第二章 第9节 函数模型及应用（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及应用 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关1.用函数图像刻画实际问题中 函数模型的实际应用主要考 系和规律的重要数学语言和工具.在实 两变量的变化过程，达成直观查利用函数图像刻画实际问题， 际情境中，会选择合适的函数类型刻画 想象素养， 以选择题的形式出现；以解答题 现实问题的变化规律 2.应用所给函数模型解决实际出现的是构建函数模型解决实际 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算问题，发展数学建模和数学运问题，综合考查导数、二次函数的 工具，比较对数函数、一元一次函数、指 算素养 图像与性质、基本不等式等，多是 数函数增长速度的差异，理解“对数增3.构建函数模型解决实际问题，解决实际问题中的最值问题，考 长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现 提升数学建模和数学运算 查建模能力及分析问题和解决问 实含义 素养 题的能力 夯实必备知识 对应学生用书P53 教材夯实强基固本 必备知识 自主诊断 1.常见的函数模型 [思考辨析 函数模型 函数解析式 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“/”，错误的打“X”。 一次函数型 f(.x)=a.x十b(a,b为常数，a≠0) (1)函数y=2的函数值在(0，+∞)上一定比y= 二次函数型 f(x)=ax2十bx+c(a,b,c为常 x2的函数值大. 数，a≠0) (2)在(0，十∞)上，随着x的增大，y=a(a>1)的 指数函数型 f(x)=ba+c(a,b,c为常数，a>0 增长速度会超过并远远大于y=x(a>0)的增长 且a≠1，b≠0) 速度. ) f(x)=blogx十c(a,b,c为常数，a (3)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b十c(a≠0，b 对数函数型 >0且a≠1，b≠0) >0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( 幂函数型 (4)幂函数增长比直线增长更快. f(x)=a.x”+b(a,b为常数，a≠0) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图像与 内变化量较大的实际问题中， 性质 答案：(1)× (2)/(3)× (4)X(5) 函数 y=ax y=logax Jy=x” ◆「小题查验] 性质 (a>1) (a>1) (n>0) 1,小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞 停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与 在(0，十∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 以上事件吻合得最好的图像是 个距学校的距离 个距学校的距离 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增 随x的增 图像的变化 大逐渐表 大逐渐 随n值变 化而各有 时间 时间 现为与y轴 现为与x轴 不同 平行 平行 A B ◆距学校的距离 距学校的距离 存在一个x0,当x>x0时， 值的比较 有logar<x"<a' 3,解决应用问题的基本步骤 时间 时间 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系， D 恰当选择模型； 解析：C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先 (2)建模：将文字语言、图形（或数表）等转化为数学语 是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不 言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问 变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.] 题化为数学问题： 2.(教材改编)某工厂生产某种产品固定成本为2000 (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； 万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元. (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为 又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)= 实际问题的答案。 40Q- Q,则总利润L(Q)的最大值是 重要结论形如f(x)=x十“(a>0)的函数模型 万元 称为“对勾”函数模型： 解析：由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2000= （1)该函数在(-o∞，一√a)和[√a,十o∞)上单调递增， 40Q 20Q10Q-2000=-20(Q-30)2+ 在[-√a,0)和(0，√a]上单调递减. 2500, (2)当x>0时，x=√a时取最小值2√a,当x<0时，x 所以当Q=300时，L(Q)mx=2500(万元). a时取最大值-2a. 答案：2500 67· 高考总复习人教数学B版（新教材） 3.(教材改编)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建 解析：设矩形花园的宽为ym,则二=40义，即y=40 一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边 4040 长x为 一x,矩形花园的面积S=x(40-x)=一x2十40x= (m). -(x-20)2十400，当x=20m时，面积最大 答案：20 4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病 40m 毒的繁殖规律为y=e“(其中k为常数，t表示时 间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k= 经过5小时，1个病毒能繁殖为 个 40m 答案：2ln21024 跃升>关键能力 对应学生用书P54 层级突破素养提升 点1) 用函数图像刻画实际问题中两变量 时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内， 的变化过程（基础点） 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图 1.(2024·云南师大附中校考期末)如图是根据原卫 所示. 生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长 W↑甲企业 发育参照标准》绘制的我国？岁以下女童身高（长） 的中位数散点图，下列可近似刻画身高y随年龄x 乙企业 乙企业 变化规律的函数模型是 污水达标排放量 甲企业 身高cm 120 0 给出下列四个结论： 100 90 ①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比 80 70H 乙企业强； 60月 505-r-1 ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 年龄/岁 00.511.522.533.544.555.566.5 ③在t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； A.y=mx+n(m>0) ④甲企业在[0，t1],[1,t2],[t2,t]这三段时间中， B.y=m +n(m>0) 在[0，t1门的污水治理能力最强. C.y=ma*+n(m>0,a>1) 其中所有正确结论的序号是 D.y=mlogx+n(m>0,a>1) 解析：一fb)二f)表示区间端点连线斜率的负 解析：B[A选项，由题中散，点图知身高y随时间 b-a x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数 数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以 模型中y随x增长越来越快，与图像不符合；D选 甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治 项，对数函数模型在x=0时没有意义；B选项符合散 理能力比乙企业强；①正确； 点图中y随x增长越来越慢，且在x=0时有意义.门 在2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的 2.一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其 斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比 乙企业强；②正确； 底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水 深为h时的水的体积为V,则函数V-f(h)的大致 在七时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达 标排放量以下，所以都已达标；③正确. 图像可能是图中的 甲企业在[0，t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲 企业在[1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反 数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力强，④错误. 答案：①②③ 题后反思 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两 种方法 ① ② ③ ④ (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型 解析：当h=0时，V=0可排除①、③；由于鱼缸中 时，先建立函数模型，再结合模型选图像 间粗两头知“当么在号所近时，条积交化较族：办 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根 据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合 小于号时，增加越来越快：h大于号时，增加越来 图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符 合实际的情况，选择出符合实际情况的答案。 越慢. 答案：② 专点2)应用所给函数模型解决实际问题（重难点） 3.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关 [典例](2023·新课标I卷)噪声污染问题越来越 企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整 受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压 改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W =f),用-f二a的大小评价在[a,b]这段 级L,=20×1g是，其中常数p,(p,>0)是听觉下限 b-a 阈值，力是实际声压.下表为不同声源的声压级： ·68· 第二章函数、导数及其应用 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 专点3)构建函数模型解决实际问题（应用点） 燃油汽车 10 60-90 ◆[命题角度1]构建二次函数模型 混合动力汽车 10 5060 1.某企业生产A,B两种产品，根据市场调查与预测， 电动汽车 A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品 10 40 的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m (注：利润和投资单位：万元). 处测得实际声压分别为1,2，p3,则 ( A.p1≥p2 B.p2>10p y利润 (利海 6 C.p3=100p。 D.p1≤100p2 0.45 0.25 4 [解折]AD:,-L,=20Xg会-20×电会 0 x(投资) 049x(投资) 图1 图2 =20X1g≥02>≥1，p,≥2，所以A正确； 卫2 (1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函 LL=20x60>10.会安小2> 数关系式 (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投 10,所以B错误； 入A,B两种产品的生产. :L%=20×1g2=40,2=100,所以C正确； (1)若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ p。 p。 (ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资， :L-L%=20X1gb≤90-50=40,1g2≤2， 才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多 卫2 少万元？ .2≤100，所以D正确.] 解：(1)设A,B两种产品分别投资x万元，x万元， 力2 x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元. [追踪教材]本题以噪声污染为背景与物理知识交： 由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2√x. 汇，定义声压级，考查对数函数的实际运用，参照人 根据图像可解得f(x)=0.25x(x≥0). 教B版《必修第二册》第44页例4命制. g(x)=2√(x≥0). 方法指导 (2)(i)由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2√9=6. 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 所以总利润y=8.25万元· (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18-x)万 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定 元，该企业可获总利润为y万元. 系数 (3)利用该模型求解实际问题 则y=(18-x)+2,0≤<18 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值 令√x=t,t∈[0,3√2]， 范围. :跟踪训练 则y=(-+8+18)=-4-4)+号 4 2· (2024·河北高三校联考)昆虫信息素是昆虫用来 表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是 所以当1=4时=号=8.5， 2 昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的 此时x=16,18-x=2. 化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合 所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时， 信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性 可使该企业获得最大利润，约为8.5万元. 信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多 规律总结 的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型 中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素t秒后， 可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化 在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足 问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配 ny=一党ln1一冬，2十a,其中长a为非零常数.已 1 方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的 关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处 知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得 取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值； 信息素浓度为m;若释放信息素4秒后，距释放处b 若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端 米的位置，信息素浓度为受，则6 ( ) 点处取得 A.3 B.4 C.5 D.6 ◆[命题角度2]构建指数函数模型 2.己知某物体的温度（单位：摄氏度）随时间t(单 解析：B[由题意lnm=-4k十a,ln2 之n4 位：分钟)的变化规律是v=m·2十2-‘(t≥0，并 冬6十a,所以mm一h受 且m>0). =-4k+a (1)如果m=2,求经过多长时间，物体的温度为5 (2a4-6+@小即-快+8=0.又k≠0. 摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值 所以b2=16.因为b>0,所以b=4.] 范围 ·69· 高考总复习人教数学B版（新教材） 解：(1)若m=2,则v=2·2十21-‘=2 解：(1)第一步分别列出0<x≤40和x>40时对 应的利润W.当0<x≤40时，W=xR(x)一(16x十 当=5时，2十-号 40)=-6.x2+384x-40,当x>40时，W=xR(x) 40000 令2=x(x≥1)，则x+是=号，即2x2-5x+2 5 -(16x+40)= -16x+7360, 第二步 列出利润W的分段函数 =0, 6.x2+384x-40,0<x≤40， 1 解得x=2或x=2(含去)，此时1=1. 所以W= 40000 -16.x+7360,x>40. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度 (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即≥2恒 (2)第三步 计算0<x≤40时的利润W的最大值 成立， ①当0<x≤40时，W=-6(.x-32)2+6104. 所以Wmx=W(32)=6104; 亦m·2十≥2恒成立，亦即m≥ 第四步计算x>40时的利润W的最大值 成立. ②当x>40时，W=-40000 -16x+7360, 令号 x =y,则0<y≤1，.m≥2(y-y2)恒成立， 由于y-y≤子∴m≥ 由子4000+16x≥2000×16x-160. x 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取 当且仅当40000 =16x,即x=50∈(40，+∞)时， 值范因是宁+） 取等号，所以W取最大值为5760. 第五步得出本题的利润W的最大值 规律总结 综合①②，当x=32时，W取最大值为6104万元 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数 模型y=N(1+p)(其中N是基础数，p为增长 规律总结 率，x为时间)和幂函数模型y=a(1十x)"(其中a 1.本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于自 为基础数，x为增长率，n为时间)的形式.解题时， 变量在不同范围内，对应的函数解析式不同，因 往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值 此，此类问题最值的求解是必须先求出函数在每 对应求解 个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行 ◆[命题角度3]构建分段函数模型 比较确定最值 3.己知华为公司生产某款华为手机的年固定成本为 2.解函数应用题的一般程序 40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理 华为公司一年内共生产该款华为手机x万只并全 顺数量关系； 部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且 第二步：建模 将文字语言转化成数学语言， 400-6x,0x40, 用数学知识建立相应的数学模型； R(x)= 740040000 ,x>40. 第三步：解模 求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原 一将用数学方法得到的结论还原 (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的 为实际问题的意义； 函数解析式： 第五步：反思 对于数学模型得到的数学结 (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款华为 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大 果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 利润 (跟踪训练 核心素养 “硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电 数学建模 在分段函数中应用的核心素养 芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代 信息提取 信息解读 数学建模 表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世 年固定成本为 固定成本，与产量、销 界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术， 40万美元 量无关 模型1：求利润最大 具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模 模型 每生产1万只 变动成本，与产量正相 仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在 还需另投入16 关，每生产x万只手机 着眼点：利润=销售收 打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一 万美元 增加成本16x万美元 入一成本，成本包含固 款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起 定成本、变动成本等所 每万只的销售 年利润=年销售总收 有题干涉及的成本 全面发售，假设该高级设备的年产量为x百台，经 收入为R(x)万 入一固定成本一变动 模型2：分段函数模型 测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1500 美元 成本，则W=xR(x) 着眼点：分段函数的最 万元，最多能够生产80百台，每生产一百台高级设 (16x+40) 年利润W(万美 注意：R(x)为每万只 值是其每个区间段上 备需要另投成本G(x)万元，且G(x)= 元)关于年产量 的销售收入，年销售总 的最值中的最大者或 /3x2+20x,0≤x≤40，x∈N, x(万只)的函数 收入应该为xR(x),x 最小者，应分别求解后 解析式 为年产量（万只） 进行比较 205x+1800-3350,40<x≤80，x∈N,每台高 注意：实际问题中，x R(x)是分段函数，那 级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能 所获得的利润 最大时的年 金分骨酸 的取值不仅要使函数 有意义，也要有实际 够全部售出. 产量 上的最值，比较后取其 意义 (1)求企业获得年利润P(x)(万元)关于年产量x 大者 (百台)的函数关系式（利润=销售收入一成本）； 70· 第二章函数、导数及其应用 (2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最 a+”=（pm1十b)(pm2十c),故a”+5=bc(modp), 大？并求最大年利润. 设n1十n2=t(p一1)十s,0≤s≤p一2，则n1⊕m2=s, 解析：(1)：G(x)= 因为1,2,3，…，p一1除以卫的余数两两相异，且 3x2+20x,0≤x≤40，x∈N, a,2a,3a,…,(p一1)a除以p的余数两两相异，故 205x+18000-3350,40<≤80，x∈N, (p-1)！=[aX2aX3a,…×(p-1)a](modp), 故a2-1=1(modp),故a+=a'≡bc(modp),而 .当0≤x≤40时， a"=b☒c(modp)=bc(modp),其中0≤n≤p-2, P(x)=200.x-(3.x2+20x)-1500=-3.x2+180x 故s=n即log(p)。(b☒c)=log(p).b⊕log(p).c. -1500. 法2：记a=a8+m1b,a”=a©+m2p,a8X 当40<x≤80时， a”图=a⑧☒a8十kp,其中m1,n2,k是整数， P(x)=200x-205x 18000+3350-1500 则a1%=a8Xa8+(m1a”·图十m2a”·⑧十 x =-5.x- 18000+1850. m1m2p十k)p,可知a4@⑧a=a马·%图 因为1，a,a2,⑧，…，a2,图两两不同， 3x2+180x-1500,0x40,.x∈N 所以存在i∈{0,1，…，p-2},使得a1©=d© 综上所述，P(x) 5.x _18000+1850,40<x≤80.x∈N 即a21-a=a(a21-i-1)可以被力整除，于是 a1-1可以被p整除，即a18=1若≠0，则p-1 (2)由(1)得 -iE{1,2,…p-2},a1@1,因此=0，a28=1 3x2+180.x-1500,0≤x≤40，x∈N 记n=log(p)b,m=log(p).c,n+m=n⊕m+l(p P(x)= 5.x 18000+1850,40<x≤80，x∈N 一1)，其中l是整数，则b☒c=a".图⑧am⑧=an·m圆 =ae+p1).8=aem.图☒ap-1).图=aem:8 .当0≤x≤40时，P(x)=-3.x2+180x-1500= 即log(p).(b☒c)-log(p)b⊕log(p)c. -3(x-30)2+1200, (3)汇法1]：当b>2时，由(2)可得1=1(mod), ∴.当x=30时，P(x)max =1200(万元)； 若b=1,则b2-1=1(modp)也成立. 当40<x≤80时， 因为n=log(p)b,所以a"=b(modp). P(x)=-5.x 18000+1850 另-方面，y⑧y”.8=y2y00.8=(x⑧6@) (a)-(b )a((x)= =1850-5x+3600 x(b)=(1)(mod p)=r(mod p). 由于x∈X,所以x=y,⑧yp.@ ≤1850-5X2,.36 法2：由题设和(2)的法2的证明知： x =1250(万元)， y2=.x⑧b.8=x⑧(b⑧b⑧.⑧6= 当且仅当x=3600 即x=60时等号成立. nk x⑧a⑧a⑧…⑧a®=x⑧a⑧a⑧.②a, 又1250>1200. n(p2) (p-2) 故当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利 0.8=y⑧y②…⑧y=d⑧a⑧…⑧a 润为1250万元： 专点4)新高考题型一函数新结构、新定义问题 =a228⑧a2⑧…⑧a22.故y,⑧y,@ [典例](2024·河南·统考模拟预测)离散对数在 密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X={1, =x⑧a⑧a…②a⑧a2.8⑧a2®⑧…⑧a-2.d 2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,记u☒y为uy除以 力的余数，um⑧为u"除以力的余数；设a∈X,l,a, =x8aP18⑧a1⑧…⑧a18 a28,…,a.⊙，两两不同，若a8=b(n∈{0,1， 由(2)法2的证明知a10=1,所以，⑧y0@=x. …,p一2})，则称n是以a为底b的离散对数，记为 规律方法 n=log(p)6. 本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以 (1)若p=11,a=2,求a-18; 及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解。 (2)对m1,m2∈{0,1，…，p-2},记m1⊕m2为m 跟踪训练 十m2除以p一1的余数（当m1十m2能被p一1整 (2024·浙江宁波效实中学校考期中)黎曼函数是 除时，m1⊕m2=0).证明：log(p).(b☒c)- 一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎 log(p)b⊕1og(p).c,其中b,c∈X; 曼发现并提出，在数学中有广泛的应用.黎曼函数 (3)已知n=log(p)b.对x∈X,k∈(1,2，…，p-2},令 y=a,,y2=x⑧，8.证明：x=y⑧yp). 定义在[0,1]上，R(x)= [解](1)若p=11,a=2,又注意到21°=1024= x=卫(p,g∈N,卫为既约真分数) 93×11十1，所以aP-1.8=210.8=1. 9 (0,x=0或1或(0,1)内的无理数 (2)[法1]：当p=2时，此时X={1},此时b=c= (I)请用描述法写出满足方程R(x)=x(x≠0)的解 1,b☒c=1,故1og(p)m(b☒c)=0,log(p)b=0, 集；（直接写出答案即可） log(p).c=0,此时log(p),(⑧c)=log(p)b⊕log(p).c. 1 当p>2时，因1，a,a2,…,a22.⑧相异，故a≥2， (2解不等式Rx)>号x+吉： 而a∈X,故a,p互质. (3)探究是否存在非零实数k,b,使得y=R(kx十b) 记n=log(p)a(bc),m1=log(p)b,n2=log（p)c,则 为偶函数？若存在，求k,b应满足的条件；若不存 了m1,m2∈N,使得a”=n1十b,a":=pm2十c,故 在，请说明理由. ·71 高考总复习人教数学B版（新教材） 解：(1)依题意，x≠0， 当x=1时，R(x)=0,则方程R(x)=x无解，当x 式R>吉+号的解为号} 为（0,1)内的无理数时，R(x)=0,则方程R(x)=x 无解， (3)存在非零实数=1,0=号，使得y=R(x十6) 当x=卫(p,q∈N,卫为既约真分数)时，则R(x) 0 为偶画数，即=R十》为隔西数，证明如下： =9为大于1的正整数，则由方程R(x)=x,解 当x=0或x=1时，有R(0)=R(1)=0成立，满足 R(x)=R(1-x), 得江=79为大于1的正垫载， 当x为(0,1)内的无理数时，1-x也为(0,1)内的 无理数，所以R(x)=R(1一x)=0,满足R(x)=R 综上，方程R(x)=x(x≠0)的解集为{xx=上 (1-x),当x=卫(p,9∈N+,卫为既约真分数)，则 为大于1的正整数}. (2)若x=0或x=1或x为(0,1)内无理数时，R 1一x=1一卫=9二卫为既约真分数，所以R(x)=R ()=0,而号+号>0，此时R)<号+ 5 1-)=号离是R)=R1- 若x=卫(p,9∈N+,卫为既约真分数)，则R(x) 综上，对任意x∈[0,1]，都有R(x)=R(1-x), 。9为大于1的正丝数，由R)>十吉得日 所以R()关于=名对称，即R(十)=R >号×号+台，解得p叶9<5，又因为x=号(p,g∈ (位-则R十号》为驾高数，所以，存在率本 5 g N,名为既约真分数)，所以x=之，宁，综上，不等 11 实数k=1,b= 之，使得y=Rx+b)为得函数. 9 第10节 导数的概念与计算 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化 1.导数的概念，发 导数的运算、导数的几何意义 率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关 于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想， 展逻辑推理和是高考命题的热点，导数的运算一 体会极限思想， 数学运算素养.般不单独命题，常融合在与导数有 2.通过函数图像直观理解导数的几何意义 2.导数的计算，提关的其他题目中；而导数的几何意 3.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y 升逻辑推理和义是一个高频考点，常与函数、解析 数学运算素养.几何放在一起综合考查，有时还作 =y=y=y=y=匠的导数 3.导数的几何意为解答题的一部分呈现 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 义及应用，提升本节内容主要以选择题、填空题或 则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函 逻辑推理和数解答题中第一问的形式出现，属于 数（限于形如f(a.x十b)的导数 学运算素养 中低档题 夯实必备知识 对应学生用书P57 教材夯实强基固本 必备知识 2.函数y=f(x)的导函数 1.函数y=f(x)在x=xo处的导数 一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x (1)定义：一般地，设函数y=f(x)在x。附近有定义， 都可导，则称f(x)可导，此时，对定义域内的每一个 自变量在x=x。处的改变量为△x,当△x无限接 值x,都对应一个确定的导数f(x),于是，在f(x)的 近于0时，若平均变化率 f 定义域内，(x)是一个函数，这个函数通常称为函 △x 数y=f(x)的导函数. f(xo十△x)-f(xo) 记作f(x)(或y',y),即f(x)=y=yx= △x 1imf(x十△z)一f(x),导函数通常也简称为 无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数 △.x0 △x f(x)在x=x。处的瞬时变化率.此时，也称f(x) 导数. 在xo处可导，并称k为f(x)在x=x。处的导数， 3.基本初等函数的导数公式 记作f(x。)=k. 基本初等函数 导函数 (2)几何意义：f'(x)就是曲线y=f(x)在点(xo, f(x)=c(c为常数) f(x)=0 f(x。))处（也称在x=xo处）的切线的斜率.相应 地，切线方程为y-f(x。)=f(xo)(x-xo). f(x)=x(a∈Q) f'(x)=a.x-1 ·72