第二章 第1节 函数及其表示方法（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示方法 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.函数的概念，感悟和发 以理解函数的概念，会求一些简单 1.通过实例，体会函数是描述变量之间的 展数学抽象的素养 函数的定义域为主，常与不等式相结合 依赖关系的重要数学模型，学会用集合 2.函数的解析式，提升逻求函数的定义域、值域.函数解析式的求 与对应的语言来刻画函数，体会对应关 辑推理和数学运算的解与应用是函数内容的基础，注意换元 系在刻画函数概念中的作用；了解构成 素养 法、待定系数法等数学思想方法的运用. 函数的要素，会求一些简单函数的定义 3.函数的定义域，发展数分段函数主要涉及的是与其相关的函数 域和值域. 学抽象和提升逻辑推值、方程或不等式，该部分内容高考中多 2.会根据不同的需要选择恰当的方法（如 理的素养 以选择题或填空题的形式考查，难度不 图像法、列表法、解析法)表示函数. 4.分段函数及应用，提升会太大，属于低中档题.主要考查考生的 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并 逻辑推理和数学运算函数与方程思想、数形结合思想、分类讨 能简单应用 的素养 论思想以及运算求解的能力 夯实必备知识 对应学生用书P24 教材夯实强基固本 必备知识 4.分段函数 1.函数的有关概念 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. 一般地，给定两个非空实数集A与B,以及对应关 5.分段函数的图像 系f,如果对于集合A中的每一个实数x,按照对 分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在 应关系f,在集合B中都有唯一确定的实数y= 同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式 f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个 依次画出图像，要注意每段图像的端点是空心点还 函数，记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量，y 是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的 称为因变量，自变量取值的范围（即数集A)称为这 图像。 个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈By 6.常数函数 =f(x),x∈A},称为函数的值域. 值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数 2.同一个函数 重要结论 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应 1.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和 关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表 对应关系完全一致. 达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达 2.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由 式表示的就是同一个函数. 几个部分组成，但它表示的是一个函数 3.函数的表示法 自主诊断 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系) 函 ◆[思考辨析] 的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 图像法 用图像表示两个变量之间的对应关系 表 打“√”，错误的打“×” 示 (1)函数是建立在其定义域到值域的映射.() 法 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 (2)函数y=f(x)的图像与直线x=a最多有2个 交点 ( ·28 第二章函数、导数及其应用 (3)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t-2t是同一 解析：C[由选项知A值域不是[0,1]，B定义域 函数 不是[0,1]，D不是函数，只有C符合题意，] (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函 数是相等函数 ( 4.函数y=f(x)的图像如图所示，那么f(x)的定义 (5)fx)=l与g(x)= 10,表示同 域是 ;值域是 ;其中只与x的一 个值对应的y值的范围是 函数. ( ) ty (6)若A=R,B={xx>0},f:x→y=x|,其对应 是从A到B的映射. 答案：(1)/(2)× (3)/(4)×(5)× (6)× ◆[小题查验] -3::0123x 1.函数y=√ln(1一x)的定义域为 答案：[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5] A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 5.(2022·浙江卷，14)已知函数f(x)= {-0,解得0≤x<1,所以函数 解析：B[由x≥0， -x2+2,x≤1 ;若当 y=√ln(1-x)的定义域为[0,1).] 2.(教材改编)已知函数f(x) g2xx>0则 3,x≤0， x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b一a的最大值是 ()的值是 ( A.9 B.9 C.-9 1 D.一 解析：由题可知：f(侣)=2一子=子所以 解析：B ()=1og}-1g,2=-2 ()》=()-器 (()-2=3=古 当x≤1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[-1,1]； 3.下列图像可以表示以M={x0≤x≤1}为定义域， 当x>1时，令f(.x)∈[1,3]，解得x∈(1,2十√3]. 以N={y0≤y≤1}为值域的函数的是 ( 所以f(x)∈[1,3]的解集为[-1,2+3]. 25.7. 所以b-a的最大值为3十√3. 1x0 答案弱 3+√3 跃升>关键能力 对应学生用书P25 层级突破素养提升 吉原1 函数的概念（基础点） [解析]BC[对于A,函数f(x)=z的定义城 1.下列所给图像是函数图像的个数为 为(-∞，0)U(0,十∞)，函数g(x)= 1,x≥0，定 {-1,x<01 义域为R,两函数的定义域不同，所以不是同一函 数，故A错误； ① 2 ③ 对于B,若函数y=f(x)在x=1处有定义，则f(x) A.1 B.2 C.3 D.4 的图像与直线x=1的交点有1个；若函数 解析：B[①中当x>0时，每一个x的值对应两 个不同的y值，因此不是函数图像，②中当x=x0 y=f(x)在x=1处没有定义，则f(x)的图像与直 线x=1没有交点，故B正确； 时，y的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一 个x的值对应唯一的y值，因此是函数图像.] 对于C,函数f(x)=x2-2x十1与g()=-2t十 1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一 2.(多选)(2024·锦州月考)有以下判断，其中判断正 函数，故C正确； 确的有 ) 对于D,由fx)=|x-1川-x,可得f(2) =0,所 A.f(r)=- B.函数y=f(x)的图像与直线x=1的交点最多有1个 以f(2)》-f0)=1,故D错误.] C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=2-21+1是同一函数 3.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同，但定义 D.若f)=--x,则f(f(合)-0 域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数 y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2，-1]即为 “同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来 ·29· 高考总复习人教数学B版（新教材） 构造“同值函数”的是 ) 4a+2b+c=-1, a=-4, A.y-[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1] 由题意得 a-b+c=-1, 解得{b=4, =0) Aac-b2 =8y c=7. B.y=x+x十I Aa C.y=1-logs .所求二次函数的解析式为f(x)=一4x2十4x十7. 法二（利用顶点式）： =+ 设f(x)=a(x-m)2十n. 解析：AD[根据题意，“同值函数”需满足：对于同 :f(2)=f(-1), 一函数值，有不同的自变量与其对应，因此，能够被 “抛物线的对称轴为x=2十（一1）一1 2 2 用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域 内不单调.对于选项A,y=[x],定义域为R,在定 .m= 之.又根据题意函数有最大值8，n=8 义域内不是单调函数，故A可以构造“同值函数”； 对于选项B,y=x十√x十1，为定义在[-1，十o∞) y=f=a(-)+8 上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；对 于选项C,y=】-1ogx,为定义在(0，十∞)上的 f2)=-1f2-2）+8=-1 解得a=一4， 单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；对于选 项D,y= 十中，不是定义减上的单调面数， }+8=-4.x2+4x+7. 故D可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造 法三（利用零点式）： “同值函数”的是AD.] 由已知f(x)十1=0两根为x1=2,x2=-1, 题后反思 故可设f(.x)十1=a(x-2)(.x十1)， 函数的三要素 即f(x)=ax2-a.x-2a-1. 定义域、值域、对应法则.这三要素不是独立的， 又函数有最大值ynx=8,即1a(-20_1D-a=8. 值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且 Aa 仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一 解得a=-4或a=0(舍). 函数.特别值得说明的是，对应法则是就效果而 .所求函数的解析式为f(x)=一4x2十4.x十7. 言的（判断两个函数的对应法则是否相同，只要 (3)当x∈(-1,1)时， 看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量 有2f(x)-f(-x)=1g(x+1). ① 的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相 以-x代替x得，2f(-x)-f(x)=1g(-x十1). 同)不是指形式上的.即对应法则是否相同，不能 ② 只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看 化简后的形式才能正确判断· 由①②消去f(一x)得， 专点2求函数的解析式（重难点） fx)=号gx+10+}g1-x)xe(-1,1). [典例](1)已知f(x+1)=x+2√，则f(x) [答案](1)x2-1(x≥1) (2)f(x)=-4x2+4x+7 (2)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)= (3)f(.x) 一1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式为 号1g+1D+号g1-)xe（-1 方法指导 (3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x) 函数解析式的求法 f(-x)=lg(x十1)，则函数f(x)的解析式 (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 为 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替 [解析](1)法一：设t=√元十1，则x=(t-1)2,t≥ 代g(x),便得f(x)的解析式； 1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+ (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、 1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1,x≥1. 二次函数)，可用待定系数法； 法二：，x十2√=（√）2+2√元+1-1 (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用 =(元+1)2-1， 换元法，此时要注意新元的取值范围； ∴.f(√元+1)=(W元+1)2-1，元+1≥1，即f(x)= x2-1,x≥1. 4)清去法：已知关千f)与f()减f(-)的 (2)法一（利用一般式）： 表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等 设f(.x)=a.x2十b.x+c(a≠0). 式组成方程组，通过解方程组求出f(x). ·30 第二章函数、导数及其应用 日跟踪训练 x<2且x≠1，故所求函数的定义域为{x|一3<x<2 1.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)一2f(x 且x≠1. 1)=2x+17,则f(x)= 答案：{x-3<x<2,且x≠1}》 解析：因为f(x)是一次函数，可设f(x)=ax十b(a 题后反思 ≠0)， 常见函数定义域的类型 ∴.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2.x+17,即 ① a.x+(5a+b)=2x+17, 分式型f石要满足f)0: 因此应有口=2， 5a+b=17, 解得=2， 2 1b=7. 根式型f(neN)要满足f(x)≥0： 故f(x)的解析式是f(x)=2x十7. 3 答案：2x十7 [fx)]°要满足fx)≠0： 2已知径)=s则的解析式为 对数型1og。f(x)(a>0,且a≠1)要满足fx)>0: 解标：命兰+1=1保文=，吕代入得于) 正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠罗+kπ，keZ. g吕 提醒：(1)已知函数的解析式求定义域，构建使解 又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x) 析式有意义的不等式（组）求解.如果所给解析式 较复杂，切记不要化简后再求定义域. g名x>D. (2)所求定义域须用集合或区间表示. 答案：f)=l8名>1 (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义， 又要考虑实际问题的要求. 3.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x)= ◆[命题角度2]求抽象函数的定义域（应用点） 2r(2)G-1,则f)= [典例1]已知函数f(x)的定义域为（一1,0），则函 数f(2x+1)的定义域为 解析：在x)=2/()小反-1中，将x换成子 A.(-1,1) 则得)-…-1 C.(-1,0) 2 x)=2)E-1 [解析]B[由函数f(x)的定义域为（一1,0），则 使函数f(2x十1)有意义，需满足-1<2x十1<0， 解得一1<x<- 之，即所求函数的定义域 解得f)=号+ 为(1，》打 答案：号+ 日跟踪训练 吉点3 函数的定义域 1.已知函数f(2x+1)的定义域是(-1,0)，则f(x) 的定义域为 ◆[命题角度1]求给定函数解析式的定义域（基础点） 解析：由已知x∈(-1,0)，所以2x十1∈(-1,1)， 1C②022·北京卷.1D函数)=+-7的定义 故f(x)的定义域为(-1,1). 答案：(-1,1) 域是 2.已知f(2)的定义域是[-1,1]，则f(1og2x)的定义 解析：依题意 x≠0， 解得x∈(-∞，0)U(0,1]. 1-x≥0， 答案：(-∞，0)U(0,1] 解析：由巴知x∈[-11小，所以2∈[合2]故 2.函数y= 1g(2-x) 十（x-1)°的定义域是 V12+x-x fx)的定义线为[22]，所以在函数y=fog) 「2-x>0 中，2≤1logx≤2，即log2V2≤1ogx≤1og4,所以 x<2 解析：由12+x-x>0,得 -3<x<4,所以-3< √2≤x≤4，故f(1og2x)的定义域为[V2,4]. 一1≠0， x≠1， 答案：[√2,4] ·31· 高考总复习人教数学B版（新教材） ◆[命题角度3]已知定义域确定参数问题 解析：C[根据分段函数的意义，f(一2)=1十 [典例2](2024·合肥模拟)若函数f(x)= 1og2(2+2)=1+2=3.又1og212>1, √2+ra一1的定义域为R,则a的取值范围为 ∴f(1og212)=2,2-D=25=6,因此f(-2)+ f(1og212)=3+6=9.] [解析]因为函数f(x)的定义域为R,所以 2.定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b=a;当a<b 时，a⊕b=b2.设函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕ 2+2r-a-1≥0对x∈R恒成立，则x2十2a.x-a≥ x),x∈[一2,2]，则函数f(x)的值域为 0恒成立.因此有△=(2a)2十4a≤0，解得-1≤a 解析：由题意知，f(x)= x-2,x∈[-2,1]， 0. {x3-2,x∈(1,2]， [答案][-1,0] 当x∈[-2,1]时，f(x)∈[-4，-1]；当x∈(1,2] 方法指导 时，f(x)∈(-1,6].故当x∈[-2,2]时，f(x)∈ 求抽象函数定义域的方法 [-4,6]. 已知函数f(x)的定义域为 己知复合函数f[g(x)】的 答案：[-4,6] [a,b],求复合函数f[g(x)] 定义域为[a,b],求函数 题后反思 的定义域 f(x)的定义域 分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 由不等式a≤g(x)≤b解 求出y=g(x)(x∈[a,b]) 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定 得x,则x的取值范围即 的值域，即为y=f(x)的 为所求定义域 定义域 相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 [口诀助读] 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检 定义域，是何意，自变量，有意义； 验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自 分式分母不为零，对数真数只取正； 变量的取值范围 偶次根式要非负，三者结合生万物； 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类 和差积商定义域，不等式组求交集； 讨论 抽象函数定义域，对应法则内相同， ◆[命题角度2]解方程问题（重难点） ◆[命题角度4]已知函数的定义域求参数的值（范 [典例1](2024·凉山模拟)已知函数f(x)= 围)（应用点） (e+1,x<0 [典例3]若函数y= mx-l 则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是 的定义域为R, 12,x≥0 m.x2+4m.x+3 则实数m的取值范围是 ) [解析] 函数f(x)= (e+1,x<0 A(o,] {2,x≥0 方程f(1十x2)=f(2x), c,别 .. .当x<0时，2=e2r十1，解得x=0,不成立； 当x≥0时，f(1十x2)=f(2x)=2,成立. [解析]D [函数y= mx—1 的定义域 m.x2+4mx+3 .方程f(1+x2)=f(2x)的解集是{x|x≥0}. 为R, [答案]{xx≥0》 ∴.m.x2+4m.x+3≠0， 方法指导 m=0或m≠0， 分段函数与方程问题的求解思路 {△=16m2-12m<0, 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 即m=0或0<m< 求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值 4 范围 实数m的取值范周是[0，)】 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类 解题技法 讨论 已知函数的定义域求参数的值或范围，可将问题转 跟踪训练 化成含参数的不等式或方程，然后求解 1.已知函数f(x)= 2+1,x<1, x2+a.x,x≥1， 且fLf(0)]=4a, 专点4 分段函数及应用 ◆[命题角度1求函数值、值域（最值）（基础点） 则f(-2) ,实数a- 1.设函数f(x)= (1+log2(2-x),x<1, 解析：依题意-2)=2+1=是f0)=2十1 2-1,x≥1， =2,f(2)=22+2a=4a,解得a=2. 则f(-2)+f(1og212)= ( A.3 B.6 C.9 D.12 答案： 2 ·32· 第二章函数、导数及其应用 ◆[命题角度3]解不等式问题（重难点） [解析]第一步解>时，)十（女一专）户1 [典例2]设函数f(.x) 江+1≤0'则满足f(x) 2,x>0, 由题意得，当x>号时，fx)+f(-)2十 +fx一 2>1的x的取值范围是 2>1恒成立，即>： 核心素养 数学运算 解与分段函数有关的不等式 第二多解0<≤号时fx)+(-)》>1 信息提取 信息解读 数学运算 运算1：x>号时，f(x)十 当0≤时)+（）2+ +1 2 2 函数f(x)是分段函 f(-）=2+2+>1 数，f(一)也 着眼点：直接根据不等式解x 的范围不易解，可考虑在x的 第三步 是分段函数 解0时f)+-)1 范围>合的条件下，2 当≤0时，x十1十x-十1>1，解得>-，即 2寸的范围 题于己给出f(x) 1<x≤0. f(.x)= 的解析式，可根据 (x+1,x≤0， 解析式的求法求 运算2：0<≤号时，f(x）十 第四步 取并集计算x的取值范围 {2,x>0, 出f(-)的 综上x的取值范国是(-，十∞） 解析式，即x一2 -1 f(e-)-2+x-+1 >1. 0时， 着眼点：解此不等式，可考虑 [答案] 函数y=2r+x+ 合在区间 方法总结 +1->0 (0,2)上的单调性，借助函 分段函数与不等式问题的求解思路：依据分段函数 的解析式，对不同范围的不同段分类讨论求解，最 时()） 数的最小值求解 后将各段结果取并集.注意每段不等式结果与本段 =2+ 自变量的范围取交集得本段的最后结果 运算3：x≤0时，f(x)十 日跟踪训练 根据f(x)和 f(x-)=x+1+x- ,x1 (x-)的解 2.设函数f(x) 则使得f(x)≤2成立 +1>1. x,x≥1， f(.x)+ 析式写出f(x)+ 着眼点：直接解不等式即可， 的x的取值范围是 f(-)> 注意不等式的解与条件x≤0 1(-)的解 取交集 解析：当x<1时，e1≤2，解得x≤1十ln2,所以x 析式，再根据x的 <1.当x≥1时，x寸≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8. 范围分类讨论 运算4：并集运算 着眼点：最后x的取值范围是 综上可知x的取值范围是（一∞，8]. 前3段求解结果并起来 答案：(-∞，8] 第2节 函数的单调性 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 确定函数的单调性、单调区间 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象及应用函数的单调性比较函数值大 1.借助函数图像，会用符 号语言表达函数的单 和逻辑推理素养， 小、求最值、求参数的取值（范围）是 2.确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑高考的热点，题型多以选择题、填空 调性、最大值、最小值， 推理素养 理解它们的作用和实 题的形式出现，难度不大，属于低中 际意义. 3.确定函数的最值（值域），发展直观想象和数档题，常与函数的图像及奇偶性交 学运算素养 汇命题；若与导数交汇命题，则以解 2.会运用基本初等函数的 图像分析函数的性质 4.函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运答题的形式出现，难度较大，属于中 算素养 高档题.在解答题中常与恒成立、方 程有解等问题综合考查 ·33·