第二章 第10节 导数的概念与计算（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 解：(1)依题意，x≠0， 当x=1时，R(x)=0,则方程R(x)=x无解，当x 式R>吉+号的解为号} 为（0,1)内的无理数时，R(x)=0,则方程R(x)=x 无解， (3)存在非零实数=1,0=号，使得y=R(x十6) 当x=卫(p,q∈N,卫为既约真分数)时，则R(x) 0 为偶画数，即=R十》为隔西数，证明如下： =9为大于1的正整数，则由方程R(x)=x,解 当x=0或x=1时，有R(0)=R(1)=0成立，满足 R(x)=R(1-x), 得江=79为大于1的正垫载， 当x为(0,1)内的无理数时，1-x也为(0,1)内的 无理数，所以R(x)=R(1一x)=0,满足R(x)=R 综上，方程R(x)=x(x≠0)的解集为{xx=上 (1-x),当x=卫(p,9∈N+,卫为既约真分数)，则 为大于1的正整数}. (2)若x=0或x=1或x为(0,1)内无理数时，R 1一x=1一卫=9二卫为既约真分数，所以R(x)=R ()=0,而号+号>0，此时R)<号+ 5 1-)=号离是R)=R1- 若x=卫(p,9∈N+,卫为既约真分数)，则R(x) 综上，对任意x∈[0,1]，都有R(x)=R(1-x), 。9为大于1的正丝数，由R)>十吉得日 所以R()关于=名对称，即R(十)=R >号×号+台，解得p叶9<5，又因为x=号(p,g∈ (位-则R十号》为驾高数，所以，存在率本 5 g N,名为既约真分数)，所以x=之，宁，综上，不等 11 实数k=1,b= 之，使得y=Rx+b)为得函数. 9 第10节 导数的概念与计算 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化 1.导数的概念，发 导数的运算、导数的几何意义 率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关 于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想， 展逻辑推理和是高考命题的热点，导数的运算一 体会极限思想， 数学运算素养.般不单独命题，常融合在与导数有 2.通过函数图像直观理解导数的几何意义 2.导数的计算，提关的其他题目中；而导数的几何意 3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y 升逻辑推理和义是一个高频考点，常与函数、解析 数学运算素养.几何放在一起综合考查，有时还作 =y=y=y=y=匠的导数 3.导数的几何意为解答题的一部分呈现 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 义及应用，提升本节内容主要以选择题、填空题或 则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函 逻辑推理和数解答题中第一问的形式出现，属于 数（限于形如f(a.x十b)的导数 学运算素养 中低档题 夯实必备知识 对应学生用书P57 教材夯实强基固本 必备知识 2.函数y=f(x)的导函数 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x (1)定义：一般地，设函数y=f(x)在x。附近有定义， 都可导，则称f(x)可导，此时，对定义域内的每一个 自变量在x=x。处的改变量为△x,当△x无限接 值x,都对应一个确定的导数f(x),于是，在f(x)的 近于0时，若平均变化率 f 定义域内，(x)是一个函数，这个函数通常称为函 △x 数y=f(x)的导函数. f(xo十△x)-f(xo) 记作f(x)(或y',y),即f(x)=y=yx= △x 1imf(x十△z)一f(x),导函数通常也简称为 无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数 △.x0 △x f(x)在x=x。处的瞬时变化率.此时，也称f(x) 导数. 在xo处可导，并称k为f(x)在x=x。处的导数， 3.基本初等函数的导数公式 记作f(x。)=k. 基本初等函数 导函数 (2)几何意义：f'(x)就是曲线y=f(x)在点(xo, f(x)=c(c为常数) f(x)=0 f(x。))处（也称在x=xo处）的切线的斜率.相应 地，切线方程为y-f(x。)=f(xo)(x-xo). f(x)=x(a∈Q) f'(x)=a.x-1 ·72 第二章函数、导数及其应用 基本初等函数 导函数 (5)若f(x)=f(a)x2+lnx(a>0),则f(x)= f(x)=sin x f'(x)=cos x 2xf(a+ ( f(x)=cos x f'(x)=-sin x 答案：(1)/ (2)×(3)/(4)×(5) f(x)=e" f(z)-e" ◆[小题查验] f(x)=a'(a>0) f'(x)=a"ln a 1.(教材改编)函数y=xcos x一sinx的导数为( A.xsin x B.-xsin x f(x)=In x f'(x)=1 C.xcos x D.-xcos x 解析：B [y'=(xcos x)'-(sin x)'=cos x- f(x)=logx(a>0,a≠1) f'(x)= 1 xsin x-cos x=-xsin x.] xln a 2.函数y=f(x)的图像如图所示，则y=f'(x)的图 4.导数的运算法则 像可能是 ( ) 若如果f(x),g(x)都可导.则有： (1)[f(x)土g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)·g(.x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x); al-fe过gc≠o. [g(x)]2 5.复合函数的导数 (1)复合函数的概念 一般地，已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的 任意一个值，就能确定“的值，如果此时还能确定 个 y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x)) 有意义，且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与 解析：D[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来 g(x)的复合函数，其中u称为中间变量 越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大， (2)复合函数的导数 故选D.] 一般地，如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函 3.若y=f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函 数为y=h(x)=f(g(x),则复合函数的导数 数y=f'(x) h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)= A.既是周期函数，又是奇函数 [f(g(x)]'=f(u)g'(x)=f'(g(x)g'(x). B.既是周期函数，又是偶函数 这一结论也可以表示为y=yx: C.不是周期函数，但是奇函数 重要结论 D.不是周期函数，但是偶函数 1.f(xo)与x。的值有关，不同的xo,其导数值一般 解析：B[因为y=f(x)是周期函数， 也不同. 所以有f(x十T)=f(x),两边同时求导， 2.f(xo)不一定为0，但[f(xo)]'一定为0. 得f'(x+T)(x十T)'='(x), 3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数， 即f'(x+T)=f'(x), 周期函数的导数还是周期函数. 所以导函数为周期函数.又y=f(x)是奇函数.所 4.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬： 以f'(x)为偶函数] 时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 4.在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高 |f(x)反映了变化的快慢，f(x)|越大，曲线在 度（单位：m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10,则运动员的 这点处的切线越“陡” 速度v= m/s,加速度a= m/s. 自主诊断 解析：v=h(t)=-9.8t+6.5,a=v(t)=-9.8. ◆[思考辨析] 答案：(-9.8t+6.5)-9.8 5.(教材改编)曲线y=lnx+x十1的一条切线的斜 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X” 率为2，则该切线的方程为 (1)y=f'(x)在点x=x。处的函数值就是函数y 解析：设切线的切点坐标为(x。,yo),y=lnx十x十 =f(x)在点x=xo处的导数值. ( 1求导得y=1十1，依题有1+1=2得。=1， (2)求f(xo)时，可先求f(xo)再求f(x。). (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( 所以%=ln1+1十1=2，切线方程为y-2=2(x-1), (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的 即2x-y=0. 切线. ) 答案：2x一y=0 跃升>关键能力 对应学生用书P59 层级突破素养提升 吉点1 导数的概念（基础点） 解析：令2.x=△.x,由x→0，得△x→0， 1.设f(x)是可导函数，且满足 则有1imf0+△）=f山=-1，即f1)=-1, 0 △x lim f1+2x)-f1)=-1,则y=f(x)在点 由导数的几何意义知，y=f(x)在(1，f(1)处切线 2x 斜率为-1. (1,f(1)处的切线的斜率为 答案：-1 ·73· 高考总复习人教数学B版（新教材） 2.用导数的定义求函数y= 1在x=1处的导数. 4.已知fx)=1n,则f(x) 2x+1 解这-启 解析：f)-（} 2x- 2x+1 则△y=f(1+△x)-f(1)= -1 (2x-1)'(2x+1)-(2x-1)(2.x+1 √1十△x =1-V1+△x_(1-1+Ax)(1+1+△z (2.x+1)2 4x- √1+△x √1+△.x(1十√1+△x) 答案4x一1 △x 规律方法 √1+△x(1+√/1+△x) (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等 △y 函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导， △x √1+△x(1+√1+△x) (2)含参函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程 ∴- -1 1 思想求解 ar-/1+△x(1+√/1+△x) (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要 .y|x=1= 进行换元： 题后反思 吉点3)导数的几何意义及应用（重难点） 根据导数的定义，求函数y=f(x)在x=x。处导数 ◆[命题角度1门求切线方程 的步骤 (1)求函数值的增量△y=f(x。十△x)-f(xo); 1(2023·全国甲卷)曲线)=千在点（1，分)处的 (2)求平均变化率Ayfx,+△x)-fx), 切线方程为 e △x △x A.y-fr B.y=2 3)计算导数了，)=四含 C.-f e D.y=x+39 e 4 专点2 导数的计算（基础点） 解析：C 1.(多选)(2024·安徽宿州校考)下列函数求导运算 [设向线y=千在点〔，）处的切线 正确的是 A.(+-1+是 方程为y号=2-10.国为y=千 所以y'=e(x十1)-e=xe 1 B.(tan x)'= (x+1)2 (x十1)2， cosx 所以=y1,1=分 C.(e-√)'=e- 2√ D.(x2cos x)'=-2xsin x 所以y受-红-1D 解析：BC [A(e+=1- 放A错银：B 所以南线年在点，》炎的切线方程为 (tan )' sinx） cos2x十sin2x 1 一，故B y=x+] cos x cosx cos 2.曲线y=3(x2+x)e在点(0,0)处的切线方程为 正确；C.(e-)'=e'-(x)'=e- 1,故C正确；D.(cos)/=2 rcos-tsin 解析：y=3(2x十1)e+3(x2十x)e=e(3x2+9.x十3). 2√无 .斜率k=e°X3=3, 故D错误.门 .切线方程为y=3x 答案：y=3x 2.已知函数f)=n2x+cos2x,那么r()=( 3.(2022·新高考Ⅱ卷，14)曲线y=lnx|过坐标原 点的两条切线的方程为 A.-2 B.2 c D.- 解析：当x>0时，点(x1,lnx1)(x1>0)上的切线为 解析：A[由题意，f(x)=2cos2.x-2sin2x, y-lnx1=上(x-x1),若该切线经过原点，则nx 所以f()2os天-2sinx=-之.] 3.函数f(x)的导函数为f(x),若f(x)=x2十 一1=0，解得x=e,此时切线方程为y=名 r(小m,则f() 当x<0时，点(x2,ln(-x2)(x2<0)上的切线为y ln(-2)=(x一x2).若该切线经过原点， 解析：f)=2x+f()osxf()-号 则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为 2r()f()货()+ y= 答案：+ 答案：y=忌y=-名 e ·74 第二章函数、导数及其应用 技巧点拨 线2x-ay十3=0垂直，所以2·c=-1→a= 1.已知切点A(x。,∫(x),求切线方程的步骤 (1)求斜率k,即求该点处的导数值：k=f(xo); -2e.] (2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y一f(x) 6.已知曲线y=x十lnx在点(1,1)处的切线与曲线 =f'(xo)(x-x。). y=ax2+(a十2)x十1相切，则a= 2.求曲线过点P的切线方程的方法 解析：因为=1+子所以y1=2,故切线的方 (1)当点P(xo,yo)是切点时，切线方程为y一yo 程为y-1=2(x-1),即2.x-y-1=0. f'(xo）·(x-xo). (2)当点P(x。,)不是切点时，可分以下几步完成： 联立2.x-y-1=0 y=az2+(a十2)z+1由4=0，得a=8. 第一步：设出切点坐标P'(x1,f(x1); 答案：8 第二步：写出过点P(x1,f(x1)的切线方程y 解题技法 -f(x1)=f'(x1)(x-x1); 利用导数的几何意义求参数的基本方法 第三步：将点P的坐标(x%)代入切线方程求出工； 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到 第四步：将x1的值代入方程y一f(x1)=f(x1) 关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组）， (x一x1)可得过点P(xo,)的切线方程 进而求出参数的值或取值范围. 易错警示：求切线方程的“在”“过”两重天 ◆[命题角度4]切线斜率相等问题 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象（切线） 7.(多选)(2024·山东省高三模拟)己知曲线f(x)= 涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的 方法进行求解。 号-+ar-1上存在两条斜率为3的不同切 (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导， 线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的 代入点的横坐标得到斜率. 取值 (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是 A.号 B.3 C.10 切点，故应先设切点，求切点坐标. 3 ◆[命题角度2]求切点坐标 解析：AC[由题可知，)=导-十ar-1 4.若直线y=kx干b是曲线y=lnx十2的切线，也是 则f(.x)=2x2-2x十a. 曲线y=ln(x十1)的切线，则b= 令切点的横坐标为m,且m>0,可得切线斜率k= 解析：y=1nx十2的切线为y=1·x十1nx,十1（设 2m2-2m+a=3. 由题意，可得关于m的方程2m2-2m十a-3=0有 切，点横坐标为x1).y=ln(x十1)的切线为y= 1 x2十1 两个不等的正根，且可知m1十m2=1>0, 4>0 14-8(a-3)> ,（设切点横坐标为x,). 7 +ln(x2十1)- 则 m1m2>0 { ,解得3<a<2: 1 1 x1x2十1 的取位可能为9号 lnx1+1=ln(.x2+1)- 8.(多选)已知函数f(x)=√元-lnx,若f(x)在x= x2十1' x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则 ( 1 x1=2 A.1+1=1 B.x1x2<128 解得 1 .b=lnx1+1=1-ln2. √x1√x2 2 x2= 2 C.x1+x2<32 D.x1+x>512 答案：1-ln2 解析：AD[由题意知(x)=1-1(x>0), 解题技法 2√x 因为f(x)在x=x1和x=x2（x1≠x2)处切线平行， 求切点坐标的思路 已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求 所以f()=f(x2),即、1 11 1 函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出 2√x1x2√x22 切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点 的纵坐标. 化药得安十店宁A正：由蒸意不学式风 ◆[命题角度3]求参数的值 1≠2，可得2=+ 12 1,即x1x2 5.(2024·深圳光明区一调)已知函数f(x)=x2e 1√2√x1x2 2ex,若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线2x >256,B错误；x1十x2>2√x1x2>32,C错误；x+ ay十3=0垂直，则a= ) x>2x1x2>512,D正确.] A.-2e B.、2 c.号 D.2e 解题技法 e 析：A[f'(x)=(x2+2x)·e-2e,f(1)=3e 求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； 2e=e,由于曲线y=f(.x)在x=1处的切线与直 (2)谨记切点既在切线上又在曲线上 ·75·