第一章 第1节 集合（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第一章 集合与常用逻辑用语、等式与不等式 第1节集合 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“届于”1.集合的基本概 念，形成直观 关系 集合的概念及运算的考查 想象和提升数以集合的运算为主，其中交 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法） 描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 学运算的素养。并、补集的运算以及两集合包 3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的 2.集合间的基本含关系的考查是高考的热点： 关系，提升逻题型多以选择题或填空题的形 子集 4.在具体情境中，了解全集与空集的含义， 辑推理和数学式出现，一般难度不大，属低档 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合 运算的素养.题型，通常与函数、方程、不等 的并集与交集. 3.集合的基本运式等知识结合，也常出现新情 算，形成直观景设置题，考查考生函数与方 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子 想象，提升逻程、转化与化归、数形结合等数 集的补集 7.能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对 辑推理和发展学思想的运用以及对新情景设 数学运算的置题的阅读理解能力 理解抽象概念的作用 素养 夯实必备知识 对应学生用书P1 教材夯实强基固本 必备知识 关系 自然语言 符号语言 维恩图 1.集合的基本概念 如果集合A是 (1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性 集合B的子集， (2)元素与集合的关系 并且B中至少 ①属于，记为∈；②不属于，记为廷 真 子集 有一个元素不属 A军B(或 (3)常见数集的记法 于A,那么集合 B吴A) 正整 有理 集合 自然 实数集 A称为集合B 数集 数集 整数集 数集 的真子集 符号 N (N或N*) Z Q R 一般地，如果集 (4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法 集合 合A和集合B 2.集合间的基本关系 的元素完全相 A-B A(B) 相等 同，则称集合A 关系 自然语言 符号语言 维恩图 与集合B相等 如果集合A的 3.集合的基本运算 任意一个元素都 基本 运算 并集 交集 补集 是集合B的元 子集 A三B(或B2 素，那么集合A A) 或A(B) 若全集为U, 称为集合B的 符号 AUB 则集合A的 子集 表示 A∩B 补集为CA 高考总复习人教数学B版（新教材） 基本 解析：D[由题意知A={0,1,2,3},由a=2√2，知a 并集 交集 运算 补集 A.] 图形 2.(2023·北京卷，1)已知集合M={x|x+2≥0}，N 表示 A ={xlx-1<0}.则M∩N= ( A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} 数学 {xx∈A {xx∈A {xx∈LU C.{xx≥-2} D.(ala<1) 语言 或x∈B} 且x∈B 且x氏A} 解析：A[由题意，M={x|x+2≥0}={x|x≥ AU(CA)= AUO=A: A∩d=0; -2},N={x|x-1<0}={xx<1}, 运算 U;A∩ AUA=A; A∩A=A; 性质 AUB=BUA. A∩B=B∩A. (CA)=2; 根据交集的运算可知，M∩N={x|-2≤x<1}.] G(GA)=A. 3.(教材改编)设全集U=R,集合A={x|一1≤x< 3},B={x|2x-4≥x-2},则AUB= 重要结论1.AUB=A台B二A,A∩B=A台A C(A∩B)= CB. 答案：{xx≥一1}{x|x<2或x≥3} 2.若集合A(A≠心)中含有n个元素，则它的子集个 数为2"，真子集个数为2”一1，非空真子集个数为 4.已知集合A={xlx2-2x十a>0},且1￠A,则实数 2”2. a的取值范围是 自主诊断 解析：，1度{xx2-2.x+a>0}, ◆[思考辨析] .1∈{xx2-2x+a≤0}， 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 即1-2十a≤0，∴.a≤1. 打“√”，错误的打“X” 答案：(-∞，1] (1)={0}. ( 5.已知集合A={(x,y)x2十y2≤3，x∈Z,y∈Z},则 (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素 A中元素的个数为 集合的子集， ) (3)a在集合A中，可用符号表示为a二A.( 解析：法一：将满足x2十y2≤3的整数x,y全部列 (4)NEN+三Z. 举出来，即(-1，-1)，(-1,0)，(-1,1)，(0，-1)， (5)若A={x|y=x2},B={(x,y)1y=x2},则A∩ (0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个 B={x|x∈R. 法二：根据集合A的元素特征 答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 及圆的方程在坐标系中作出 ◆[小题查验] 1.若集合A={x∈Nx≤√10}，a=2√2，则下列结论 图形，如图，易知在圆x2十y 正确的是 =3中有9个整，点，即为集合 A.{a}三A B.aCA A的元素个数. C.{a}∈A D.aA 答案：9 跃升>关键能力 对应学生用书P2 层级突破素养提升 专点1 集合的基本概念（基础点） 3a,6R,若{a, {a2,a+b,0},则a2o24+ L.已知集合A={(x,y)|x,y∈N+,y≥x},B={(x, y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 b2024 A.2 B.3 C.4 D.6 [解析]由已知得a≠0，则么=0，所以b=0, 解析：C[点(4,4)，(3,5)，(2,6)，(1,7)符合题意.] a 2.若集合A={x∈Ra.x2-3.x十2=0}中只有一个元 于是a2=1,即a=1或a=-1, 素，则a= ( 又由集合中元素的互异性知a=1应舍去，故a A.号 -1,所以a2024+b2024=(-1)2024+02024=1. B号 C.0 D0或号 [答案]1 解析：D[若集合A中只有一个元素，则方程ax 4.已知集合A={m十2,2m2十m},若3∈A,则m的 一3x十2=0只有一个实根或有两个相等实根. 值为 当a=0时，r=子，符合题意 解析：因为3∈A,所以m+2=3或2m2十m=3. 当m十2=3，即m=1时，2m2+m=3, 当a≠0时，由4=(-32-80=0得a=号 此时集合A中有重复元素3， 所以m=1不符合题意，舍去； 所以a的取值为0或是] 当2m十m=3时，解得m=一号或m=1(含去) ·2· 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 此时当m=一 时m十2=号≠3特合题意， 日跟踪训练 2 1.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a 所以m= -2,2a-2},若A三B,则a ) 2 答案：一3 A.2 B.1 c号 D.-1 题后反思 解析：B[若a-2=0,则a=2,此时A={0,一2}， B={1,0,2},不满足题意；若2a一2=0，则a=1,此时 解决集合概念问题的一般思路 A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意.] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然 后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示 2.已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈ R},若B三A,则实数m的取值范围为 时，注意弄清其元素表示的意义是什么， (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有 解析：①若B=0,则△=m2一4<0，解得-2<m<2. 字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集 ②若1∈B,则12+m+1=0, 合中元素的互异性相矛盾， 解得m=一2，此时B=1},符合题意； ③若2∈B,则22+2n+1=0, 专点2) 集合间的基本关系（重难点） 解得m=一 5 [典例]（1)已知集合A={xa.x=1},B={x|x2 ,此时B= } 不合题意」 1=0},若A三B,则a的取值构成的集合是( 综上所述，实数m的取值范围为[一2,2). A.{-1} B.{1} 答案：[-2,2) C.{-1,1} D.{-1,0,1} 吉点3 集合的基本运算 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m十1<x< ◆[命题角度1]求交集、并集 2m-1},若B二A,则实数m的取值范围是 1.(2023·新课标I卷)已知集合M={-2,-1,0,1, [解析](1)由题意，得B={-1,1}, 2},N={xlx2-x-6≥0}，则M∩N= () 因为A三B,所以当A=时，a=0: A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} 当A={-1}时，a=-1;当A={1}时，a=1. C.{-2} D.{2} 又A中至多有一个元素， [解析]C[方法一：因为N={xx2-x-6≥0} 所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}. =(-o∞，-2]U[3,+∞)，而M={-2,-1,0,1, (2)当B=0时，有m十1≥2m-1,则m≤2. 2},所以M∩N={-2}. 当B≠心时，若B三A,如图」 方法二：因为M={-2,-1,0,1,2},将-2，-1,0， 1,2代入不等式x2-x一6≥0，只有一2使不等式 -2m+10 2m-17元 成立，所以M∩N={-2.] m+1≥-2 2.(2022·全国甲卷，3)设全集U={一2，-1,0,1,2， 则2m-1≤7 ,解得2<m≤4. 3},集合A={-1,2},B={xx2-4x+3=0},则 m+1<2m-1 C(AUB)= ) 综上，实数m的取值范围为m≤4. A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0} [答案](1)D(2){mm≤4} 解析：D[由B={xx2-4x十3=0}=(1,3}，AU O[互动探究] B={-1,1,2,3},所以(AUB)={-2,0}.] 本例(1)中若A={xax>1(a≠0)}，B={xx2-1 ◆[命题角度2]集合的交、并、补的综合运算（基础点） >0},其他条件不变，则a的取值范围是 1.(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={xx< 解析：由题意，得B={xx>1,或x<-1}, 1},N={x|-1<x<2},则{xx≥2}= ( 对于集合A,①当a>0时，A={xx> A.Co(MUN) B.NUCM a C.Cu(M∩N) D.MUCeN 因为A二B,所以1≥1.又a>0,所以0<a≤1. 解析：A[由题意可得MUN={x|x<2},则C (MUN)={x|x≥2}，选项A正确；CM={x|x≥ @当a0时，A={女<日} 1},则NUCM={xx>-1},选项B错误；M∩N ={x|-1<x<1},则Cu(M∩N)={x|x≤-1或 因为ACB,所以1≤-1，又a<0,所以-1<a<0, x≥1}，选项C错误；CuN={x|x≤-1或x≥2}， 则MUCN={xx<1或x≥2}，选项D错误.] 综上所述，0<a≤1，或-1≤a<0. 考题解读]本题考查集合的交、并、补集运算，考 答案：[-1,0)U(0,1] 查数学运算与数学抽象的核心素养，集合是高考每 方法指导 年必考知识点，一般以容易题目呈现，位于选择题的 由集合的关系求参数的关键点 前3题的位置上，所给集合多为简单不等式的解集、 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系 离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定： 转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关 2.(多选)已知集合A={x|-1<x≤3}，集合B={x 系，解决这类问题常常要合理利用数轴、维恩图帮 |x≤2}，则下列关系式正确的是 ( 助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点 A.A∩B=☑ 的取舍 B.AUB={x|-2≤x≤3} 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的 C.AU(CRB)={x|x≤-1或x>2} 情况 D.A∩(CRB)={x|2<x≤3} ·3 高考总复习人教数学B版（新教材） 解析：BD[A={x|-1<x≤3}，B={x|x≤ 一方面，B={2,5,8,…,98,101},则A车B⊕0=B 2}={x|-2≤x≤2}， 所以d(A,B)≠0，即d(A,B)≥1，而B三A⊕1= .A∩B={x-1<x≤3}∩{x|-2≤x≤2} {0,1,2,3,4,…,101},A三B①1={1,2,3,4，…， ={x一1<x≤2}，故A不正确； 102},这表明了d(A,B)=1满足题意，此时B|= AUB={x|-1<x≤3}U{x-2≤x≤2} ={x|-2≤x≤3}，故B正确； 101-2+1=34,故|B|m=34; 3 (CRB)={xx<-2或x>2}, 另一方面，若|B=j≤33，不妨设B={b1,b2,…, .AU CRB={x|-1<x≤3}U{x|x<-2或x> b}且b1<b2<…<b, 2}={x|x<-2或x>-1},故C不正确； 由题意可知A二B⊕1={b1-1,b1,b1十1}U{b2 A∩(RB)={x|-1<x≤3}∩{x|x<-2或x> 1,b2,b2+1}U…U{b,-1,b,b,+1},而B⊕1最 2}={x2x≤3}，故D正确.] 多含有3j≤99个元素，当且仅当{b-1,b,b十1}》 ◆[命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取 (1≤k≤j)两两不同且|B|=j=33时，等号成立， 值（范围）（重难点） 但这与A有100个元素矛盾，所以|B|=j≥34.综上 [典例](1)设集合A={xx2-4≤0}，B={x2x十 所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34， a≤0}，且A∩B={x|-2≤x≤1}，则a=( (3)一方面：先来证明(M④k)⊕l三M⊕(k十l),M A.-4 B.-2 C.2 D.4 ⊕k={m+tm∈M,t=-k,-k+1,…,k}={n∈Z [解析]B[解一元二次不等式x2一4≤0，可得 |3m∈M,n-m≤k},因此只要M1二M2,就有 A={x|-2≤x≤2}， M⊕k三M2⊕k,而Hx∈(M⊕k)⊕l,3p∈M⊕k, 解一元一次不等式2x十a≤0，可得B |x-p|≤l,所以3m∈M,|p-m≤k,所以x-ml ={≤-} =|x-p十p-m≤|x-|+p-m≤l十k,即Hx ∈M⊕(k十)，从而(M⊕k)⊕二M⊕(k+). 由于AnB={x-2≤x≤1，故-号=1，解得a= 另一方面：如果d(A,B)=p,d(B,C)=q,d(A,C) =r,那么A三B⊕，B三C⊕q,B⊕二(C⊕q)⊕p -2.] 三C⊕(p十q),从而A三C⊕(p十q),同理C三A⊕ (2)已知集合A={xx≤a},B={x|1≤x≤2}，且 (p十q),因此由定义可得d(A,C)=r≤d(A,B)+ AU(CRB)=R,则实数a的取值范围是 d(B,C)=p十q,即d满足距离的三角不等式； [解析]C.B={x|x<1,或x>2},要使AU(CB) 所以在本题中，d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)=4+ =R,则a≥2. 1=5,d(A,C)≥d(A,B)-d(B,C)=4-1=3,即 [答案][2，十∞) d(A,C)∈{3,4,5}，取A={0},B={4},C={5}, 解题技法 可知d(A,C)=5可能成立，取A={0},B={4},C 解集合运算问题应注意以下三点 =(3},可知d(A,C)=3可能成立，取A={0},B= (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合 {4},C={3,4},可知d(A,C)=4可能成立，综上所 中元素的构成入手是解决集合运算问题的 述，d(A,C)所有可能取值为3或4或5. 关键. 规律方法 (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再 集合新定义问题的方法和技巧： 研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易 (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具 于解决。 体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 (2)可用自已的语言转述新信息所表达的内容，如 式有数轴、坐标系和维恩图. 果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为 提醒：维恩图图示法和数轴图示法是进行集合 透彻； 交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法 (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体 要特别注意端点是实心还是空心， 会信息的本质特征与规律； 专点4高考新题型一集合的新定义问题（创新点） (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息 [典例](2024·北京清华附中校考期中)对非空整 与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以 使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到 数集合M及k∈N,定义M⊕k={m十t|m∈M,t= -k,一k十1，…，k},对于非空整数集合A,B,定义d “旧”性质上，创造性的解决问题. (A,B)=min{k∈N|A三B④k,B≤A⊕k. :跟踪训练 (1)设M={2,4,6},请直接写出集合M④1； (2024·北京顺义高三统考期末)给定正整数n≥ (2)设A={1,2,3,4,…,100},d(A,B)=1,求出非 3,设集合A={a1,a2,…,an}.若对任意ij∈{1,2， 空整数集合B的元素个数的最小值； …,n},a,十a,a;一a,两数中至少有一个属于A,则 (3)对三个非空整数集合A,B,C,若d(A,B)=4 称集合A具有性质P 且d(B,C)=1,求d(A,C)所有可能取值. (1)分别判断集合{1,2,3}与{-1,0,1,2}是否具有 [解析](1)若M={2,4,6}, 性质P; 则由集合新定义可知M⊕1={1,3,5}U{2,4,6}U (2)若集合A={1,a,b}具有性质P,求a十b的值； {3,5,7}={1,2,3,4,5,6,7}. (3)若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1 (2)设B有|B|个元素，下证|B|mm=34. ∈B,求集合B. 第一章集合与常用逻辑用语、等式与不等式 解：(1)集合1,2,3}中的3+3=6(1,2,3}，3-3=0 (3)首先容易知道集合B中有0，有正数也有负数， 在{1,2,3}， 不妨设B={-bs,一bs-1,…,-b1,0,41,Q2,…, 所以集合{1,2,3}不具有性质P, a},其中k十l=5,0<a1<…<a,0<b1<…<bs, 集合{一1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元 根据题意{a1一a,…,a1-1一a,}三{一b,一b-1, 素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{一1， …,-b1},且{bs-b1,bs-1-b1,…,b2-b1}三{a1, 0,1,2},所以集合{-1,0,1,2}具有性质P; a2…,a},从而(k,l)=(2,3)或(3,2)， (2)若集合A={1,a,b}具有性质P,记m=max{1, ①当(k,L)=(3,2)时，{b3-b1,b3-b2}={a1,a2}, a,b},则m≥1， 并且{-b3十b1,-b3十b2}={-b1,-b2}→b3=b1 令a,=a=m,则2m廷{1，a,b},从而必有0∈{1， +b2,a2-a1∈{a1,a2}→a2=2a1, a,b}, 由上可得(b2,b1)=(b3-b1,b3-b2)=(a2,a1)= 不妨设a=0,则A={1,0,b},b≠0且b≠1， (2a1a1),并且b3=b1+b2=3a1, 令a,=1,a=b,则{1十b,1-b}∩{1,0，b}≠⑦，且 综上可知B={-3a1,-2a1,-a1,0,a1,2a1}; {1+b,b-1}∩{1,0，b}≠☑，b≠0且b≠1， ②当(k,l)=(2,3)时，同理可得B={-2a1,-a1, 以下分类讨论： 0,a1,2a1,3a1}, ①当1十b∈{1,0，b}时，若1+b=0→b=-1,此时， 据此，当B中有包含6个元素，且1∈B时，符合条 A=1,0,-1}满足性质P; 件的集合B有5个，分别是{-2，-1,0,1,2}， 若1+b=1→b=0,舍；若1+b=b,无解； ②当1+b在{1,0，b}时，则{1-b,b-1}三{1,0，b}, 注意b≠0且b≠1，可知b无解； 3, 2, 1,0,1,2} 经检验A={1,0,-1}符合题意，综上a十b=-1; 第2节 命题与量词、充分条件与必要条件 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 1..全称量词命题、存在量词命题 全称量词命题、存在量词命题的真 1.通过生活和数学中的丰富实 例，理解全称量词与存在量词 的真假判断，达成直观想象和假判断以及对含有一个量词的命题进行 逻辑推理的素养。 否定及充分、必要条件的判断是高考的 的意义. 2.含有一个量词的命题的否定，形热点，题型多以选择题或填空题的形式 2.能正确地对含有一个量词的命 成和发展数学抽象的素养. 出现，一般难度不会太大，属中低档题 题进行否定 3.理解必要条件、充分条件与充 3.充分、必要条件的判断与应用，型，常和函数、不等式及立体几何中直 提升数学抽象和逻辑推理的线、平面的位置关系等有关知识相结合， 要条件的意义 素养 考查考生的逻辑推理等能力 夯实>必备知识 对应学生用书P4 教材夯实强基固本 必备知识 (2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈 1.命题的概念 述中表示所述事物的个体或部分， 可供真假判断的陈述语句就是命题.其中判断为真 4.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的 的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题， 否定 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 p是q的充分条件，g是力的必 要条件 p曰q “对集合M 全称量 中所有元素 Hx∈M,r(x） 词命题 3x∈M,p(x p是q的充分不必要条件 p→q且q书p x,r(x)” p是q的必要不充分条件 q且q→p “存在集合M 存在量 中所有元素 3x∈M,s() Hx∈M,p(x) p是q的充要条件 p台q 词命题 ,(x)” 力是q的既不充分也不必要条件 pPq且q羚p 重要结论 若p是q的充分（必要）条件，q是r的 3.全称量词和存在量词 充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，即“p (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述 中表示所述事物的全体.用符合“H”表示. →g且g→r”→“p→r”(“p=g且g∈r”→“b∈r”).