第2章 第5节 对数与对数函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以题载法构建对数与对数函数完整知识体系，通过基础到提升的层级设计培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数运算|1-2题|对数运算法则与换底公式应用|从定义到性质构建运算体系| |函数性质|3-4、6题|图像特征分析与单调性应用|概念生成→性质推导→综合应用| |实际应用|5题|数学建模与数据处理|实际问题→数学抽象→模型求解| |综合提升|7-14题|分类讨论与转化化归|知识整合→方法迁移→创新应用|

课时冲关12　对数与对数函数 学生用书　P288 [基础训练组] 1．(2024·北京市模拟)log2＋log26等于(　　 ) A．1　　 B．2　　 C．5　　 D．6 解析：B　[原式＝log2＝log222＝2.] 2．若实数a，b满足a＞b＞1，m＝loga(logab)，n＝(logab)2，l＝logab2，则m，n，l的大小关系为(　　 ) A．m＞l＞n　　　　 B．l＞n＞m C．n＞l＞m D．l＞m＞n 解析：B　[∵实数a，b满足a＞b＞1，∴0＝loga1＜logab＜logaa＝1， ∴m＝loga(logab)＜loga1＝0,0＜n＝(logab)2＜1，l＝logab2＝2logab>n＝(logab)2. ∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m.] 3．(2024·安徽安庆校考模拟)函数f(x)＝log2 2x与g(x)＝2－x在同一直角坐标系下的图象大致是(　　) 解析：B　[∵f(x)＝log22x＝1＋log2x，为定义域上的增函数，∴f(1)＝1，故A不成立；∵g(x)＝2－x为定义域上的增函数，∴A，C错误；∴g(0)＝2－0＝1，故D错误；只有B相符．] 4．(2024·成都一诊)设f(x)＝|ln(x＋1)|，已知f(a)＝f(b)(a＜b)，则(　　 ) A．a＋b＞0 B．a＋b＞1 C．2a＋b＞0 D．2a＋b＞1 解析：A　[作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图像如图所示， 由f(a)＝f(b)， 得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)， 即ab＋a＋b＝0. 所以0＝ab＋a＋b＜＋a＋b， 即(a＋b)(a＋b＋4)＞0， 显然－1＜a＜0，b＞0， ∴a＋b＋4＞0，∴a＋b＞0.] 5．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A.　　　B.　　　C.　　 D．2 解析：B　[根据题意可得C＝20n×20，C＝30n×10，两式相比得＝1，即n＝，所以n＝log＝log2＝＝≈＝.] 6．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　) A．f(x)在(2,6)上单调递增 B．f(x)在(2,6)上的最大值为2 ln 2 C．f(x)在(2,6)上单调递减 D．y＝f(x)的图像关于直线x＝4对称 解析：BD　[f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图像的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图像关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2.] 7．已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________. 解析：f(－x)＝ln (＋x)＋1(x∈R)， f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ln (＋x)＋1＝ln (1＋x2－x2)＋2＝2， ∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2. 答案：－2 8．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________． 解析：因为函数y＝ax与y＝logax在[1,2]上的单调性相同，所以函数f(x)＝ax＋logax在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝(a＋loga1)＋(a2＋loga2)＝a＋a2＋loga2＝loga2＋6，故a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)． 答案：2 9．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________． 解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜，当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是增函数，由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，且8－2a＞0，故不存在实数a满足题意． 综上可知，实数a的取值范围是. 答案： 10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)， 且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)， ∴a＝2. 由得x∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x) ＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. [能力提升组] 11．设a＝log2 023，b＝ln ，c＝，则a，b，c，的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解析：C　[因为a＝log2 023＝log2 0232 024＞log2 0232 023＝，且a＝log2 024＜log2 0232 023＝1，b＝ln ＝ ln 2＜ ln e＝，c＝＞2 0240＝1，所以c＞a＞b.] 12．设a＝lg 2，b＝lg 5，则10a＝________，2a·2b＝________. 解析：由题意知10a＝10lg 2＝2,2a·2b＝2a＋b＝2lg 2＋lg 5＝2lg 10＝2. 答案：2　2 13．(2024·潍坊市模拟)函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝2且f(x)在R上的导数f′(x)满足f′(x)－3＞0，则不等式f(log3x)＜3log3x－1的解集为________． 解析：令g(x)＝f(x)－3x， 则g′(x)＝f′(x)－3＞0， 可得g(x)在R上递增． 由f(1)＝2，得g(1)＝f(1)－3＝－1， f(log3x)＜3log3x－1，即g(log3x)＜g(1)， 故log3x＜1，解得0＜x＜3. 答案：(0,3) 14．已知函数f(x)＝ln. (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln＞ln 恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f(－x)＝ln＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)＝ln 是奇函数． (2)由x∈[2,6]时，f(x)＝ln ＞ ln 恒成立． ∴＞＞0，∵x∈[2,6]， ∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上成立． 令g(x)＝(x＋1)(7－x) ＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]， 由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减， x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7. 即实数m的取值范围为(0,7)． 5 学科网（北京）股份有限公司 $