第2章 第8节 函数与方程、不等式之间的关系-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程、不等式关系”专题，覆盖函数零点定义、方程根与零点关系、零点存在定理、个数判断及参数应用等核心考点，对接新课标直观想象、逻辑推理、数学运算素养要求，分析考情明确选择填空常考、解答题渗透的命题趋势，归纳区间判断、个数求解、参数范围三大常考题型。 课件亮点在于“考点分类突破+真题变式训练”，如以2024大理州模拟题为例，用数形结合法判断零点个数，分离参数法求参数范围，培养逻辑推理和数学运算素养。提供规律总结（直接法、分离参数法等）及易错点警示（零点存在定理条件），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，实现高效备考。

第8节 函数与方程、不等式之间的关系 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第二章 函数、导数及其用应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2．根据具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 1.判断函数零点的个数，发展直观想象素养． 2．确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养． 3．函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 　　由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间，求方程的根，函数的零点个数，基本初等函数的图像是高考的热点．以函数的零点，方程的根及函数图像的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归思想，考查函数与方程思想，数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查的居多，在解答题中也有所体现，难度较大 1．函数的零点 (1)零点的定义 一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的函数值等于零，即f(a)＝0，则称a为函数y＝f(x)的零点． (2)方程的根与函数零点的关系 2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 　{x|x1<x<x2}　 　∅ 　∅　 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 1．若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)一定有零点． 2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示： 所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3．若函数f(x)在(a，b)上单调，且f(x)的图像是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(　　) (2) 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　 ) (3) 函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　　 ) (4) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　 ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ ◆[小题查验] 1．(教材改编)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　 ) 解析：C　[A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．] 2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 解析：B　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq \f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函数f(x)有且只有一个零点．] 3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)＝0.200 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为　________　. 解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2,1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56. 答案：1.56 4．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　________　. 解析：由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[－2,3]上的图像如图所示． 直线y＝ax＋2a过定点(－2,0)，在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y＝ax＋2a与函数y＝f(x)的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a＋2a>2，且a＋2a<2，即eq \f(2,5)<a<eq \f(2,3). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(2,3))) 　确定函数零点所在的区间(基础点) 1．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　 ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 解析：A　[∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0， f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.] 2．(2024·山西忻州河曲县中学校考)用二分法求方程log4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0,1)　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析：B　[令f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)，因为函数y＝log4x，y＝－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－eq \f(1,2)＜0，f(2)＝log42－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)＞0，所以函数f(x)＝log4x－eq \f(1,2x)在区间(1,2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－eq \f(1,2x)＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1,2)．] 3．(2024·大理州模拟)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－1，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　 ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 解析：D　[令f(x)＝2x＋x＝0，解得x＜0，令g(x)＝x－1＝0，解得x＝1，由h(x)＝log3x＋x，令heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝－1＋eq \f(1,3)＜0，h(1)＝1＞0，又函数h(x)是增函数，因此h(x)的零点x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).则b＞c＞a.] 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 判断函数零点的个数(重难点) [典例]　已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是　________　. 核心素养 数学抽象、直观想象——确定函数零点个数的核心素养 信息提取 信息解读 数学抽象、直观想象 f(x)＝ 当x>0时，y＝|lg x|的图像是函数y＝lg x的图像在x轴上方的部分保持不变，x轴下方的部分沿x轴对称到x轴上方 在同一坐标系中画出函数y＝|lg x|在x>0时的图像和函数y＝2|x|在x≤0时的图像 当x≤0时，y＝2|x|＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像就是y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像在y轴左侧的部分 函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点 函数的零点就是方程的根 函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点，即方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的根 函数y＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点，也就是方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的根，把f(x)看成一个整体，本方程就是关于f(x)的一元二次方程，通过解方程可以得出f(x)＝1或eq \f(1,2) 解方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或eq \f(1,2) 解方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的根，是解适合此方程的x的值，也就是方程f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1对应的x的值 结合函数f(x)的图像，观察y＝eq \f(1,2)和y＝1与y＝f(x)的图像交点个数 零点个数 函数的零点个数就是对应方程的根的个数，即方程f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1对应的x的值的个数，转化为y＝eq \f(1,2)和y＝1与y＝f(x)的图像交点个数，借助图像利用数形结合求解 y＝eq \f(1,2)和y＝1与函数y＝f(x)的图像交点个数之和即为本题的零点个数 [解析]　第一步 作函数y＝f(x)的图像 作出函数y＝f(x)的图像，如图． 第二步　解方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1 第三步　观察y＝eq \f(1,2)和y＝1与y＝f(x)的图像交点个数 由图像知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图像有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图像有3个交点． 第四步　得出函数的零点个数 因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个． [答案]　5 判断函数y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法：令f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在性定理法：判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．(画出两个函数的图像，其交点的个数就是函数零点的个数) 1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－1，x≤0，,log2x，x>0.))则函数y＝f(x)的零点个数是(　　 ) A．0　　　 B．1 　　　 C．2　　　 D．3 解析：C　[f(x)＝0时，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－1＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>0，,log2x＝0，))解得x＝－1或x＝1.] 2.函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是　________　. 解析：函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数，即为函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1图像的交点个数． 在同一坐标系内分别作出函数y＝ln(x＋1)与y＝x－1的图像，如图， 由图可知函数f(x)＝x－ln(x＋1)－1的零点个数是2. 答案：2 函数零点的应用(迁移点) [母题]　若函数f(x)＝xln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为　________　. [解析]　令g(x)＝xln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x<eq \f(1,e)；令g′(x)>0，即ln x>－1，可解得x>eq \f(1,e)，所以，当0<x<eq \f(1,e)时，函数g(x)单调递减； 当x>eq \f(1,e)时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝eq \f(1,e)时，g(x)min＝－eq \f(1,e).在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－eq \f(1,e)<a<0. [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0)) [子题1]　若母题中f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是　______　. 解析：由母题解析知a＝－eq \f(1,e)或a≥0. 答案：[0，＋∞)∪eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e))) [子题2]　若函数变为f(x)＝ln x－x－a，其他条件不变，则a的取值范围是　______　. 解析：函数f(x)＝ln x－x－a的零点，即为关于x的方程ln x－x－a＝0的实根，将方程ln x－x－a＝0化为方程ln x＝x＋a，令y1＝ln x，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝ln x相切时有a＝－1，所以关于x的方程ln x－x－a＝0有两个不同的实根，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1) [子题3]　若函数变为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xln x－a，x>0，,－x2－2x－a，x≤0，)) 若函数y＝f(x)有三个零点，则实数a的取值范围是　______　. 解析：令g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xln x，x>0，,－x2－2x，x≤0，))h(x)＝a，则问题转化为g(x)与h(x)的图像有三个交点，g(x)图像如图．由图像知－eq \f(1,e)＜a＜1. 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，1)) 由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离得a＝f(x)，再转化成求函数f(x)值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． (多选)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|ln x|，x＞0,exx＋1，x≤0))，若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：BC　[由题意，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则函数g(x)＝f(x)－b＝0， 即f(x)＝b有三个根． 当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)． 由f′(x)＜0得x＋2＜0，即x＜－2，此时f(x)为减函数； 由f′(x)＞0得x＋2＞0，即－2＜x≤0，此时f(x)为增函数， 即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－eq \f(1,e2)，作出f(x)的图像如图： 要使f(x)＝b有三个根，则0＜b≤1，则实数b可取的值可能是eq \f(1,2)，1.] $