第1章 第1节 集合（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

该高中数学讲义围绕集合专题，覆盖集合的概念、关系及运算等高考核心考点，按“概念-关系-运算”逻辑梳理知识体系，通过思考辨析、小题查验、典例精讲、真题训练等环节，帮助学生突破元素互异性、空集处理等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料注重核心素养培养，通过维恩图、数轴等直观手段发展直观想象，结合新定义问题训练逻辑推理，设置基础到创新的分层练习。如在集合关系求参数时，引导学生分类讨论空集情况，高效突破易错点，助力学生提升解题速度与准确率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第1节　集　合 最新课程标准 教师专享 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系． 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用维恩图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养． 2．集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养． 3．集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养 　　集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情景设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情景设置题的阅读理解能力 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质：　确定性　、　无序性　、　互异性　. (2)元素与集合的关系 ①属于，记为　∈　；②不属于，记为　∉　. (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N (N＋或N*) Z Q R (4)集合的表示方法：①　列举法　；②　描述法　；③　图示法　. 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 维恩图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 　A⊆B(或B⊇A)　 真 子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 　AB(或 BA)　 集合 相等 一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等 　A＝B　 3.集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B 　A∩B　 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 数学语言 {x|　x∈A　 　或x∈B　} {x|　x∈A　 　且x∈B　} 　{x|x∈U　 　且x∉A}　 运算性质 A∪∅＝　A　； A∪A＝　A　； A∪B＝B∪A. A∩∅＝　∅　； A∩A＝　A　； A∩B＝B∩A. A∪(∁UA)＝　U　；A∩ (∁UA)＝　∅　； ∁U(∁UA)＝　A　. 1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 2．若集合A(A≠∅)中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N＋⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　 ) A．{a}⊆A　　　　　　　　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 解析：D　[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2，知a∉A.] 2．(2023·北京卷，1)已知集合M＝{x|x＋2≥0}，N＝{x|x－1＜0}．则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x＜1}　　 B．{x|－2＜x≤1} C．{x|x≥－2} D．{x|x＜1} 解析：A　[由题意，M＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，N＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， 根据交集的运算可知，M∩N＝{x|－2≤x＜1}．] 3．(教材改编)设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝　__________　，∁U(A∩B)＝　________　. 答案：{x|x≥－1}　{x|x<2或x≥3} 4．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是　________　. 解析：∵1∉{x|x2－2x＋a>0}， ∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}， 即1－2＋a≤0，∴a≤1. 答案：(－∞，1] 5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为　________　. 解析：法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数． 答案：9 　　　集合的基本概念(基础点) 1．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．6 解析：C　[点(4,4)，(3,5)，(2,6)，(1,7)符合题意．] 2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　 ) A. B. C．0 D．0或 解析：D　[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝， 所以a的取值为0或.] 3．a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝　______　. [解析]　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0， 于是a2＝1，即a＝1或a＝－1， 又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，故a＝－1，所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1. [答案]　1 4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为　________　. 解析：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3， 此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去； 当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)， 此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意． 所以m＝－. 答案：－ 解决集合概念问题的一般思路 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． (2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 　　　集合间的基本关系(重难点) [典例]　(1)已知集合A＝{x|ax＝1}, B＝{x|x2－1＝0}，若A⊆B，则a的取值构成的集合是(　　) A．{－1}　　　　　　　　 B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是___________． [解析]　(1)由题意，得B＝{－1,1}， 因为A⊆B，所以当A＝∅时，a＝0； 当A＝{－1}时，a＝－1；当A＝{1}时，a＝1. 又A中至多有一个元素， 所以a的取值构成的集合是{－1,0,1}． (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则，解得2<m≤4. 综上，实数m的取值范围为m≤4. [答案]　(1)D　(2){m|m≤4} [互动探究] 本例(1)中若A＝{x|ax>1(a≠0)}，B＝{x|x2－1>0}，其他条件不变，则a的取值范围是　________　. 解析：由题意，得B＝{x|x>1，或x<－1}， 对于集合A，①当a>0时，A＝. 因为A⊆B，所以≥1.又a>0，所以0<a≤1. ②当a<0时，A＝. 因为A⊆B，所以≤－1，又a<0，所以－1≤a<0，综上所述，0<a≤1，或－1≤a<0. 答案：[－1,0)∪(0,1] 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、维恩图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　 B．1　　　 C.　　 D．－1 解析：B　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意．] 2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为　________　. 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. ②若1∈B，则12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此时B＝，不合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2) 　　　集合的基本运算 ◆[命题角度1]　求交集、并集　 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1,0,1}　　　　 B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} [解析]　C　[方法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}． 方法二：因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．] 2．(2022·全国甲卷，3)设全集U＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1,3}　 B．{0,3}　 C．{－2,1}　 D．{－2,0} 解析：D　[由B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．] ◆[命题角度2]　集合的交、并、补的综合运算(基础点)　 1．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N)　　　　　 B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 解析：A　[由题意可得M∪N＝{x|x＜2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x＞－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误；∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x＜1或x≥2}，选项D错误．] [考题解读]　本题考查集合的交、并、补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．集合是高考每年必考知识点，一般以容易题目呈现，位于选择题的前3题的位置上，所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定． 2．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩(∁RB)＝{x|2＜x≤3} 解析：BD　[∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2} ＝{x|－1＜x≤2}，故A不正确； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2} ＝{x|－2≤x≤3}，故B正确； ∵(∁RB)＝{x|x＜－2或x＞2}， ∴A∪∁RB＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C不正确； A∩(∁RB)＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确．] ◆[命题角度3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)(重难点)　 [典例]　(1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A．－4　　 B．－2　　 C．2　　 D．4 [解析]　B　[解一元二次不等式x2－4≤0，可得A＝{x|－2≤x≤2}， 解一元一次不等式2x＋a≤0，可得B＝. 由于A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故－＝1，解得a＝－2.] (2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是　________　. [解析]　∁RB＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁RB)＝R，则a≥2. [答案]　[2，＋∞) 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和维恩图． 　提醒：维恩图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 　　　　高考新题型—集合的新定义问题(创新点) [典例]　(2024·北京清华附中校考期中)对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k＝{m＋t|m∈M，t＝－k，－k＋1，…，k}，对于非空整数集合A，B，定义d(A，B)＝min{k∈N|A⊆B⊕k，B⊆A⊕k}． (1)设M＝{2,4,6}，请直接写出集合M⊕1； (2)设A＝{1,2,3,4，…，100}，d(A，B)＝1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若d(A，B)＝4且d(B，C)＝1，求d(A，C)所有可能取值． [解析]　(1)若M＝{2,4,6}， 则由集合新定义可知M⊕1＝{1,3,5}∪{2,4,6}∪{3,5,7}＝{1,2,3,4,5,6,7}． (2)设B有|B|个元素，下证|B|min＝34. 一方面，B＝{2,5,8，…，98,101}，则AB⊕0＝B，所以d(A，B)≠0，即d(A，B)≥1，而B⊆A⊕1＝{0,1,2,3,4，…，101}，A⊆B⊕1＝{1,2,3,4，…，102}，这表明了d(A，B)＝1满足题意，此时|B|＝＋1＝34，故|B|min＝34； 另一方面，若|B|＝j≤33，不妨设B＝{b1，b2，…，bj}且b1＜b2＜…＜bj， 由题意可知A⊆B⊕1＝{b1－1，b1，b1＋1}∪{b2－1，b2，b2＋1}∪…∪{bj－1，bj，bj＋1}，而B⊕1最多含有3j≤99个元素，当且仅当{bk－1，bk，bk＋1}(1≤k≤j)两两不同且|B|＝j＝33时，等号成立，但这与A有100个元素矛盾，所以|B|＝j≥34.综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34. (3)一方面：先来证明(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k＋l)，M⊕k＝{m＋t|m∈M，t＝－k，－k＋1，…，k}＝{n∈Z|∃m∈M，|n－m|≤k}，因此只要M1⊆M2，就有M1⊕k⊆M2⊕k，而∀x∈(M⊕k)⊕l，∃p∈M⊕k，|x－p|≤l，所以∃m∈M，|p－m|≤k，所以|x－m|＝|x－p＋p－m|≤|x－p|＋|p－m|≤l＋k，即∀x∈M⊕(k＋l)，从而(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k＋l)． 另一方面：如果d(A，B)＝p，d(B，C)＝q，d(A，C)＝r，那么A⊆B⊕p，B⊆C⊕q，B⊕p⊆(C⊕q)⊕p⊆C⊕(p＋q)，从而A⊆C⊕(p＋q)，同理C⊆A⊕(p＋q)，因此由定义可得d(A，C)＝r≤d(A，B)＋d(B，C)＝p＋q，即d满足距离的三角不等式； 所以在本题中，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)＝4＋1＝5，d(A，C)≥d(A，B)－d(B，C)＝4－1＝3，即d(A，C)∈{3,4,5}，取A＝{0}，B＝{4}，C＝{5}，可知d(A，C)＝5可能成立，取A＝{0}，B＝{4}，C＝{3}，可知d(A，C)＝3可能成立，取A＝{0}，B＝{4}，C＝{3,4}，可知d(A，C)＝4可能成立，综上所述，d(A，C)所有可能取值为3或4或5. 　　 集合新定义问题的方法和技巧： (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题． (2024·北京顺义高三统考期末)给定正整数n≥3，设集合A＝{a1，a2，…，an}．若对任意i，j∈{1,2，…，n}，ai＋aj，ai－aj两数中至少有一个属于A，则称集合A具有性质P. (1)分别判断集合{1,2,3}与{－1,0,1,2}是否具有性质P； (2)若集合A＝{1，a，b}具有性质P，求a＋b的值； (3)若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1∈B，求集合B. 解：(1)集合{1,2,3}中的3＋3＝6∉{1,2,3},3－3＝0∉{1,2,3}， 所以集合{1,2,3}不具有性质P， 集合{－1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{－1,0,1,2}，所以集合{－1,0,1,2}具有性质P； (2)若集合A＝{1，a，b}具有性质P，记m＝max{1，a，b}，则m≥1， 令ai＝aj＝m，则2m∉{1，a，b}，从而必有0∈{1，a，b}， 不妨设a＝0，则A＝{1,0，b}，b≠0且b≠1， 令ai＝1，aj＝b，则{1＋b,1－b}∩{1,0，b}≠∅，且{1＋b，b－1}∩{1,0，b}≠∅，b≠0且b≠1， 以下分类讨论： ①当1＋b∈{1,0，b}时，若1＋b＝0⇒b＝－1，此时，A＝{1,0，－1}满足性质P； 若1＋b＝1⇒b＝0，舍；若1＋b＝b，无解； ②当1＋b∉{1,0，b}时，则{1－b，b－1}⊆{1,0，b}，注意b≠0且b≠1，可知b无解； 经检验A＝{1,0，－1}符合题意，综上a＋b＝－1； (3)首先容易知道集合B中有0，有正数也有负数， 不妨设B＝{－bk，－bk－1，…，－b1,0，a1，a2，…，al}，其中k＋l＝5,0＜a1＜…＜al,0＜b1＜…＜bk， 根据题意{a1－al，…，al－1－al}⊆{－bk，－bk－1，…，－b1}，且{bk－b1，bk－1－b1，…，b2－b1}⊆{a1，a2，…，al}，从而(k，l)＝(2,3)或(3,2)， ①当(k，l)＝(3,2)时，{b3－b1，b3－b2}＝{a1，a2}，并且{－b3＋b1，－b3＋b2}＝{－b1，－b2}⇒b3＝b1＋b2，a2－a1∈{a1，a2}⇒a2＝2a1， 由上可得(b2，b1)＝(b3－b1，b3－b2)＝(a2，a1)＝(2a1，a1)，并且b3＝b1＋b2＝3a1， 综上可知B＝{－3a1，－2a1，－a1,0，a1,2a1}； ②当(k，l)＝(2,3)时，同理可得B＝{－2a1，－a1,0，a1,2a1,3a1}， 据此，当B中有包含6个元素，且1∈B时，符合条件的集合B有5个，分别是{－2，－1,0,1,2}， ，， {－3，－2，－1,0,1,2}或. 学科网（北京）股份有限公司 $