第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性与周期性”核心考点，依据新课标要求梳理概念、图像及应用，对接高考评价体系，明确周期性应用、奇偶性判断与参数求解等高频考点，归纳选择、填空及解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，通过2023新课标II卷等真题实例，运用定义法、周期性转化等方法，培养逻辑推理和数学运算素养，助力学生掌握性质综合应用技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第3节 函数的奇偶性与周期性 第二章 函数、导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 02 课后 素养提能 03 夯实 必备知识 01 第二章 函数、导数及其用应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 高考总复习 人教数学B版（新教材） 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 4．会运用函数的图像理解和研究函数的周期性 1.判断函数的奇偶性，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．函数奇偶性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养． 3．函数周期性的应用，发展数学抽象和逻辑推理素养． 4．函数基本性质的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图像、单调性、对称性、零点等知识交汇命题，函数的周期性也经常会涉及到三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大．本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度不会太大，属于低中档题，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数 关于　y轴　对称 奇函数 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)是奇函数 关于　原点　对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有　f(x＋T)＝f(x)　，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中　存在一个最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的　最小　正周期． 1．函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　 ) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．(　　 ) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　 ) (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　 ) (5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　　 ) (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 020)＝0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ ◆[小题查验] 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　 ) A．－eq \f(1,3)　　　 B.eq \f(1,3)　　　 C.eq \f(1,2)　　 D．－eq \f(1,2) 解析：B　[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝eq \f(1,3)，则a＋b＝eq \f(1,3).] 2．(教材改编)若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 答案：A 3．已知函数f(x)＝x5＋ax3＋eq \f(b,x)＋2且f(2 024)＝6，则f(－2 024)的值为　______　. 解析：由题意，在f(x)＝x5＋ax3＋eq \f(b,x)＋2中， f(－x)＝－x5－ax3－eq \f(b,x)＋2， 所以f(x)＋f(－x)＝4. 因为f(2 024)＝6，所以f(－2 024)＝4－f(2 024)＝4－6＝－2. 答案：－2 4．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝　________　. 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12. 答案：12 5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为　________　. 解析：由图像可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数， ∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 答案：(－2,0)∪(2,5] 判断函数的奇偶性(基础点) 1．(2024·太原市模拟)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　 ) A．y＝ex＋e－x　　　　　　 B．y＝ln(|x|＋1) C．y＝eq \f(sin x,|x|) D．y＝x－eq \f(1,x) 解析：D　[A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数．D选项是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．] 2．已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 023，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＋2 023是偶函数 D．f(x)＋2 023是奇函数 解析：D　[由题意，在函数f(x)中，f(x＋y)－[f(x)＋f(y)]＝2 023，当x＝y＝0时，f(0)－[f(0)＋f(0)]＝2 023，解得：f(0)＝－2 023，B错误；当y＝－x时，f(0)－[f(x)＋f(－x)]＝2 023，解得：f(x)＋f(－x)＝－4 046，但无法得到f(x)＝f(－x)，故A错误；在函数f(x)＋2 023中，f(0)＋2 023＝0，f(x)＋2 023＋f(－x)＋2 023＝0，∴f(x)＋2 023是奇函数，C错误，D正确．] 3．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)； (2)f(x)＝eq \f(lg 1－x2,|x－2|－2)； (3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.)) 解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)， 即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}， 从而f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝eq \f(lg1－x2,－x). 又∵f(－x)＝eq \f(lg[1－－x2],－x)＝－eq \f(lg1－x2,x)＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法： 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． (2)图像法： (3)性质法： 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 函数奇偶性的应用(应用点) ◆[命题角度1]　利用奇偶性求函数值　 1．(2024·潍坊市模拟)若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log3x－2，x>0,gx，x<0))为奇函数，则f(g(－3))＝(　　 ) A．－3　　 B．－2　　 C．－1　　 D．0 [解析]　B　[法一：∵函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log3x－2，x>0,gx，x<0))为奇函数，∴g(－3)＝－f(3)＝－(log33－2)＝1， ∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B. 法二：当x<0时，－x>0，f(－x)＝log3(－x)－2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－log3(－x)＋2， 即g(x)＝－log3(－x)＋2， ∴g(－3)＝－log33＋2＝1， ∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.故选B.] ◆[命题角度2]　利用奇偶性求参数值　 2．(2023·新课标Ⅱ卷，4)若f(x)＝(x＋a)lneq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A．－1　 B．0　　 C.eq \f(1,2)　 D．1 [解析]　B　[由题意知g(x)＝lneq \f(2x－1,2x＋1)是奇函数，而f(x)＝(x＋a)g(x)为偶函数，有f(－x)＝(－x＋a)g(－x)＝－(－x＋a)g(x)＝(x＋a)g(x)＝f(x)，故x－a＝x＋a，则a＝0.] ◆[命题角度3]　利用奇偶性求解析式　 3．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 解析：D　[当x<0时，－x>0， ∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.] ◆[命题角度4]　利用奇偶性的图像特征解不等式　 [典例]　已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图像如图所示，求不等式eq \f(fx,gx)＜0的解集． 核心素养 逻辑推理——函数图像与性质在函数中具体应用的核心素养 信息提取 信息解读 逻辑推理 y＝f(x)是偶函数 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称 解分式不等式eq \f(fx,gx)＜0⇔f(x)· g(x) ＜0⇔x∈[0,3]时，由图像直接判断； x∈[－3,0]时，根据奇偶性补全图像后判断取并集，得到分式不等式的解集 y＝g(x)是奇函数 定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图像如图所示 题干已给出x∈[0,3]上的图像，可根据奇偶性的图像特征补上x∈[－3,0]上的图像 不等式eq \f(fx,gx)＜0 此分式不等式可等价转化为分子、分母相乘的不等式，最终还是判断f(x)与g(x)在定义域内的正负值情况 [解]　第一步　根据奇偶性补全函数f(x)和g(x)在整个定义域上的图像 y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，根据函数图像的奇偶性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3,0]上的图像如图所示， 第二步　将分式不等式等价转化 eq \f(fx,gx)＜0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx＞0，,gx＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx＜0，,gx＞0，)) 第三步　根据图像，分别解两个不等式组 由图可知f(x)＞0，g(x) ＜0时，－2＜x＜－1或0＜x＜1， f(x)＜0，g(x)＞0时，2＜x＜3. 第四步　根据求解结果取并集 可求得其解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}． 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图像和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性． 函数周期性的应用(应用点) [典例]　(1)(2024·陕西统考模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))为偶函数且f(1)＝3，则f(2 023)＋f(2 024)＝(　　) A．3　　 B．－5　　 C．－3　　 D．0 (2)已知函数f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)为奇函数，若f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝　______　. [解析]　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)＋f(－x)＝0，所以有 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(3,4)))＝0，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))为偶函数可得：feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(3,4)))， 故有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))＝0， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋f(x)＝0， 即f(x)＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝－f(x＋3)，故f(x)＝f(x＋3)，所以f(x)的周期为T＝3，则f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.故f(2 023)＋f(2 024)＝f(1)＋f(2)＝3－3＝0. (2)f(x＋2)是奇函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)，且f(2)＝0， f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝－f(－x＋2)＝－f(x－2)， 则f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，函数周期为8， f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(3)＋f(1)＝0，f(4)＋f(0)＝0，即f(4)＝－1， f(5)＝－f(1)，f(6)＝－f(2)＝0，f(7)＝－f(3)，f(8)＝f(0)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝－f(8)＝－1. [答案]　(1)D　(2)－1 1．判断函数周期性的两个方法：定义法、图像法． 2．函数周期性的重要应用：利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解． 易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． 1．(2024·江苏无锡校考模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＋f(x)＝0，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x2－2x，则当x∈[2 024，2 026]时，y＝f(x)的最大值为(　　) A．－8 B．－1 C．1 D．0 解析：C　[由f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(x＋2)⇒f(x＋2)＝－f(x＋2＋2)，因此可以得到：f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，当x∈[2 022，2 024]时，y＝f(x)＝f(x－2 024)＝－(x－2 024＋1)2＋1＝－(x－2 023)2＋1，显然当x＝2 023时，函数y＝f(x)的最大值为1.] 2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,4]上与x轴的交点的个数为　________　. 解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1. 当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)， 所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)， 所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3. 当x5＝4时，也符合要求． 答案：5 函数基本性质的综合应用(创新点) ◆[命题角度1]　单调性与奇偶性结合　 1．(2024·天津模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增，则(　　) A．f(log2π)＞f(log2eq \f(1,3))＞f(2－π) B．f(log2eq \f(1,3))f(2－π)＞f(log2π) C．f(2－π)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))＞f(log2π) D．f(2－π)＞f(log2π)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3))) 解析：A　[∵f(x)是偶函数，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))＝f(－log23)＝f(log23)． ∵1＜log23＜log2π＜2,0＜2－π＜1，∴0＜2－π＜log23＜log2π＜2. ∵f(x)在[0，＋∞)为增函数，∴f(2－π)＜f(log23)＜f(log2π)， 即f(2－π)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,3)))＜f(log2π)．] 2．若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 解析：D　[根据题意，画出函数示意图：当x<0，且－2≤x－1≤0，即－1≤x<0时，xf(x－1)≥0成立；当x>0，且0≤x－1≤2，即1≤x≤3时，xf(x－1)≥0成立；当x＝0时，显然成立，综上x∈[－1,0]∪[1,3]．] 3．(多选)(2024·山东省高三模拟)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，若g(x)＝f(x－1)，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(1)＝0 B．g(2)＝－eq \f(1,2) C．g(－x)＋g(x)＞0 D．g(－x＋1)＋g(x＋1)＜0 解析：AC　[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为g(x)＝f(x－1)， 所以g(1)＝f(0)＝0，故A正确； 因为f(x)为定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，f(2)＜f(1)＜f(0)， 即－1＜f(1)＜0.所以－1＜g(2)＜0，故B不一定成立； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)， 所以g(－x)＋g(x)＝－f(x＋1)＋f(x＋1)，因为f(x)是定义在R上的减函数， 所以f(x－1)＞f(x＋1)，所以f(x－1)－f(x＋1)＞0，即g(－x)＋g(x)＞0，故C正确； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，g(x＋1)＝f(x)， 所以g(－x＋1)＋g(x＋1)＝－f(x)＋f(x)＝0，选项D错误．] ◆[命题角度2]　周期性与奇偶性结合　 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，f(4－x)＝f(x)，则(　　) A．函数f(x)为偶函数 B．f(3)＝0 C．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))) D．f(2 023)＝0 解析：A　[已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)， 函数图像关于直线x＝1对称，有f(x)＝f(2－x)． 又f(4－x)＝f(x)，则f(4－x)＝f(2－x)， 令2－x＝t，有f(2＋t)＝f(t)，所以函数周期为2. f(x)＝f(2－x)＝f(－x)，函数为偶函数，A选项正确； feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，C选项错误； 已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误．] ◆[命题角度3]　单调性、奇偶性与周期性结合　 核心素养 数学抽象——函数的“三性”在抽象函数中的具体应用 　　函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性. 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　) A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)<f(11) [破题关键点]　定义在R上的函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(x)是以8为周期的函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0,2]上是增函数，则f(x)在区间[－2,2]上是增函数，这样就可以把f(－25)，f(11)和f(80)转化到区间[－2，2]上进行大小比较． 解析：D　[∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)， ∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)，f(80)＝f(0)． 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， ∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．] 2．(多选)设函数y＝f(x)的定义域为R，其图像关于直线x＝－2对称，且f(x＋2)＝f(x－2)．当x∈[0,2]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(2 023)＝4 C．f(x)的图像关于直线x＝2对称 D．f(x)在区间[－2,0]上单调递减 解析：AC　[因为函数y＝f(x)的定义域为R， 且f(x＋2)＝f(x－2)， 所以f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又因函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称， 所以f(－2＋x)＝f(－2－x)， 即f(－2＋x)＝f[－(2＋x)]， 又f(x＋2)＝f(x－2)， 所以f(2＋x)＝f[－(2＋x)]， 所以f(x)＝f(－x)， 所以f(x)为偶函数，故A正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－x， f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝f(1)＝－eq \f(2,3)，故B错误； 因为f(x)为偶函数且f(x)的图像关于直线x＝－2对称， 所以f(x)的图像关于直线x＝2对称，故C正确； 因为当x∈[0,2]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－x， 而函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，y＝－x在x∈[0,2]都是减函数， 所以函数f(x)在x∈[0,2]上是减函数， 又因为f(x)为偶函数， 所以f(x)在区间[－2,0]上单调递增，故D错误．] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． (3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解． $