第二章 第4节 指数与指数函数（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 即f(-2+x)=f[-(2+x)], 所以函数f(x)在x∈[0,2]上是减函数， 又f(x十2)=f(x-2), 又因为f(x)为偶函数， 所以f(2十x)=f儿-(2十x)], 所以f(x)在区间[一2,0]上单调递增，故D错误.] 所以f(x)=f(-x), 规律总结 所以f(x)为偶函数，故A正确； 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 当xe[0,2]时，f(x)= ) 一x, (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及 f(2023)=f(-1+4×506)=f(-1)=f(1)= 奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性 号故B错误： (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问 题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函 因为f(x)为偶函数且f(x)的图像关于直线x= 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域 一2对称， 所以f(x)的图像关于直线x=2对称，故C正确； 内求解 (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通 因为当x[0,2]时x)=(行) 常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后 而函数y y=-x在x∈[0,2]都是减 利用奇偶性和单调性求解， 函数， 第4节 指数与指数函数 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 幂的运算性质、指数 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景. 1.根式与有理数指数幂的运 函数的图像和性质是高考 2.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数算，提升数学运算素养 命题的热点，往往与其他 指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.指数函数的图像及应用，达 函数相结合考查，如：图像 3.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计成直观想象和逻辑推理 算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数 的识别与应用，利用单调 素养 性比较大小，解不等式，求 函数的单调性与特殊点」 3.指数函数的性质及应用，发 参数的取值范围等.主要 4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是 展逻辑推理和数学运算 以选择题、填空题形式出 一类重要的函数模型 素养 现，属于中低档题 夯实必备知识 对应学生用书P37 教材夯实强基固本 必备知识 ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 1.有理指数幂 a.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇 (1)一般地，a”中的a称为底数，n称为指数. 数次方根是一个负数. (2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a,如果存 (3)当Wa有意义的时候，Wa称为根式，n称为根指数，a 在实数x,使得x”=a,则x称为a的n次方根. 称为被开方数。 ①0的任意正整数次方根均为0，记为6=0. 一般地，根式具有以下性质： ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数， ①(a)”=a.②a-4,当n为奇数时， 其中正的方根称为a的n次算术根，记为a,负的 a,当n为偶数时. 方根记为一a;负数的偶数次方根在实数范围内 (4)一般地，如果n是正整数，那么：当a有意义时，规 不存在 定a=a;当a没有意义时，称a没有意义. ·45· 高考总复习人教数学B版（新教材） 对于一般的正分数严，也可作类似规定，即a” 自主诊断 ◆[思考辨析] (a)”=a.但值得注意的是，这个式子在不 n 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 是既约分数（即m,n有大于1的公因数）时可能 打“/”，错误的打“X” 会有歧义. (1)a"与(a)"都等于a(n∈N+). 负分数指数幂：若s是正分数，a'有意义且a≠0 (2)2.2=2 时，规定a=1 (3)函数y=3·2与y=2+1都不是指数函数. ( (5)有理指数幂的运算法则：aa=a+,(a)=a“, (ab)'=a'b'. (4)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). 2.实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，a都是一个确定 (5)函数y=2在R上为单调减函数. 的实数.因此，当a>0时，t为任意实数时，可以认 答案：(1)×(2)×(3)/(4)×(5)/ 为实数指数幂a‘都有意义. ◆[小题查验] 3.指数函数及其性质 1.(教材改编)化简[（一2）6门一（一1）°的结果为 (1)概念：函数y=a(a>0且a≠1)称为指数函数，其 ( 中指数x是自变量，函数的定义域是R,a是 A.-9 B.7 C.-10 D.9 底数 解析：B[原式=(2)-1=8-1=7.] (2)指数函数的图像与性质 2.在同一坐标系中，函数y=2与y= 的图像 a>1 0<a<1 之间的关系是 ty A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 图像 (0,1) (0,1) C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 .y= …y=1 解析：A [y= =2, 定义域 R .它与函数y=2的图像关于y轴对称.门 值域 (0,+∞) 3.已知函数y=a·2和y=2+都是指数函数，则a 十b等于 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 A.不确定 B.0 当x<0时，y>1: 当x>0时，y>1 C.1 D.2 当x>0时， 性质 当x<0时，0<y<1 答案：C 0<y<1 4.(2023·天津卷，3)若a=1.01°.5，b=1.01.6,c=0. 在(-∞，十∞)上是 在(-∞，十∞) 6.5,则a,b,c的大小关系为 增函数 上是减函数 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 重要结论 解析：D[由y=1.01在R上递增， 1.(a)"=a(n∈N+). 则a=1.01°.5<b=1.01.6, 「a,n为奇数， 由y=x05在(0，+o∞)上递增，则a=1.015>c 2.a 1a,a≥0，n为偶数. 0.6a5.所以b>a>c.] a -a,a<0, 5.若指数函数f(x)=a(a>0,且a≠1)在[-1,1]上 3.底数a的大小决定了图像相对位置的高低，不论是 的最大值为2，则a= a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大，函数 图像越高 答案：2或7 46· 第二章函数、导数及其应用 跃升，关键能力 对应学生用书P38 层级突破素养提升 专点1)根式与有理数指数幂的运算（基础点） (2)(2024·长春市模拟)若存在正数x使2(x一 a)<1成立，则a的取值范围是 1.化简4a·b÷-号a)的结果为 ( A.(-∞，十∞) B.(-2,+∞) A品 B一 C.(0,+∞) D.(-1,+∞) C.a 核心素养 D.-6ab 直观想象一 函数图像在不等式中的具体应用 解析：C 原式=-6a+片b寸号=-6ab1= 6 信息提取 信息解读 直观想象 2.化简() .(V4ab T) (a>0,b>0) (0.1)1·(a3.b3) 存在 存在正数x,即x>0,体现 将不等式2r(x一a)<1变 正数x 在图像上就是y轴的右侧 形为一a<(）)广 解析：原式=2×2·a·b 10…a.6-2+X101= 8 题干给出的不等式2(x a)<1不易求解，可转化为 答案： 8 两个基本初等函数构成不 画插y=(合)）广的图像 等式x-a<(分) 3.计算： 2r(x-a） 8 +0.002立-10(5-2)1+x° <1成立 考虑利用初等函数的图像 画出直线y=x一a的图 解决，即转化为直线y=x 像，满足在y轴的右侧，有 -a在(0，十o∞)上，有一部 解析：原式= +500 10(W5+2) 部分在曲线y= (5-2)(5+2) 分在曲线y= ()的 (2)广的下方 +1 下方 号+105-105-20+1= 167 根据在同一平面直角坐标 求a的 观察图像，写出满足的条 系内直线y=x-a与y 答案：一167 取值 9 件，即可求得结果 范围 (侵）广的图像，列出有 题后反思 关a的不等式，求得结果 指数幂运算的一般原则 [解析] D (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 [第一步 将不等 2 运算. 式2r(x-a)<1变形为两个 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 基本初等函数构成的不等式 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成 不等式2r(x-a)<1可变形 分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 为x a<( 式表示，运用指数幂的运算性质来解答. 第二步 画出函数y 与y=x一a的图像 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数 在同一平面直角坐标系内作出直线y=x一a与y 专点2)指数函数的图像及应用（综合点） -位) 的图像.由题意，在(0，十∞)上，直线有一 [典例](1)函数f(.x)=1-e的图像大致是 部分在曲线的下方 第三步观察图像，列出有关a满足的条件 亦六打 观察可知，有-a<1,所以a>一1.] (3)(2024·衡水市模拟)若曲线|y|=2+1与直 线y=b没有公共点，则b的取值范围是 [解析]A[将函数解析式与图像对比分析， [解析]曲线|y|=2十1与直线y=b的图像如 因为函数f(x)=1一e是偶函数，且值域是 (一∞，0]，只有A满足上述两个性质.] 图所示，由图像可得：如果|y=2+1与直线y=b 没有公共点，则b应满足的条件是b∈[-1,1]. ·47· 高考总复习人教数学B版（新教材） y y=2+1 跟踪训练 -y=b 1.函数y=a-1(a>0,且a≠1)的图像可能是 a y=-2 [答案][-1,1] O[互动探究] 1.若将本例(3)中“|y=2十1”改为“y=2-1|” 且与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围是 解析：曲线y=|2一1与直线y V+ =b的图像如图所示，由图像可 得，如果曲线y=2一1|与直线 y=b有两个公共，点，则b的取值 1 范围是(0,1). 答案：(0,1) D 2.若将本例(3)改为：函数y=|2-1在(-∞，k]上 单调递减，则的取值范围是 解析：D[法一：当a>1时，函数y=a-工是增 解析：因为函数y=|2一1|的单调递减区间为 函数，且其图像过点（一1,0），排除A,B项，当0<a (一∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为（一∞，0]. 答案：(-∞，0] <1时，函数y=4'一上是减函数，且其图像可视为 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y=a-1|(a> 0且a≠1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是 是由函数y=Q的图像向下平移】个单位长度得 解析：y=|a-1|的图像是由y=a先向下平移1 到的，结合各选项知选D. 个单位，再将x轴下方的图像沿x轴翻折过来得 到的. 法二：因为函数y=a-上(a>0,且4≠1)的图像 a 当a>1时，两图像只有一个交点，不合题意，如图 必过点（一1,0），所以选D.] (1)； 2.方程2=2-x的解的个数是 当0<a<1时，要使两个图像有两个交点，则0< 解析：方程的解可看作函数y=2和y=2一x的图 2a<1,得到0<a<2,如图(2). 像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像（如图 y-2a 所示) 图(1) 图(2) y=2-x 综上，a的取位范周是(0，号) 由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解， 答案：0） 答案：1 方法指导 专点3)指数函数的性质及应用（应用点） 指数函数图像可解决的两类热点问题及思路 ◆[命题角度1]比较指数式的大小 (1)求解指数型函数的图像与性质问题 1.(2024·海南统考)下列大小关系不正确的是 对指数型函数的图像与性质问题（单调性、最 值，大小比较、零点等)的求解往往利用相应指 数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图 A.(-2.5)>(-2.5)3 <(0.4) 像，然后数形结合使问题得解. (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用 c.)<() D.2.516>20.2 相应指数型函数图像数形结合求解 易错警示：应用指数函数的图像解决指数方程、 [解析]C[A选项，(-2.5)=(2.5)寺，(-2.5) 不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出图 像的准确性，否则数形结合得到的可能为错误 =(2.5).国为2.5>1，>号又周为指数函数y 结论。 =2.5在R上单调递增，所以(2.5)>(2.5)，即 ·48· 第二章函数、导数及其应用 (-2.5)>(-2.5),故A正确；B选项，(0.4) 又由f(x)为偶函数，故f(x)在（一∞，0）上单调递 增，所以C正确； =(号)，周为0<号<1，->-又因为指 ④由D知，f)=+。之当<0，<0 x 敦画数y=()在R上单调递减，所以 e+1>0,e-1<0, 故此时f(x)>0.故D正确.] (0.4)号，故B正确；C选项，因为( 4r+3 4.已知函数f(x) () <1,所以)>（侵 ,故C错误；D (1)若a=-1,求f(x)的单调区间： 选项，因为2.516>1,202<1，所以2.56>20.2」 (2)若f(x)有最大值3，求a的值； 故D正确.] (3)若f(x)的值域是(0，十∞)，求a的值. ◆[命题角度2]简单的指数方程或不等式的应用 [思路导引门(1)遵循“同增异减”法则求f(x)的 2.(2024·济宁期末)若2-2'<3-3’，则( 单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以g(x)应 A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 有最小值-1，由此可求出a的值；(3)要使f(x)的 C.Inlx-yl>0 D.Inla-yl<0 值域为(0，十∞)，应使g(x)=a.x2-4x十3的值域 解析：A[2-2'<3-3'→2-3<2”-3’ 为R,由此可求出a的值. -4x+3 解：(1)当a=-1时，f(x) 设fx)=2- ,易知fx)是定又在R上的指品 令g(x)=-x2-4x+3, 数，故由2-<2一可得<,所以y>0 由于g(x)在(-o∞，-2)上单调递增，在(-2， +∞)上单调递减，而y= 1 (3 在R上单调递减， →y-x+1>1,从而ln(y-x+1)>0.] ◆[命题角度3]探究指数型函数的性质 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在（一2， 十o∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是 3.(多选)关于函数f(x)= (+2 下列结论 (一2，十∞)，单调递减区间是（一∞，一2）. 正确的是 ②0令g()=ax=4+3,{） A.图像关于y轴对称 B.图像关于原点对称 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值-1， C.在(-∞，0)上单调递增 ,a>0, D.f(x)恒大于0 因此必有 3a-4 一1， 解析：ACD [品数f)=(+。)定文战为 a 解得a=1,即当f(.x)有最大值3时，a的值等于1. (-o∞，0)U(0,+∞)， (3)由指数函数的性质知， g() 要使y= 的值域为(0，十∞)， f(-x)=1.e+1=-1 .1十e 应使g(x)=ax2-4x十3的值域为R, -x e-1 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函 e+1=f(x), 数，其值域不可能为R).故a的值为0. e'-1 规律总结 故函数f(x)为偶函数，所以A正确； 指数函数的性质及应用问题解题策略 ②由①知，函数f(x)为偶函数，所以B不正确； (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中 ③当>0时y=>0,且y=1在(0，十∞)单调 间值(0或1)法. 递减， (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此 当x0时=1+2>0， 类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意 底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论. 2在(0，十∞)单调递减， 且y=1+。-1作 (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的 概念和性质同函数的其他性质（如奇偶性、周期 性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对 底数的分类讨论， 递减， ·49·