第二章 第5节 对数与对数函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） 第5节对数与对数函数 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换 对数及对数的运算性质，以 1.对数的基本运算，发展数学运 底公式能将一般对数转化成自然对数或 对数函数为载体的对数型函数的 算素养 常用对数 图像和性质，考查函数值的大小 2.对数函数的图像及应用，提升 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能 比较及单调性的应用，尤其是有 直观想象和数学运算素养. 用描点法或借助计算工具画出对数函数 关对数函数的复合函数是高考热 3.对数函数的性质及应用，提升 的图像，探索并了解对数函数的单调性 点.主要以选择题、填空题形式出 逻辑推理和数学运算素养 与特殊点 现，属于中低档题 夯实>必备知识 对应学生用书P40 教材夯实强基固本 必备知识 (3)对数的重要公式 1.对数的概念 ①换底公式：logN ogN(a,b均大于零且不等 logb (1)在表达式a=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞) 于1)； 中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个 式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记 ②1ogb= da推扩广legh:eo=lg以 作b=1ogN,其中a称为对数的底数，N称为对 4.对数函数及其性质 数的真数. (1)概念：函数y=logx(a>0,且a≠1)称为对数函 (2)当a>0且a≠1时，b=logN的充要条件是a= 数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，十∞). N,由此可知，只有N>0时，log。N才有意义，这 (2)对数函数的图像与性质 通常简称为负数和零没有对数. 底数 a>1 0<a<1 2.常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见， y=logx x=1 通常把底10略去不写，并把“1og”写成“1g”,即把 图像 (1,0) log1oN简写为lgN. 1(1,0) y=log x (2)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数称为自然 对数，自然对数log。N通常简写为lnV. 定义域：(0，+∞) 3.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①1ogn1=0;②1og.a=1;③as.v= 值域：R N;④1ogab=b(a>0,且a≠1). 当x=1时，y=0,即过定点(1,0) (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 性质 当x>1时，y>0: 当x>1时，y≤0； ①log。(MN)=logM+log.N; 当0<x<1时，y≤0 当0<x<1时，y>0 M ②logN=logM-logV, ③logM"=nlog,M(n∈R); 在(0，+∞) 在(0，十∞)上是增函数 ④1log,-M"=”1ogM(m,n∈R,且m≠0). 上是减函数 772 50· 第二章函数、导数及其应用 重要结论对数函数的图像与底数大小的比较 ,y=l0g2x,如图所示，由图像可得a<b 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图像交点的 <c.] 横坐标为相应的底数， logx logx y=1 =0g logx logx 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在 第一象限内从左到右底数逐渐增大： 自主诊断 3.设函数f(x)=ln2x+1-ln2x-1|,则f(x) ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 A.是偶函数，且在 + 单调递增 打“√”，错误的打“X”. (1)函数y=1og2(x+1)是对数函数. ( ) B.是奇函数，且在 ·)单润递诚 (2)log2x2=2log2. ( (3)当x>1时，logx>0. ( ) C.是偶函数，且在 -,-2 单调递增 (4)对数函数y-logx(a>0且a≠1)的图像过定点 1,0.且过点a,1,(合一函数图像只在第 D.是奇函数，且在-，-) 1 单调递减 一、四象限。 ( 解析：D[函数f(-x)=ln-2x+1|-ln-2x (5)函数y=1n+x与y=1n1十x)-1n(1-x)的 -1=1n2.x-1|-ln2.x+1|=-f(x),则f(x) 1-x 定义域相同， ( 为寺高教∈（号号）时，f)=1n(2x+1)- 答案：(1)× (2)×(3)×(4)/(5)/ 1-2x),单调适增x(-,一 时，f(x) ◆[小题查验] 1.(2022·浙江卷，7)已知2=5,10g83=b,则446= ln(-2.x-1)-ln(1-2.x)=ln 2x+1 ) 2x-1 A.25 B.5 c罗 D.号 解析：C[将1og3=b转化为指数，得到8=3.再 4.(教材改编)函数y=√1og.5(4x-3)的定义域 结合指数的运算性质，8=（23)=26=3，因此 为 2一-器-号所以4-要衣通这C] 4.x-3>0 解析：由 2.(2024·凯里市模拟)已知a,b,c均为正实数，若 {1og(4x-3)≥0 解得x∈（是小 2=1cga,2=log4,(合) =log2c,则( ) 答案：（子川 A.c<a<b B.c<b<a 5.(教材改编)函数y=log。(x-2)十2(a>0,且a≠ C.a<b<c D.b<a<c 1)的图像须过点 解析：C 2=o4a(2)=1g(2) 答案：(3,2) 1og2c,利用函数y=2,y=log5x, ·51 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升>关键能力 对应学生用书P41 层级突破素养提升 春点1) 对数的基本运算（基础点） 点2对数函数的图像及应用（迁移点） 1.(多选)已知a,b均为正实数，若1og.b十loga= 5 [母题] 当0<≤号时，r<10g,则a的取值范 。=6,则分 ( 围是 A.是 B C.2 D.2 2 C.(1,W2) D.(√2,2) 解析：AD [令1=logb,则t+1=5 t ,212-57 汇破题关键点]方法一：构造函数f(x)=4和 +2=0,(2t-1)(t-2)=0, g(x)=log。x,利用这两个函数图像的上下位置关 t=合或1=2logb=号或1ogb=2a=或d2 系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法， [解析]B[法一：构造函数 =b. f(x)=4和g（x)=logax,当a ,a°=，代入得2b=a=b2或b=2a=a2, >1时不满足条件，当0<a<1f以 6=a=1成a=2b=4心号=2.或号-] 时，画出两个载在〔0，]上的一 2.(2024·广州质检)已知函数f(x)=1og2(x2十a), g(x) 若f(3)=1,则a= 因像，可知，侵)大(》即2 解析：根据题意有f(3)=log2(9十a)=1,可得9十 a=2,所以a=-7. <合则。要，所以的取花为停，小 答案：一7 3./g3)-1g9+14g√27+lg8-1g1000 法二：0<x≤号1<<2,1ogx>4>1, 1g0.3·lg1.2 0<<1,排除选项C.D:取a=合=合 g3-2g3+(3g3+3g2-】 则有4=2.log时2-1，显然<1gx不成立，排 解析：原式= 1g3-1)·(1g3+21g2-1) 除选项A.] 1-1g3·号g3+21g2-1） [子题1]将母题变为：若不等式x2-logx<0对x∈ 3 0g3-1)·(1g3+21g2-1)= 21 (0,号)恒成立，则实数a的取值范周是 答案：-昌 解析：由x2-logx<0,得x2<logx, f (x)=22,f2(x)=log, 4.若log147=a,14=5,则用a,b表示1og528= 要使re(0,)时，不等式<1ogr征成立， 解析：14=5，.1og145=b,又1og147=a, 42 只需元)=在〔0，》上的图像在元) .log3528= 10g1428 1og147 2-a logx图像的下方即可.当a>1时，显然不成立； 10g1435 l0g15+10g17 a+b 当0<a<1时，如图所示，要使 2 fi(x)=x2 答案台 题后反思 ,5(x)=l0gx 对数运算的一般思路 立，f(合)（合） (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化 成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正 所以有（合）≤1og解得a≥。a<1, 用对数运算性质化简合并. 即实数a的取值范国是[品月 (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算， 然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真 答案品) 数的积、商、幂的运算 52· 第二章函数、导数及其应用 [子题2】将母题变为：当0<x≤时反<log 因为b=1ogs5,c=1og138,所以8=5,13=8， 即86=55,13=8.又因为55<84,134<85， 则实数a的取值范围是 所以13r=84>55=8>13b,即b<c 解析：若√G<logx在x∈ 综上所述：a<b<c.] (0,]成立，则0a<1,且 yx 2.若2+1og2a=4+21ogb,则 A.a2b B.a<2b √元的图像在y=logx图像的下 27 011 C.a>b2 D.a<b2 方，如图所示， 4 y=log x 解析：B[由指数与对数运算可得：2+log2a=4 ∠o 由图像知立 十210g4b=226十1og2b,又因为26十10g2b<226+ 0<a<1, log2b十1=226+log22b,即2+log2a<2+log22b, 1 t. 得6<a<1. 令f(x)=2十log2x,由指，对函数单调性可得 f(x)在(0，+∞)内单调递增，由f(a)<f(2b)可 即实数a的取值范围是 少 得：a<2b,所以选B.] ◆[命题角度2]解简单的对数不等式 答案(6 3.已知f(.x)=logx(a>0且a≠1)，如果对于任意的 [子题3]将母题变为：已知函数f(x)= x【片2]都有f)≤1成立，则a的取值范围为 (log2x,>0 且关于x的方程f(.x)十x-a=0有 3,x≤0， 解析：f(x)=logx, 且只有一个实根，则实数a的取值范围是 则y=|f(x)|的图像如图 解析：如图，在同一坐标 系中分别作出y=f(x) 由周知，要使x∈[哈2]时恒有 与y=一x十a的图像，其 中a表示直线在y轴上 的截距，由图可知，当a> 即-1<log<1，即1oga1≤iog<loga. 1时，直线y=-x十a与 y=f(x)只有一个交点. 当a>1时，得。≤宁<a,即a≥3 答案：a>1 规律总结 当0<a<1时得a1≥日≥a,得0<a< 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对 综上所迷a的取值范周是(0，U[3,+∞)， 数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域 (最值)、零点时，常利用数形结合思想 答案：(0，]U[3,+∞) (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 ◆[命题角度3]与对数有关的复合函数问题 函数图像问题，利用数形结合法求解。 4.若函数f(.x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m 专点3)对数函数的性质及应用（重难点） 2,m十2)内单调递增，则实数m的取值范围为 ◆[命题角度1]比较对数值的大小 1.已知55<8,134<8°.设a=log3,b=logs5,c= 解析：由-x2+4x十5>0，解得-1<x<5.二次函 1og138,则 数y=一x2十4x十5的对称轴为x=2.由复合函数 A.a<b<c B.b<a<c 单调性可得函数f(x)的单调递增区间为(2,5).要 C.b<c<a D.c<a<b 使函数f(x)在区间(3m一2，m十2)内单调递增，只 解析：A[易知a,b,c∈(0,1) 3n-2≥2， 由4=1og3 需{m+2≤5， 解得 3≤m<2. b logs5 -log3.log.8<(log 3+10g,8) 3m-2m+2, (10g24)2一2 4 4 =1,所以a<b, 答案：[传2) 53· 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[命题角度4]利用对数函数的性质求参数 规律总结 5.已知函数f(x)=log(x2-a.x-a)对任意两个不 1 对数函数性质及应用中应注意的问题 相等的实数x1,x2∈ 2 },都满足不等式 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对 fx)一fx)0,则实数a的取值范围为 数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找 2一C1 解析：由于f(x)满足：对任意两个不相等的实数 中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再 x1x2∈-∞，- ,都满足不等式f,)-fx) 比较. 2 x2一T1 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性 >0,所以f(x)在区间一∞，一 1 2 上单调递增， 质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单 y=logx在(0，十∞)上递减： 调性转化为一般不等式求解. g(x)=x2-a.x一a的开口向上，对称轴为x= 2 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复 合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面 2 所以 2a≥0 的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域 内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函 解得-1≤a≤2，所以a的取值范国是【-1,2] 数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而 答案：[1， 成的 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式 1.幂函数的图像与性质，提 2.结合幂函数)=y=y=y=y=x的图 升数学抽象和直观想象 幂函数，反函数，指数 的核心素养， 函数与对数函数的关系是 像，掌握它们的性质. 2.了解反函数的概念，达成高考的常考内容，高考一 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小. 数学抽象的核心素养. 般不单独命题，通常与其 4.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为3.利用指数、对数函数的图它知识相结合命题，属于 反函数，弄清它们图像之间的对称关系. 像与性质解决简单问题低中档题，考查函数与方 5.利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单 可提高直观想象，逻辑推程及数形结合的数学思想 问题 理的核心素养 夯实>必备知识 对应学生用书P42 教材夯实强基固本 必备知识 (3)常见的5种幂函数的性质 1.幂函数 函数 y=x y=x2 V=t3 y=xt y=I-I (1)幂函数的定义 定义域 中 及 R [0,+∞) {xx≠0} 一般地，形如y=x的函数称为幂函数，其中x是 值域 [0,+∞)》 R [0,+∞) {yy≠0} 自变量，a为常数。 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 (2)常见的5种幂函数的图像 在(-∞，0 在（一∞， yy= 在R上 上单调递 在R上 在[0，十∞) 0)和(0， 单调性 单调 减，在[0 典 调 上单调 十∞)上单 递增 十∞)上单 递增 递增 调递诚 调递增 公共点 (1,1) 54·