第二章 第7节 函数的图像（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 [解]因为y=a十b的图像过点(1,4)，所以a十b 点3指数、对数函数图像与性质的应用 =4.① [典例门(1)设方程2十x-3=0的根为a,方程 又因为y=a”十b的反函数图像过点(2,0)， log2x十x-3=0的根为b,求a十b的值， 所以点(0,2)在原函数y=a十b的图像上.所以a [解]将方程整理得2= +b=2.② 联立①②得a=3,b=1. -x+3,log2x=-x十3. 规律总结 如图可知， a是指数函数y=2的图像 1.求反函数的一般步骤 (1)求值域：由函数y=f(x)求y的范围. 与直线y=-x十3交点A 0/123 的横坐标，b是对数函数y= (2)解出x:由y=f(x)解出x=f1(y).若求出的x log2x的图像与直线y=一x十3交点B的横坐标. 不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取 一个 由于函数y=2与y=1og2x互为反函数，所以它 们的图像关于直线y=x对称， (3)得反函数：将x,y互换得y=f1(x),注意定 由题意可得出A、B两点也关于直线y=x对称， 义域 2.互为反函数的函数图像关于直线y=x对称是 于是A、B两点的坐标为A(a,b),B(b,a).而A、B 反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数 都在直线y=一x十3上， 图像上任一成对的相应点也关于直线y=x对 所以b=一a十3(A点坐标代入)， 称，所以若点(a,b)在函数y=f(x)的图像上，则 或a=-b十3(B,点坐标代入)，故a十b=3. 点(b,a)必在其反函数y=f1(x)的图像上. (2)已知函数f(x)=log2(1-2). ①求函数f(x)的定义域和值域； 跟踪训练 ②求证函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称 1.已知函数y=1og(3-x)(0≤x<3),则它的反函 [解]①要使函数f(x)=log2(1-2)有意义， 数是 ) 则1-2>0， A.y=3-3(x≥0) 即2r<1.故x<0,此时0<1-2r<1,f(x) B.y=3+3(x≤1) log2(1-2)<0, C.y=3+3(x≥0) 故函数f(x)的定义域为(-o∞，0)，值域为（一∞，0）. D.y=3-3(x≤1) ②证明：由y-f(x)=1og2(1-2)可得1-2=2'， 解析：D[0≤x<3,y≤1.又3-x=3,.x= 解得x=log2(1一2)，故原函数的反函数为y= 3-3.y=1og(3-x)的反函数为y=3-3,x ≤1.] f(x)=log2(1一2)，与原函数相同，所以函数f(x) 的图像关于直线y=x对称. 2.若函数y=f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x) f(4一x)的反函数的图像过点 规律总结 解析：y=f(x)的图像过点(0,1)， 形如a'十k.x=b(a>0且a≠0)或logx十k.x=b(a .f(4-x)的图像过点(4,1)，∴.g(x)=f(4x)的 >0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把 反函数的图像过点(1,4). 求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标 答案：(1,4) 问题 第7节 函数的图像 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 高考对函数图像的考查多种多样，可以是 1.在实际情境中，会根据不同的需 要选择图像法、列表法、解析法 1.作函数的图像，达成直 由函数的解析式与函数的性质识图选图，可以 是由函数的图像研究函数的性质，还可以是数形 观想象素养， 表示函数 结合思想的运用等，其中给出函数解析式判断函数 2.会运用函数图像理解和研究函数 2.函数图像的识别，提升 直观想象素养。 的图像及利用函数图像求函数零点，求交点个数及 的性质，解决方程解的个数与不 求参数值（范围）是高考的热点，各种基本初等函数 等式的解的问题， 3.函数图像的应用，提升 直观想象和逻辑推理 的图像与性质的应用，图像变换等也是高考的热 3.会结合函数性质判断或选择函数 点.本部分内容在高考中多以选择题或填空题的形 的图像 素养 式出现，属于中档题，有时也在解答题中考查数形 结合的思想，属于中高档题，难度较大 57· 高考总复习人教数学B版（新教材） 夯实>必备知识 对应学生用书P46 教材夯实强基固本 必备知识 2.函数图像自身的中心对称 1.利用描点法作函数的图像步骤 (1)f(-x)=-f(x)台函数y=f(x)的图像关于原 (1)确定函数的定义域； 点对称； (2)化简函数解析式； (2)函数y=f(.x)的图像关于(a,0)对称台f(a十x) (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称 =-f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x) 性等)； f(2a+x): (4)列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值 (3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称台 点、与坐标轴的交点等)，描点，连线 f(a+x)=2b-f(a-x)f(x)=2b-f(2a-x). 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换 3.两个函数图像之间的对称关系 (1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线 y=f(x)+k 上k(k>0) x=b,4对称（由a十x=b-x得对称轴方程）： 2 移个单位 (2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x 左移 y=f(x+a) y=f(x) 右移 a(a>0) a(a>0) y=f(x-a) =a对称； 个单位 下kk>0个单位 移个单位 (3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图像关于点 y=f(x)-k (0,b)对称； (2)对称变换 (4)函数y=f(.x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点 ①y=f(x) 关于x轴对称 (a,b)对称 y=一f(x): ②y=f(x) 关于y轴对称 自主诊断 y=f(-x); ◆[思考辨析] ③y=f(.x) 关于原点对 →y=-f(-x)； 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 ④y=a(a>0且a≠1)关于y=x对称 y=logax(a 打“/”，错误的打“X” >0且a≠1)， (1)函数y=2的图像关于直线x=0对称. (3)伸缩变换 ( a>1,横坐标缩短为原来的】倍，纵坐标不变 (2)当x∈(0，+o∞)时，函数y=|f(x)|与y= ①y=f(.x) 0<a<1,横坐标伸长为原来的。倍，戮坐标不变 f(x)的图像相同 ( (3)函数y=f(x)与y=一f(x)的图像关于原点 y=f(ax). a>1,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 对称. ( ②y=f(.x) 0<a<1,纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变 (4)若函数y=f(x)满足f(1十x)=f(1一x),则函 y=af(x). 数f(x)的图像关于直线x=1对称. () (4)翻转变换 (5)将函数y=f(-x)的图像向右平移1个单位得 保留x轴上方图像 ①y=f(x) 将x销下方图像翻折上去产y=f(x), 到函数y=f(一x一1)的图像. ②y=f(.x) 保留y轴右边图像，并作其 答案：(1)/(2)×(3)×(4)/(5)× 关于y轴对称的图像 y=f(l). ◆[小题查验] 重要线论 1.函数y-xx的图像经描点确定后的形状大致是 1.函数图像自身的轴对称 (1)f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图像关于y轴 对称； (2)函数y=f(x)的图像关于x=a对称台f(a十x) =f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a 十x); (3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x) x>0 f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x= 解析：A[y=xx 0,x=0为奇函数，奇函 a十b对称. -x,x0 数图像关于原点对称.门 58. 第二章函数、导数及其应用 2.(教材改编)函数f(x)的图像向右平移1个单位长 4.(教材改编)为了得到函数f(x)=logx的图像，只需将 度，所得图像与曲线y=e关于y轴对称，则f(x) 的解析式为 ( ) 函数g()=lg专的图像向 平移个单位 A.f(z)=e+I B.f(x)=e-1 C.f(x)=e+l D.f(r)=e-1 解析：g(x)=log专=l1ogx-3=fx)-3 解析：D[依题意，与曲线y=e关于y轴对称的 因此只需将函数g(x)的图像向上平移3个单位即 曲线是y=e,于是f(x)相当于y=e向左平移 可得到函数f(x)=log2x的图像. 1个单位的结果，f(x)=eG+D=e1.] 答案：上3 3.函数fx)=1-x的图像关于 ( 5.若关于x的方程|x=a-x只有一个解，则实数a 的取值范围是 A.y轴对称 B.直线y=一x对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 解析：由题意a=|x十x, 解析：C[函数f(x)的定义域为（一o∞，0）U(0,十∞)， 2x,x0 令y=|x|十x= -)=之-(-)=-侵-f.所 0,x<0, 图像如图所示，故要使a=|x|十x只 以f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称.] 有一解则a>0. 答案：(0，十∞) 跃升>关键能力 对应学生用书P47 层级突破素养提升 吉点1 作函数的图像（基础点） 1 (4),y=2+ x-1 分别作出下列函数的图像： (1)y=er; 故通数园很可由y=上的因缘向右学移1个单位， (2)y=1og2(x+1): 再向上平移2个单位而得，如图(4)所示】 (3)y=ar(0<a<1); 题后反思 (4)y=21 画函数图像的一般方法 x-1 (1)直接法.当函数表达式（或变形后的表达式）是 解：(1)，函数的定义域为{xx>0} 熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征 且y=enr=x(.x>0), 直接作出. ∴.其图像如图(1)所示. (2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的 图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变 换作出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟 悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换 -1 与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的 图(1) 图(2) 影响. (2)将函数y=l0g2x的图像向左平移一个单位，再 易错警示：可先化简函数解析式，再利用图像的 将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数 变换作图 y=1og2（x十1)川的图像，如图(2)所示. 春点2 函数图像的识别（重难点） /a,x≥0， ◆[命题角度1]由函数解析式选图 (3)y= ),x<0 (0<a<1), [典例1](1)函数y= 2十2在[-6,6]的图像大 2x a .只需作出0<a<1时函数y=a(x≥0)和y= 致为 )x0的图像，合起来即得函数y=a(0< a<1)的图像.如图(3)所示. [解析]B[.y=f(.x) 2+2x∈[-6,6]， 27 -10123 ∴.f(-x)= 2(-x)3 2.x3 2+22+2=-fx), 图(3) 图(4) .f(x)是奇函数，排除选项C. ·59· 高考总复习人教数学B版（新教材） 当x=4时，y= 2×43 2+24 128∈(7,8)，排除选 2.(2023·天津卷)函数f(x)的 16+16 1 图像如图所示，则f(x)的解析 项A、D.] 式可能为 7-2 (2)(2022·全国甲卷，5)函数y=(3-3)cosx A.f(.x)= 5(e-e) x2+2 在区间[一 ,π的图像大致为 ( B.f(x)= 5sin x x2+1 C.f(x)=5(e'+e-) x2+2 T一 D.f()=5cos z x2+1 解析：D[由图像可知，f(x)图像关于y轴对称， 为偶函数，故AB错误；当x>0时，5(e十e)恒 x2+2 大于0，与图像不符合，故C错误.] ◆[命题角度2]用函数的变化趋势及特殊值选图 [解析]A[设f(x)=(3-3)cosx,f(-x)= [典例2]如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1, (3-3)cos(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数， O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动， 排除BD,令x=1, 记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表 则f(1)=(3-31)cos1>0,排除C.] 示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为 方法指导 知式选图的策略 (1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数 的值域，判断图像的上下位置； (2)从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断 图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点（与坐标轴的交点、经过的定 点、极值点等)，排除不合要求的图像 易错警示：注意联系基本函数图像的模型，当选 项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突 破口. 跟踪训练 1.函数y=一x十x2十2的图像大致为 Y 0号要 [破题关键点]“解本题关键是抓住动点P的几个 不同位置，确定其不同的函数形式，从而求出解析 式，并进而确定函数图像，同时要注意结合函数的 某一性质或特殊点进行排除， 解析：D[当x=0时，y=2,排除选项A,B. [解析]B[解法一：当点P位于边BC上时，∠BOP y=-x+2x=-2a2x-D.当e(0,9时 -tn iBp-tane.iAP y>0,排除选项C.] =√4+tanx,.f(x)=tanx+√4十tanx ·60· 第二章函数、导数及其应用 (0≤x≤)，可见y=f(x)图像的支化不可能是 c0sx,设点M到立线OP的距离为d,则品 sin 一条直线或线段，排除A,C.当点P位于边CD上 d=OMsin =sin xcos x,..f(x)=sin xcos x 时，∠BOP=,于≤x≤开，则BP+AP =古sin2a≤排除B √BC+CP+√AD+DP2 解法二：如图所示，过点M作OP的垂线，垂足 +-品+(+ 为D. 当点P位于边AD上时，∠B0P=,<≤， AP=tan(-x)=-tan :AP=-tan & OA X=TT .BP=√4+tanx, 2 ∴.f(.x)=-tanx+√4+tanx 当x= 受时，MD=0,排除A,D选项，当x= 灭或x 函数的解析式可排除D. 解法二：当点P位于点C时x=牙，此时AP+BP 西时，MD取得最大值为2，排除B] 4 吉点3 函数图像的应用 =AC+BC=1+√5，当点P位于CD的中点时，x ◆[命题角度1]研究函数的零点或方程解的个数 =受，此时AP+BP=2E<1十后，故可排除C 1.如图，函数f(x)的图像为两条 D:当点P位于点D时x=要，此时AP+BP=AD 射线CA,CB组成的折线，如果 不等式f(x)≥x2-x-a的解 十BD=1十√5，而在变化过程中不可能以直线的形 集中有且仅有1个整数，则实 A/ 10 式变化.] 数a的取值范围是 方法总结 A.{a-2<a<-1} B.{a-2≤a<-1} 1.解决动点的函数问题思路：采用“以静观动”，即将 C.{a|-2≤a<2} D.{a|a≥-2} 动点处于某些特殊的位置处考查图像的变化特征， 解析：B[根据题意可知f(x) 从而作出选择. 2.知式选图的解题思路：根据解析式结合所给图 2x+2,x≤0，不等式f(x) {-x+2,x>0, 像，灵活运用特殊值及函数的变化趋势排除错误 ≥x2-x-a等价于a≥x2-1 -2-107 的选项，快速选择， -f(x),令g（x)=x2-x y=a 跟踪训练 f(x)={-3x-2,x≤0， 3.如图，圆O的半径为1，A是圆上 {x2-2,x>0, 的定点，P是圆上的动点，角x的 作出g(x)的大致图像，如图所示，又g(0)=一2， 始边为射线OA,终边为射线OP, g(1)=一1，g(-1)=2,.要使不等式的解集中有 过点P作直线OA的垂线，垂足 且仅有1个整数，则-2≤a<-1,则实数a的取值 为M,将点M到直线OP的距离 范围是{a-2≤a<-1}.] 表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0，π]上的图 ◆[命题角度2】求不等式的解集或判断不等式是否成立 像大致为 ) 2.设函数f(x)= 2,x≤0：则满足f(x+1)< {1,x>0, f(2x)的x的取值范围是 A.(-o∞，-1] B.(0,+o∞) C.(-1,0) D.(-∞，0) 解析：D[将函数f(x)的 图像画出来， 2 观察图像可知会有 12.x<0 y=1 ,解得x<0, 解析：C[解法一：由题图：当x=受时OPLOA, (2x<x+1 0 所以满足f(x+1)<f 此时f(x)=0,排除A,D:当x∈(0，受)时，0M (2x)的x的取值范围是（一∞，0）.] ·61 高考总复习人教数学B版（新教材） 3.(多选)(2022·山东省高三模拟)已知直线y=一x ◆[命题角度3]求参数的取值或范围 十2分别与函数y=e和y=lnx的图像交于点A 4.(2024·陕西宝鸡校考模拟)已知函数f(x)= (x1y1),B(x2y2)则下列结论正确的是 log+(0<x<2), 若关于x的方程f(x)=kx A.x1十x2=2 B.e"He>2e -x2+8.x-15(x≥2)， C.x In x2+z2In <0 D>9 一2有三个互不相等的实根，则实数k的取值范 围是 解析：ABC[函数y=e与y=lnx互为反函数， 则y=e与y=lnx的图像关于y=x对称. A(a,) B(合-2压+8 将y=-x十2与y=x联立，则x=1y=1. C.(-213+8,1) (合 由直线y=-x十2分别与函数y=e和y=lnx 的图像交于点A(x1,y1),B(x2y2), 解析：B[作出函数f(x)的图像如图所示，直线 作出函数图像，则A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标 y=kx一2恒过点(0，一2)，当y=kx一2过，点(2， 为(1,1). -1D时，解得长=子此时直线y=k红一2与f( y=-x+2 有两个交点，故关于 x的方程f(x)=kx 4 y=Ina 3 ,1) 一2有两个互不相等 2 4 2八34 的实根；将y=kx一2 代入y=-x2+8.x -3-2-1012 15得x2+(k-8)x 对于A,由5十=1，解得x1十x,=2,故A正确； 十13=0，当x≥2 2 时，直线与抛物线只有一个交，点，则△=(k一8)2 对于B,e+e'≥2√e1·e'=2√e=2√e 52=0,解得k=8-2√13或k=8+2√13.当k=8 =2e, 十2√13时，解得x=一√13，不满足x≥2，则应舍 因为x1卡x2,即等号不成立，所以ei十e:>2e,故 去，即k=8一2√13.所以实数k的取值范围 B正确； 对于C,将y=-x十2与y=e联立可得-x十2= 是（合一2+8 e,即e+x-2=0. 规律总结 设f(x)=e十x一2，且函数为单调递增函数， (1)利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意 f(0)=1+0-2=-1<0, e:+ 2 2 其对应关系，如：图像的左右范围对应定义域， 上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调 e->0 性，对称性对应奇偶性. 故函教的零点在(0，)上，即0<<由十 (2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数 的值（范围）：构造函数，转化为两函数图像的交 x2=2,则1<x2<2, 点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数 n+m=n马-y1h 的图像，数形结合求解. <x1 In x2-x2 In x2=(x1-x2)In 2<0,C (3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法 正确； 求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等 式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从 对于D,由x1十x2≥2√x1x2,解得x1x2≤1， 而利用数形结合求解· 由于x1卡x2,则x1x2<1,故D错误.] ·62·