第2章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“幂函数、反函数及指数对数函数关系”核心考点，依据新课标要求梳理了幂函数定义与图像性质、反函数概念及对称性、指数对数函数互为反函数等考查要点，分析高考中综合命题特点，归纳出幂函数解析式求解、反函数图像应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养提升”策略，如通过2024济南诊断题解析幂函数参数求解，结合典例分析反函数图像对称问题，培养逻辑推理和直观想象素养。设易错点警示如幂函数过原点条件，规律总结求反函数步骤，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

第6节 指数函数、对数函数的关 系与幂函数 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第二章 函数、导数及其用应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝的图像，掌握它们的性质． 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 4．了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系． 5．利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题 1.幂函数的图像与性质，提升数学抽象和直观想象的核心素养． 2．了解反函数的概念，达成数学抽象的核心素养． 3．利用指数、对数函数的图像与性质解决简单问题可提高直观想象，逻辑推理的核心素养 　　幂函数，反函数，指数函数与对数函数的关系是高考的常考内容，高考一般不单独命题，通常与其它知识相结合命题，属于低中档题，考查函数与方程及数形结合的数学思想 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如　y＝xα　的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图像 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝xeq \f(1,2) y＝x－1 定义域 R R R 　[0，＋∞)　 {x|x≠0} 值域 R 　[0，＋∞)　 R [0，＋∞) 　{y|y≠0}　 奇偶性 　奇　 偶 　奇　 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增　 　在R上单调递增　 　在[0，＋∞)上单调递增　 　在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减　 公共点 　(1,1)　 2.反函数的概念 (1)一般地，如果在函数 y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的　反函数　. (2)一般地，函数y＝f(x)的反函数记作　y＝f－1(x)　. y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的　值域　相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的　定义域　相同， y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线　y＝x　对称． (3)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定　存在　.如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是　增函数　；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是　减函数　. 1．有关幂函数的几个结论 对于形如f(x)＝ (其中m∈N＋，n∈Z，m与n互质)的幂函数： (1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴对称； (2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于原点对称； (3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图像只在第一象限(或第一象限及原点处)． 2．指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2 是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的反函数是y＝logxeq \f(1,2).(　　) (5)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　) (6)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× ◆[小题查验] 1．(2024·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α＝(　　 ) A.eq \f(1,2)　　 B．1　　　 C.eq \f(3,2)　　 D．2 解析：C　[由幂函数的定义知k＝1.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝eq \f(1,2)，从而k＋α＝eq \f(3,2).] 2．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是(　　 ) 解析：B　[图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.] 3．若函数f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B.eq \f(1,2x) C．x D．2x－2 解析：A　[y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.] 4．已知y＝的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－eq \f(1,2)，则x0＝ (　　) A．－2 B．－1 C．2 D．eq \f(1,2) 5．若幂函数y＝(m2－3m＋3) 的图像不经过原点，则实数m的值为　________　. 解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m＋3＝1,m2－m－2≤0))，解得m＝1或2. 经检验m＝1或2都适合． 答案：1或2 幂函数的图像与性质(基础点) 1．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是(　　 ) 解析：C　[令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝.] 2．若，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a<b<c　　　　　 B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) (n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　 ) A．－3 B．1 C．2 D．1或2 解析：B　[∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2) 在(0，＋∞)上是减函数， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n2＋2n－2＝1，,n2－3n<0，))∴n＝1， 又n＝1时，f(x)＝x－2的图像关于y轴对称，故n＝1.] 4．若，则实数a的取值范围是　__________　. 解析：不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或eq \f(2,3)<a<eq \f(3,2). 答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))) 1．幂函数的解析式：y＝xα(α∈R)，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．幂函数的图像特征：①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸． 3．幂函数的性质： (1)若α为偶数，则幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数；若α为奇数，则幂函数y＝xα(α∈R)是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性． (2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0. 4．幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 反函数的概念与性质 ◆[命题角度1]　求反函数　 [典例1]　写出下列函数的反函数： (1)y＝lg x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝(eq \r(2))x； (4)y＝x2(x≤0)． [解]　(1)y＝lg x的底数为10，它的反函数为指数函数y＝10x. (2)由y＝5x＋1，得x＝eq \f(y－1,5)，所以反函数为y＝eq \f(x－1,5)(x∈R)． (3)y＝(eq \r(2))x的底数为eq \r(2)，它的反函数为对数函数y＝x(x＞0)． (4)由y＝x2，得x＝±eq \r(y). 因为x≤0，所以x＝－eq \r(y).所以反函数为y＝－eq \r(x)(x≥0)． ◆[命题角度2]　反函数的图像及性质　 [典例2]　(1)如图，已知函数f(x)＝3x－1，则它的反函数y＝f－1(x)的大致图像是(　　) [解析] C　[由f(x)＝3x－1可得f－1(x)＝log3x＋1，∴图像为C.] (2)已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值． [解]　因为y＝ax＋b的图像过点(1,4)，所以a＋b＝4.① 又因为y＝ax＋b的反函数图像过点(2,0)， 所以点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图像上．所以a0＋b＝2.② 联立①②得a＝3，b＝1. 1．求反函数的一般步骤 (1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围． (2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个． (3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域． 2．互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上． 1．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是(　　) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1) 解析：D　[∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.] 2．若函数y＝f(x)的图像过点(0,1)，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点　________　. 解析：∵y＝f(x)的图像过点(0,1)， ∴f(4－x)的图像过点(4,1)，∴g(x)＝f(4－x)的反函数的图像过点(1,4)． 答案：(1,4) 指数、对数函数图像与性质的应用 [典例]　(1)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值． [解]　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3. 如图可知， a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标． 由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称， 于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．而A、B都在直线y＝－x＋3上， 所以b＝－a＋3(A点坐标代入)， 或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3. (2)已知函数f(x)＝log2(1－2x)． ①求函数f(x)的定义域和值域； ②求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称． [解]　①要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义， 则1－2x>0， 即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1，∴f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． ②证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函数f(x)的图像关于直线y＝x对称． 形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题. $