第二章 第8节 函数与方程、不等式之间的关系（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 第8节函数与方程、不等式之间的关系 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 由零点存在性定理判断零点是否 1.结合二次函数的图像，了解函数的零 1.判断函数零点的个数，发展 存在和零点所在的区间，求方程的根， 点与方程根的联系，会判断一元二次 直观想象素养. 函数的零点个数，基本初等函数的图 方程根的存在性及根的个数. 2.确定函数零点所在的区间， 像是高考的热点.以函数的零点，方程 2.根据具体连续函数及其图像的特点， 了解函数零点存在定理，探索用二分 达成直观想象和逻辑推理 的根及函数图像的交点之间的等价转 化为桥梁，考查转化与化归思想，考查 素养 法求方程近似解的思路，能借助计算 函数与方程思想，数形结合等思想.本 3.函数零点的应用，提升直观 工具用二分法求方程近似解，了解用 部分内容在高考中以选择题或填空题 想象和逻辑推理素养 二分法求方程近似解具有一般性 形式考查的居多，在解答题中也有所 体现，难度较大 夯实>必备知识 对应学生用书P50 教材夯实强基固本 必备知识 3.函数零点存在定理 1.函数的零点 如果函数y=f(.x)在区间[a,b]上的图像是连续不 (1)零点的定义 断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的 一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的函数值 函数值异号)，则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少 等于零，即f(a)=0,则称a为函数y=f(x)的 有一个零点，即]x。∈(a,b),f(xo)=0. 零点 重要结论 (2)方程的根与函数零点的关系 1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续不 方程)=0的实数根 断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,则函数y =f(x)一定有零点. 函数y=fx)的图像与 函数yfx)的零点 x轴交点的横坐标 2.由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能 推出f(a)·f(b)<0,如图所示： 2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的 关系 判别式△=b2 △>0 △=0 △<0 -4ac 二次函数y 所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b] ar2+br+c(a 上有零点的充分不必要条件. >0)的图像 0x=衣 3.若函数f(x)在(a,b)上单调，且f(x)的图像是连 续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0→函数 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 f(x)在[a,b]上只有一个零点 ax2+bx+c= x1,x2（x1< x1= x2 没有实数根 自主诊断 0(a>0)的根 r2) b 2a ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 ax'+ba+c xx<x b) 打“/”，错误的打“X” >0(a>0) R 或x>x2} 2a (1)函数f(x)=x2一1的零点是(-1,0)和(1,0). 的解集 ( ax2+bx+c (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（函数图 {x|x1<x< <0(a>0) 3 必 像连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.( 的解集 x2} (3)函数y=2sinx-1的零点有无数多个. ·63· 高考总复习人教数学B版（新教材） (4)二次函数y=a.x2+b.x十c(a≠0)在b2-4ac<0 3.用二分法求函数f(x)=3一x一4的一个零点，其 时没有零点。 ( 参考数据如下： (5)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,则 f(1.6000)-0.200f(1.5875)-0.133f(1.5750)-0.067 函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( f1.5625)=0.003f1.5562)=-0.029f1.5500)=-0.060 答案：(1)×(2)×(3)/(4)/(5)/ 据此数据，可得f(x)=3一x一4的一个零点的近 ◆[小题查验] 似值（保留三位有效数字）为 1.(教材改编)下列函数图像与x轴均有公共点，其中 解析：由题意知，函数零，点在区间(1.5562,1.5625) 能用二分法求零点的是 内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似 值为1.56. 答案：1.56 4.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足 f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时，f(x)=2x.若在 区间[-2,3]上方程a.x十2a-f(x)=0恰有四个不相 等的实数根，则实数a的取值范围是 解析：由f(x十2)=f(x)知函 数f(x)是以2为周期的周期函 数，又f(x)为偶函数，故函数 ( 在[一2,3]上的图像如图所示. 01234x 解析：C[A,B图中零点两侧不异号，D图不连续.] 直线y=ax十2a过定点(-2， 2.(教材改编)函数f(x)=e'+3x的零点个数是 0),在区间[一2,3]上方程ax ( 十2a一f(x)=0恰有四个不相等的实数根，等价于 A.0 B.1 C.2 D.3 直线y=a.x十2a与函数y=f(x)的图像有四个不 解析：B[由已知得f(x)=e十3>0，所以f(x) 同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a 在R上单调递增，又f(-1)=1-3<0,f(0)=1 2 e +2a>2,且a+2a<2,即 <a< >0,因此函数f(x)有且只有一个零点.] 答案： 跃升>关键能力 对应学生用书P51 层级突破素养提升 考点1确定函数零点所在的区间（基础点） 解析：B [令f(.x)=log4x 2元因为函数y 1.若a<b<c,则函数f(x)=-(x-a)(x-b)+(x-b)· (x-c)+(x一c)(x-a)的两个零点分别位于区间 1ogy=一六在0，十四)上率是培函数，所以函 ( 数f(x)=logx- 分在(0，十o)上是增函载，f A.(a,b)和(b,c)内 B.(-o∞，a)和(a,b)内 2<0f2)=10g,2-}-合->0，所 C.(b,c)和(c,十o∞)内 D.(-∞，a)和(c,十∞)内 以函数f(x)=logx一 在区间1,2)上有单一本 解析：A[,'a<b<c,.f(a)=(a-b)(a-c)>0, 点，所以用二分法求方程10g1一=0的近似解 f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 时，所取的第一个区间可以是(1,2).] 由函数零点存在性定理可知：在区间(a,b),(b,c) 3.(2024·大理州模拟)已知三个函数f(x)=2十x, 内分别存在零，点，又函数f(x)是二次函数，最多有两 g(x)=x-1,h(x)=log3x十x的零点依次为a,b, 个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a, c,则 b),(b,c)内.] A.a<b<c B.b<a<c 2.(2024·山西忻州河曲县中学校考)用二分法求方 C.c<a<b D.a<c<b 解析：D[令f(x)=2十x=0,解得x<0,令g(x) 程1ogx一2元 =0的近似解时，所取的第一个区间 =x-1=0,解得x=1,由h(x)=logx十x,令 可以是 4(合)=-1+号<0a1)=1>0,又画签6)是增 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 函数，因此ax)的零点x,∈（合1小则≥c>a] ·64 第二章函数、导数及其应用 题后反思 核心素养 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续，再看是 函数的零点个数就是 对应方程的根的个数， 否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在 区间(a,b)内必有零点. 即方程f(x)=号或 y厂和y-1与函数y (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x f(x)=1对应的x的 零点个数 =f(x)的图像交点个数 轴在给定区间上是否有交点来判断. 值的个数，转化为y= 之和即为本题的零点 名和y=1与y= 个数 专点2)判断函数零点的个数（重难点） 的图像交点个数，借助图 1gx,x>0, 像利用数形结合求解 [典例] 已知f(x)= 2,x≤0， 则函数y= 2f(x)-3f(x)十1的零点个数是 [解析]第一步作函数y=f(x)的图像 核心素养 作出函数y=f(x)的图像，如图， 数学抽象、直观想象 确定函数零点个数的核心素养 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 当x>0时，y=lgx 的图像是函数y=1gz 的图像在x轴上方的 第二步解方程2f(.x)-3f(x)十1=0 部分保持不变，x轴下 方的部分沿x轴对称 由2f()-3f)+1=0得fx)=2或fx)=1 到x轴上方 在同一坐标系中画出 f(x)= gx,>0, 函数y=lgx在x≥ 第三步 0时的图像和函数y 观察y=2和y=1与y=f(x)的图像交 {2,x≤0 当x≤0时，y=2= 2在x≤0时的图像 点个数 2=(）广的图像 由图像知y号与y=)的图像有2个交点y 就是y=(（)广'的图 =1与y=f(x)的图像有3个交，点 像在y轴左侧的部分 第四步得出函数的零点个数 因此函数y=2f2(x)-3f(x)+1的零点有5个. [答案]5 函数y=2P(x) 方法指导 函数的零点就是方程 3f(x)+1的零点，即 判断函数y=f(x)零点个数的常用方法 的根 方程2fP(x)-3f(x) 十1=0的根 (1)直接法：令f(x)=0,则方程实根的个数就是函 数零点的个数. 函数y=2(x) (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a,b]上是 3f(x)+1的零点，也 连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0,再结合函 就是方程2fP(x)- 数的图像与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对 3f(x)+1=0的根，把 解方程2(x)一3f(.x) 称性)可确定函数的零点个数. 函数 f(x)看成一个整体，本 +1=0,得f(x)=1 (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个 y=2f2(.x) 方程就是关于f(x)的 -3f(.x)+1的 一元二次方程，通过解 或司 数问题.（画出两个函数的图像，其交点的个数 零点 方程可以得出∫(x)一 就是函数零点的个数) 1或立 跟踪训练 1.已知函数f(x) 2-1,x≤0·则函数y=f(x)的 解方程2fP(x)一3f(x) logzx,x>0. 十1=0的根，是解适 结合函数f(x)的图 零点个数是 ( 合此方程的x的值，也 像，观察y=之和y A.0 B.1 C.2 D.3 就是方程f()=2或 1与y一f(x)的图像 解析：C [f(x)=0时，得 x≤0， 或 f(x)=1对应的x 交点个数 x2-1=0 的值 x>0, (logzx=0, 解得x=-1或x=1.] ·65· 高考总复习人教数学B版（新教材） 2.函数f(x)=x-ln(.x+1)-1的零点个数是 xln x-a,x>0, 解析：函数f(x)=x一ln(x十1)一1的零，点个数，即 [子题3]若函数变为f(.x) -x2-2.x-a,.x≤0， 为函数y=ln(x十1)与y=x-1图像的交点个数， 若函数y=f(x)有三个零点，则实数a的取值范围 在同一坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y= 是 x一1的图像，如图， 解析：令 g (x) y=x-1 y=In(x+1) (zln z,x>0, {-x2-2.x,x≤0， (x)=a, -3-2-170/12345 则问题转化为g(x)与h(x) 的图像有三个交点，g(x)图 -2 由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数 像如图.由图像知一1<a<1 e 是2. 答案：2 答案(- 专点3函数零点的应用（迁移点） [母题]若函数f(x)=xlnx一a有两个零点，则实 规律总结 数a的取值范围为 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的 [解析]令g(.x)=xlnx, y 取值范围常用的方法 h(x)=a,则问题可转化成 'g(x) (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不 函数g(x)与h(x)的图像有 两个交点.g'(x)=lnx十1， 等式，再通过解不等式确定参数范围， 令g'(x)<0,即lnx<-1, h()无 (2)分离参数法：先将参数分离得a=f(x),再转化 可解得0K<日令g) 成求函数f(x)值域问题加以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角 >0,即1nr>-1,可解得x>,所以，当0<x< 坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解. 上时，函数g()单调递减：当x>时，孟数g(x) !跟踪训练 In xl,x>0 单洞递增，由此可知当=马时，gx)=一是在 (多选)设函数f(x) 若函数 e'(x+1),x≤0 同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所 g(x)=f(x)一b有三个零点，则实数b可取的值可 示，据国可得-是a<0. 能是 A.0 [答案] (- C.1 D.2 [子题1]若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数 解析：BC[由题意，函数 a的取值范围是 g(x)=f(x)-b有三个 解析：由母题解析知a= 或a≥0. e 零点，则函数g(x）= 答案0，+U{} f(x)-b=0, 即f(x)=b有三个根. [子题2]若函数变为f(x)=lnx-x-a,其他条件 当x≤0时，f(x)=e(x32才012 不变，则a的取值范围是 十1)，则f(x)=e(x+1)+e=e(x+2). 解析：函数f(x)=lnx 由f'(x)<0得x十2<0，即x<-2,此时f(x)为 一x一a的零点，即为关 于x的方程lnx-x-a 减函数； =0的实根，将方程1nx 由f'(x)>0得x+2>0,即-2<x≤0，此时f(x) 一x一a=0化为方程 为增函数， lnx=x+a,令y1= lnx,y2=x十a,由导数知识可知，直线y2=x十a 即当x=一2时，f(x)取得极小值f(-2)= e2' 与曲线y1=lnx相切时有a=一1，所以关于x的 作出f(x)的图像如图： 方程lnx一x一a=0有两个不同的实根，实数a的 要使f(x)=b有三个根，则0<b≤1，则实数b可取 取值范围是（一∞，-1）. 答案：(-∞，一1) 的位可能是1.] ·66·