求极值步骤规范”“含参数分类讨论”等应试技巧，培养数学运算与逻辑推理素养。特设“易错警示”（如导数为0未必是极值点）和“跟踪训练”，助力学生掌握得分关键，教师可精准把握复习重点。

第12节 利用导数研究函数的极值、最值 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第二章 函数、导数及其用应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.借助函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) . 3．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养 　　函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大 1．函数极值的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x都有 (1)f(x)＜f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值； (2)f(x)＞f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值． 2．可导函数的极值与导数之间的关系 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 3．函数的最值 (1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)在(a，b)内可导且存在最值，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点． (2)求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. ②将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的　函数值f(a)，f(b)　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案． 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可． (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质． (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图像连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　 ) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　 ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　 ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 ) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　 ) (6)函数f(x)＝eq \f(1,x)在区间[－1,1]上有最值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× ◆[小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 ) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] 2．(教材改编)函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　 ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：A　[∵f′(x)＝3ax2＋b， ∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.))经检验符合题意．] 3．函数y＝xex的最小值是(　　 ) A．－1 B．－e C．－eq \f(1,e) D．不存在 解析：C　[y′＝ex＋x·ex， 令y′＝0，则x＝－1， ∵x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0， ∴x＝－1是函数的唯一极小值点，即为最小值点， ∴x＝－1时，ymin＝－eq \f(1,e)，故选C.] 4．(教材改编)函数y＝x＋2cos x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值是　________　. 解析：∵y′＝1－2sin x，∴当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))时，y′>0； 当x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))时，y′<0. ∴当x＝eq \f(π,6)时，ymax＝eq \f(π,6)＋eq \r(3). 答案：eq \f(π,6)＋eq \r(3) 5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为　________　 cm3. 解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm. 则y＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)， ∴y′＝12x2－104x＋160. 令y′＝0，得x＝2或x＝eq \f(20,3)(舍去)， ∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)． 答案： 144 　利用导数研究函数的极值 [命题角度1]　由函数图像判断其极值情况(基础点)　 1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　 ) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析：D　[由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．] [命题角度2]　利用导数求函数的极值(重难点)　 2．设a>0，函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)． (1)求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处与直线y＝－x＋1垂直的切线方程； (2)求函数f(x)的极值． 解：(1)由已知，得x>0，f′(x)＝x－(a＋1)＋eq \f(a,x)， y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1， 所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋eq \f(a,2)＝1， 所以a＝0，此时f(2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y＝x－2. (2)f′(x)＝x－(a＋1)＋eq \f(a,x) ＝eq \f(x2－a＋1x＋a,x)＝eq \f(x－1x－a,x). ①当0<a<1时，若x∈(0，a)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 若x∈(a,1)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 若x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－eq \f(1,2)a2＋aln a， 极小值是f(1)＝－eq \f(1,2). ②当a＝1时，f′(x)＝eq \f(x－12,x)>0， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增， 此时f(x)没有极值点，故无极值． ③当a>1时，若x∈(0,1)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 若x∈(1，a)，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 若x∈(a，＋∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)＝－eq \f(1,2)，极小值是f(a)＝－eq \f(1,2)a2＋aln a．综上，当0<a<1时，f(x)的极大值是－eq \f(1,2)a2＋aln a，极小值是－eq \f(1,2)； 当a＝1时，f(x)没有极值； 当a>1时，f(x)的极大值是－eq \f(1,2)，极小值是－eq \f(1,2)a2＋aln a. 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点． 易错警示：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． ◆[命题角度3]　已知极值(点)，求参数的取值(重难点)　 3．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)　　　 B．(－∞，－3) C．(－4，－1) D．(－3,0) 解析：B　[f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a， 若f(x)存在3个零点，则f(x)存在极大值和极小值，则a＜0，令f′(x)＝3x2＋a＝0， 解得x＝－eq \r(\f(－a,3))或 eq \r(\f(－a,3))， 且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(－a,3))))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(－a,3))，＋∞))时， f′(x)＞0， 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(－a,3))， \r(\f(－a,3))))，f′(x)＜0， 故f(x)的极大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(－a,3))))，极小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(－a,3))))，若f(x)要存在3个零点，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(－a,3))))＞0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(－a,3))))＜0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a,3) \r(\f(－a,3))－a\r(\f(－a,3))＋2＞0，,\f(－a,3) \r(\f(－a,3))＋a\r(\f(－a,3))＋2＜0，))解得a＜－3.] 4．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0 解析：BCD　[由题可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(b,x2)－eq \f(2c,x3)＝eq \f(ax2－bx－2c,x3)，由函数f(x)既有极大值也有极小值知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不等实根，令h(x)＝ax2－bx－2c，则h(x)在(0，＋∞)上有两个不等实根，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,x1＋x2＞0，,x1x2＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＋8ac＞0，,\f(b,a)＞0，,\f(－2c,a)＞0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b2＋8ac＞0，,ab＞0，,ac＜0，)) 所以b与a同号，c与a异号，故bc＜0，所以A错误，B、C、D正确．] 利用导数研究函数的最值(重难点) [典例]　已知函数f(x)＝x2eax，其中a≤0，e为自然对数的底数． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值． [解]　(1)f′(x)＝2xeax＋x2aeax＝x(ax＋2)eax. ①当a＝0时，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)<0，得x<0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减； ②当a<0时，由f′(x)>0，得0<x<－eq \f(2,a)， 由f′(x)<0，得x<0或x>－eq \f(2,a). 故函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2,a)))上单调递增， 在(－∞，0)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)，＋∞))上单调递减． (2)①当a＝0时，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值为f(1)＝1； ②当－2<a<0时，－eq \f(2,a)>1，f(x)在区间[0,1]上单调递增，其最大值是f(1)＝ea； ③当a≤－2时，0<－eq \f(2,a)≤1，x＝－eq \f(2,a)是函数f(x)在区间[0,1]上唯一的极大值点，也就是最大值点， 此时函数f(x)最大值是feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)))＝eq \f(4,a2e2). 综上得当－2<a≤0时，f(x)在[0,1]上的最大值是ea； 当a≤－2时，f(x)在[0,1]上的最大值为eq \f(4,a2e2). 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先可判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值． 易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． 已知函数f(x)＝(x－k)ex， (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 解：(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex， 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  －ek－1  所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k.当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增． 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1. 当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1＜k＜2时， f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝f(1)＝(1－k)e. 利用导数研究生活中的优化问题(应用点) [典例]　某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求，容器的容积为eq \f(80π,3)立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元，设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. [思维导引]　(1)建造费用＝表面积×单价，用r把l表示出来，再由l≥2r得到r的取值范围，即函数y的定义域；(2)利用导数求该容器的建造费用最小时的r. [解]　(1)设容器的容积为V，由题意知 V＝πr2l＋eq \f(4,3)πr3，又V＝eq \f(80π,3)，故l＝eq \f(V－\f(4,3)πr3,πr2)＝eq \f(80,3r2)－eq \f(4,3)r＝eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r)).由于l≥2r，因此eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))≥2r， 整理得eq \f(40,r2)≥5r，故0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×eq \f(4,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,r2)－r))×3＋4πr2c. 因此y＝4π(c－2)r2＋eq \f(160π,r)，0<r≤2. (2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－eq \f(160π,r2)＝ eq \f(8πc－2,r2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r3－\f(20,c－2)))，0<r≤2.由于c>3， 所以c－2>0， 当r3－eq \f(20,c－2)＝0时，r＝ eq \r(3,\f(20,c－2)). 令 eq \r(3,\f(20,c－2))＝m，则m>0， 所以y′＝eq \f(8πc－2,r2)(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当0<m<2，即c>eq \f(9,2)时，当r＝m时，y′＝0； 当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2)时，y′>0. 所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点． ②当m≥2，即3<c≤eq \f(9,2)时， 当r∈(0,2]时，y′<0，函数单调递减， 所以r＝2是函数y的最小值点． 综上所述，当3<c≤eq \f(9,2)，建造费用最小时r＝2； 当c>eq \f(9,2)，建造费用最小时r＝ eq \r(3,\f(20,c－2)). 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)． (2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点． (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． (2024·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq \f(a,2)＋10＝11，即a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62)) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4时，函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 利用导数求解函数极值和最值的综 合问题(重难点) 1．(多选)(2024·山东省高三模拟)关于函数f(x)＝aln x＋eq \f(2,x)，下列判断正确的是(　　) A．函数f(x)的图像在点x＝1处的切线方程为(a－2)x－y－a＋4＝0 B．x＝eq \f(2,a)是函数f(x)的一个极值点 C．当a＝1时，f(x)≥ln 2＋1 D．当a＝－1时，不等式f(2x－1)－f(x)＞0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析：ACD　[因为f(x)＝aln x＋eq \f(2,x)，所以f(1)＝2，f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(2,x2)，所以f′(1)＝a－2， 因此函数f(x)的图像在点x＝1处的切线方程为y－2＝(a－2)(x－1)， 即(a－2)x－y－a＋4＝0，故A正确； 当a＜0时，f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(2,x2)＜0在x∈(0，＋∞)上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点，故B错； 当a＝1时，f′(x)＝eq \f(1,x)－eq \f(2,x2)＝eq \f(x－2,x2)，由f′(x)＞0得x＞2；由f′(x)＜0得0＜x＜2， 所以函数f(x)＝ln x＋eq \f(2,x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增； 因此f(x)min＝ln 2＋eq \f(2,2)＝ln 2＋1，即f(x)≥ln 2＋1；故C正确； 当a＝－1时，f′(x)＝－eq \f(1,x)－eq \f(2,x2)＜0在x∈(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 由f(2x－1)－f(x)＞0可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＞0,x＞0,2x－1＜x))，解得eq \f(1,2)＜x＜1，故D正确．] 2．(多选)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋x－1,ex)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)存在两个不同的零点 B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C．当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根 D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝eq \f(5,e2)，则t的最小值为2 解析：ABC　[A.f(x)＝0⇒x2＋x－1＝0，解得x＝eq \f(－1±\r(5),2)，所以A正确； B．f′(x)＝－eq \f(x2－x－2,ex)＝－eq \f(x＋1x－2,ex)， 当f′(x)＞0时，－1＜x＜2，当f′(x)＜0时，x＜－1或x＞2， (－∞，－1)，(2，＋∞)是函数的单调递减区间，(－1,2)是函数的单调递增区间， 所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确． C．当x→＋∞时，y→0，根据B可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e＜k＜0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，t的最大值是2，所以不正确．] 解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，思维要规范，含参数时，要讨论参数的大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． $