第一章 第3节 等式与方程(组)的解集（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

高考总复习人教数学B版（新教材） A≤f(x)mm=2√2， 方法指导 故实数入的取值范围为（一©∞，2√2].] 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， ②已知f)=hr+1Dg)=(合)月 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决. 一m,若 对V1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(x1)≥ 跟踪训练 g(x2),则实数m的取值范围是 [解析]当x∈[0,3]时，f(x)m=f(0)=0,当x 1已知命题“3x,∈R,使2+(a-1,+号<0”是 ∈[1,2]时ga)n=g(2)=是-m,由f)≥ 假命题，则实数a的取值范围是 A.(-∞，-1) B.(-1,3) g(x)min,得0≥ -m,所以m≥1 C.(-3,+∞) D.(-3,1) 解析：B[原命题的否定为Hx∈R,2x2+(a-1)x [答案] 十>0，由题意知，其为真命题，即4=(a一1D-4X 。[互动探究] 若将本例(2)中“x2∈[1,2]”改为“Vx2∈ 2x号0.则-2a-1<2,即-1<a<3.] [1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围是 2.若命题“对Vx∈R,kx2-kx一1<0”是真命题，则k 的取值范围是 2m, 解析：当x∈[1,2]时，g(x)mx=g(1)= 解析：“对Vx∈R,kx2一kx一1<0”是真命题，当k 由f(x)mn≥g(x)nx,得0≥号 -m,m≥ =0时，则有一1<0；当k≠0时，则有k<0且△= 2 (一)2-4XkX(-1)=k2+4k<0,解得-4<k< 答案：[+∞ 0,综上所述，实数的取值范围是（一4,0]. 答案：（一4,0] 第3节 等式与方程（组）的解集 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 等式的性质及常用的恒等 1.掌握等式的性质及常用的恒等式。 1.等式的性质及常用的恒等式，可达 式，一元二次方程的解集及其 2.从函数观点看一元二次方程，会结合 成逻辑推理和数学运算的核心 根与系数的关系，解二元二次 一元二次函数的图像，判断一元二次 素养. 方程组，这三部分内容作为学 方程实根的存在性及实根的个数，了2.一元二次方程的解集及其根与系 习其他知识的基础和工具，高 解函数的零点与方程根的关系. 数的关系，可提升直观想象的核心 3.会用代入消元法或加减消元法解二元 素养 考一般不单独命题，通常与解 不等式，函数，数列，解析几何 一次方程组，能灵活解二元二次方3.解二元二次方程组，培养数学运算 的核心素养 等知识相结合，考查数学运算 程组 及数形结合思想 夯实必备知识 对应学生用书P8 教材夯实强基固本 必备知识 2.恒等式 1.等式的性质 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍 实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两 成立， 边恒等 用公式表示为：如果a=b,则对任意c,都有a十c =b+c; 3.方程的解集 (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数 方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未 式，等式仍成立. 知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合 用公式表示为：如果a=b,则对任意不为零的c, 称为这个方程的解集。 都有ac=bc. ·10 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 4.b2-4ac(△)的取值与根的个数间的关系 (3)a2+8ab-33b2=(a+3b)(a-11b). b2-4ac(△) 根的情况 3.x-2y+7=0 (4)方程组 之十5=0的解集为一1,21. 方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个不 ( b2-4ac>0 相等的实数根，即x1= (5)关于x的一元二次方程3x2+4x-5=0有两个 -b+√6-4ac -b-√b-4ac 不相等的实数根. ( 2 2a 2a 答案：(1)× (2)√ (3)×(4)×(5)/ ◆[小题查验] 方程ax2十b.x十c=0(a≠0)有两个 1.若4x2-3(a-2)x+25是完全平方式，则a的值为 b2-4ac=0 相等的实数根，即x1=x2= 6 () A号 9 b2-4ac<0 方程a.x2+bx+c=0(a≠0)无实 D.不存在 数根 c兰或9 解析：.C[因为4x2-3(a-2)x十25=(2x)2-3(a 5.一元二次方程根与系数的关系 2)x+(±5)2=(2x±5)2， 若x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的 即4.x2-3(a-2)x+25=(2x+5)2或4x2-3(a 两个根，则x十x,= 2)x+25=(2x-5)2. a= a 所以-3(a-2)=20或-3(a-2)=-20.解得a= 6.方程组的解集 方程组中，由两个方程的解集得到的交集称为这个 方程组的解集。 2.若代数式x2-6.x+5的值是12，则x的值为 解方程组常用的方法：(1)加减消元，(2)代入消元. 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程 A.7或-1 B.1或-5 组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一 C.-1或-5 D.不能确定 些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未 解析：A[由题意得x2-6x十5=12，x2-6.x十5一 知数表示出来。 12=0,x2-6x-7=0,x=6±/36+28 重要结论 解得x1=-1,x2=7.] 1.常用的恒等式： (1)a2-b2=(a十b)(a-b)(平方差公式)； 3.方程组-x 1a+y2=2的解集是 (2)(x十y)2=x2+2xy十y2(两数和的平方公式)； A.(±1，±1) B.{(±1，±1)} (3)(a+b)c=ac+bc; C.{(-1,-1),(1,1)} D.(-1,-1),(1,1) (4)t3+1=(t+1)(t2-1+1). 解析：C [fy=x 2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下 {x2+y2=2 起①代入②得2x ① 变形： =2,.x2=1,.x=1y=1或x=-1,y=-1.] (1)x+x号=(x+2x1x2十x2)-2x1x2=(x1十x2) 4.已知一元二次方程x2一2.x一1=0的两根分别为 -2x1x2 则十 （2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2； 解析：因为x1,x2是方程x2-2x-1=0的两个根， (3)lx1-c2=√(x1-x2)=√(1十x2)-4xx2 (4)1+1=西十2 所以x1十2=2，x1x2=-1,所以1十1=十 XI T2 T1T2 IT? -2 (5)+1=+x_(红+x)2-2xx 答案：一2 TIT2 ,x十y-之=0，① 5.方程组y十之-x=7,②的解集为 自主诊断 (z+x-y=9③ ◆[思考辨析] 解析：①+②+③得x十y+z=16④ 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 ④-①，得=8；④-②，得x=4.5; 打“√”，错误的打“×”. ④-③，得y-3.5. (1)一元二次方程的解集中一定有两个元素。( 所以原方程组的解集为{(4.5,3.5,8)}. (2)t3-1=(t-1)(t2+t+1). ( 答案：{(4.5,3.5,8)} ·11· 高考总复习人教数学B版（新教材） 跃升~关键能力 对应学生用书P9 层级突破素养提升 春点1) 等式的性质与方程的解集 题后反思 ◆[命题角度1门用因式分解法解一元二次方程 解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到， 用因式分解法求下列方程的解集： 要根据方程的形式灵活安排求解步骤. (1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数， 注意根据分数的基本性质，分子、分母必须同时扩 (2)(x-3)2+2x-6=0; 大同样的倍数. (3)9(2.x+3)2-4(2x-5)2=0. (2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意 括号外的系数及符号 所以2=0，=受所以该方程的解条为0，受} 跟踪训练 (2)(x-3)2+2(x-3)=0,(x-3)(x-3+2)=0, 所以x-3=0或x-1=0,所以x1=3,x2=1, 如架方程兮一8=一生子的解第与方程一(8心 所以该方程的解集为{3,1}. +1)=6x+2a-1的解袋相同.求式了a一的值. (3)[3(2x+3)+2(2x-5)][3(2x+3)-2(2x- 5)]=0, 解：解方程，4-8=-十2 3 2 所以(10x-1)(2x+19)=0,所以10x-1=0或2x 去分母，得2(x-4)-48=-3(x十2)， +19=0, 去括号，得2x-8-48=-3x-6, 所以西=品，=一号所以滨方程的解类 移项、合并同类项，得5x=50,系数化为1，得x 为品》 =10. 把x=10代入方程4x-(3a十1)=6.x+2a-1, 题后反思 得4×10-(3a+1)=6×10+2a-1,解得a=-4. 用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0； 当a=-4时，a- (2)将方程的左边分解为两个一次因式的积； 春点2一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再 求解 ◆[命题角度1]方程根个数的判断及应用 提醒：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇 [典例1] 若关于x的不等式，一号<1的解为x< 到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约 去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式， 1,试判断关于x的一元二次方程.x2十ax十1=0的 若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次 根的情况。 方程，应灵活根据方程的特点分解因式· [解]解不等式x受<1，得x<1十受，而不等式 ◆[命题角度2]一元一次方程的解集 [典例]求下列方程的解集： 上一号<1的解为<1.所以1+号=1，解得a=0, (1)4-3(10-y)=5y; 所以一元二次方程的根的判别式△=a2一4=一4 (2)2r1-2+1-1. 3 6 <0,所以关于x的一元二次方程x2十a.x十1=0没 [解](1)去括号，得4-30十3y=5y.移项，得3y 有实数根 -5y=30-4. 方法指导 合并同类项，得-2y=26.系数化为1，得y=一13. 对于一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)，有 所以该方程的解集为{-13}. (2)去分母，得2(2x-1)=(2x十1)-6. (1)当△>0时，方程有两个不相等的实数根x1.2 去括号，得4x-2=2x十1-6. -b±√b2-4ac 移项，得4x一2x-1一6十2.合并同类项，得2x=一3. 2a 系鼓化为1，得x=一多所以该方程的解条 (2)当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2 为{} (3)当△<0时，方程没有实数根. ·12. 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 日跟踪训练 x1十x2 k+1 2 1.已知关于x的一元二次方程3x2-2x十k=0,根据 (2)设x1,x2为方程的两个根，则 下列条件，分别求出的范围 1x2 k+3 2 (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根. k+1 |x1-x2|=1, 2 2(k十3)=1，k=9或 解：△=(-2)2-4×3k=4(1-3k). k=-3. (1)因为方程有两个不相等的实数根， 检验当k=9或k=一3时，A≥0成立. 所以△>0，即4(1-3k)>0,所以k<号 3 答案：(1)C(2)-3或9 (2)因为方程有两个相等的实数根， 吉点3 方程组的解集 所以4=0，即41-3)=0，所以6=号 [典例] (1)解方程组 =音 3 ① ◆[命题角度2]应用根与系数的关系求字母系数 (x-y+2x=18. ② 的值或范围 [典例2】已知关于x的方程x2-(k+1)x+2+ [解] 设二=义=兰=k(k为常数，k≠0)， 34 则x=3k,y=4k,2=5k. 1=0,根据下列条件，求出k的值. 将它们代入②中，得3k-4k十10k=18,解得k=2. (1)方程两实根的积为5； 所以x=6,y=8,之=10， (2)方程的两实根x1,x2,满足x1=x2 所以原方程组的解集为{(6,8,10)}. [解]=[-+1D-4×(+1)2-3 (2)求方程组2+y=5, ① 的解集， 4≥0，k>3 y=x+1 ② [解]将②代入①，整理得x2十x-2=0,解得x= (1)设方程的两个根为x1x21x2=二k2+1=5 1或x=-2. 4 利用②可知，x=1时，y=2;x=-2时，y=一1. k2=16,k=4或k=-4(舍). 所以原方程组的解集为{(1,2)，（一2，一1）}. (2)0若x≥0，则=4=0，k= (3)解方程组3y一y=0, ① 方红为受管-号0浅视 25 1x2+4xy+4y2=1. ② [解]由①得(x-4y)(x十y)=0, ②若x1<0,则x1十x2=0,即k十1=0，k=-1. 所以x-4y=0或x+y=0, 与≥是不特， 由②得(.x十2y)2=1,所以x十2y=1或x+2y=-1. 原方程可化为以下四个方程组： 所以1所以=是 x-4y=0,x-4y=0,(x+y=0,1x+y=0, 题后反思 {x+2y=1,{x+2y=-1,{x+2y=1,{x+2y=-1 利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值 解这四个方程组，得原方程组的四个解是： 2 时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即 x1一31 x2= 、2 3’（x3=一1，x4=1, △≥0. 1.y3=1,1y4=-1 跟踪训练 y1=6y= 6 2.(1)关于x的方程x2-(m十6)x十m=0有两个相 所以方程组的解集为 等的实数根，且满足x1十x2=x1x2,则m的值是 {号-(-号)(-11,1} A.-2或3 B.3 题后反思 C.-2 D.-3或2 1.消元法解三元一次方程组的两个注意点 (2)已知方程2.x2-(k+1)x+k+3=0的两根之差 (1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般 为1，则k的值为 选择消去后可以使计算量相对较小的未知数. 解析：(1)：x1十x2=m+6,x1x2=m2,x1+x2 (2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不 =C1x2 到消元的目的. .m十6=m2,解得m=3或m=-2. 2.有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数 ,方程x2一(m十6)x十m2=0有两个相等的实 数根， 解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别 .△=b2-4ac=[-(m+6)]2-4m2=-3m2+12m 式来判断. +36=0, 3.解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转 解得m=6或m=-2..m=一2. 化的方法是“降次”“消元”. ·13· 高考总复习人教数学B版（新教材） 日跟踪训练 I1= 39 所以原方程组的解是 1x2=3, 1.用适当的方法解方程组： 71y2=-1. 3(x+y)-4(x-y)=4, ① 3 x十y+-1 ② 2 ,(3,-1)} 6 所以方程组的解桑为仔一 3 解：由②X6,得3(x+y)+(x-y)=6.③ 方法二 由①得(x十y)2=4,即x十y=2或x+y =-2. 0-0得50ry)=2.即x-y=号 原方程组转化为十=2：或+)=一2， 起x-y=音代入国，得x十y器 1x-2y=5.1x-2y=5. 1 x2一3' 28 x十y一15' 7 解得13， x一15 y1=-1, 解方程组 得 3· 11 x-y= 6, =15 所以方程组的解集为{-)3-1} 所以原方程组的解集为 3.解方程组y-1, {(x-y)2-2(x-y)-3=0. ② ① 解：由②得(x-y-3)(x-y十1)=0.所以x-y-3 2.解方程组 2+2xy+y2=4, x-2y=5. ② =0或x-y+1=0. 解：方法一由②得x=2y十5③ 所以原方程组可化为两个方程组： 将③代入①，得(2y+5)2+2y(2y+5)+y2=4. 2-y=1,x2-y2=1, {x-y-3=0,{x-y+1=0. 整理，得3y+10y十7=0.解得1=-子 3 用代入消元法解方程组，分别 5 y2=-1. x1= 得 3 x2=-1, 把为= 号代入国，得x=日起为=-1代入 4 3y1 y2=0. ③，得x2=3. 所以原方程担的郑集为（得一号）（一10} 第4节 不等式及其性质 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.用不等式（组）表示不等关系，达成数学 不等关系、不等式的性质及应 1.了解现实世界和日常生活中 建模素养 用是高考的热点，高考中常以不等 的不等关系 2.比较两个数（式）的大小，发展逻辑推理式、不等关系为载体考查充要条件 2.了解不等式（组）的实际 背景 和数学运算素养 问题，有时以新概念（定义）比较两 3.不等式的性质及应用，提升逻辑推理和个数的大小，题型多以选择题为主， 3.掌握不等式的性质及应用 数学运算素养 题目难度不会太大 夯实>必备知识 对应学生用书P12 教材夯实强基固本 必备知识 2.不等式的性质 1.比较实数a,b的大小 性质1：如果a>b,那么a+c>b+c. 性质2：如果a>b,c>0,那么ac>bc. (1)文字叙述 性质3：如果a>b,c<0,那么ac≤bc. 如果a一b是正数，那么a>b;如果a一b等于零， 性质4：如果a>b,b>c,那么a>c.(传递性) 那么a=b;如果a一b是负数，那么a<b,反过来 性质5：如果a>b,则b<a;反之如果b<a,则a>b. 也对. 推论1：如果a十b>c,则a≥c一b.(不等式的移项 (2)符号表示 法则) a-b>0台a>b;a-b=0台a三b;a-b<0台 推论2：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(同向 a <b. 可加性) ·14